Theorem sumrb 15923

Description: Rebase the starting point of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
summo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sumrb.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumrb.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
sumrb.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
sumrb.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
sumrb	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumrb.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		seqex 14186	. . . 4 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
4		climres 15786	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
6		sumrb.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
7		summo.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
8		summo.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	7, 9, 10	sumrblem 15921	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
12	6, 11	mpidan 702	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
13	12	breq1d 5118	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
14	5, 13	bitr3d 284	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
15		sumrb.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
16	8	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
18	7, 16, 17	sumrblem 15921	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
19	15, 18	mpidan 702	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
20	19	breq1d 5118	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
21		sumrb.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23		seqex 14186	. . . 4 ⊢ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V
24		climres 15786	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
25	22, 23, 24	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
26	20, 25	bitr3d 284	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
27		uztric 13029	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
28	21, 1, 27	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
29	14, 26, 28	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ifcif 4485   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  ℂcc 11237  0cc0 11239   + caddc 11242  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  seqcseq 14184   ⇝ cli 15695

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-seq 14185  df-clim 15699

This theorem is used by:  summo  15927  zsum  15928