MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uztric Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uztric 12266
Description: Totality of the ordering relation on integers, stated in terms of upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
uztric ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))

Proof of Theorem uztric
StepHypRef Expression
1 zre 11985 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 zre 11985 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 letric 10739 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
41, 2, 3syl2an 598 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
5 eluz 12257 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
6 eluz 12257 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑀))
76ancoms 462 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑀))
85, 7orbi12d 916 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
94, 8mpbird 260 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  wcel 2115   class class class wbr 5053  cfv 6344  cr 10535  cle 10675  cz 11981  cuz 12243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7153  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-neg 10872  df-z 11982  df-uz 12244
This theorem is referenced by:  uzin  12278  caubnd  14721  isercoll  15027  sumrb  15073  prodrb  15289  smupvallem  15833  prmreclem5  16257  efgredlemb  18875  1stckgenlem  22164  caucfil  23893  bcmax  25868
  Copyright terms: Public domain W3C validator