Theorem uztric 12766

Description: Totality of the ordering relation on integers, stated in terms of upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uztric	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))

Proof of Theorem uztric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12482	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2		zre 12482	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3		letric 11223	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 ≤ 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 ≤ 𝑀))
5		eluz 12756	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
6		eluz 12756	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
7	6	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
8	5, 7	orbi12d 918	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 ≤ 𝑀)))
9	4, 8	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  ℝcr 11015   ≤ cle 11157  ℤcz 12478  ℤ_≥cuz 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-pre-lttri 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-neg 11357  df-z 12479  df-uz 12743

This theorem is referenced by:  uzin  12782  caubnd  15276  isercoll  15585  sumrb  15630  prodrb  15849  smupvallem  16404  prmreclem5  16842  efgredlemb  19668  1stckgenlem  23478  caucfil  25220  bcmax  27226