Theorem uztric 12748

Description: Totality of the ordering relation on integers, stated in terms of upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uztric	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))

Proof of Theorem uztric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12464	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		zre 12464	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		letric 11205	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 ≤ 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 ≤ 𝑀))
5		eluz 12738	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
6		eluz 12738	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
7	6	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
8	5, 7	orbi12d 918	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 ≤ 𝑀)))
9	4, 8	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  ℝcr 10997   ≤ cle 11139  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-pre-lttri 11072

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-neg 11339  df-z 12461  df-uz 12725

This theorem is referenced by:  uzin  12764  caubnd  15258  isercoll  15567  sumrb  15612  prodrb  15831  smupvallem  16386  prmreclem5  16824  efgredlemb  19651  1stckgenlem  23461  caucfil  25203  bcmax  27209