MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumrb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumrb 15073
Description: Rebase the starting point of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
summo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sumrb.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumrb.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
sumrb.6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
sumrb.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
sumrb (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumrb
StepHypRef Expression
1 sumrb.5 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 seqex 13378 . . . 4 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
4 climres 14935 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
52, 3, 4sylancl 589 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
6 sumrb.7 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
7 summo.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
8 summo.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
117, 9, 10sumrblem 15071 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
126, 11mpidan 688 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
1312breq1d 5063 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
145, 13bitr3d 284 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
15 sumrb.6 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
168adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
187, 16, 17sumrblem 15071 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
1915, 18mpidan 688 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
2019breq1d 5063 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
21 sumrb.4 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2221adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23 seqex 13378 . . . 4 seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V
24 climres 14935 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
2522, 23, 24sylancl 589 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
2620, 25bitr3d 284 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
27 uztric 12266 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
2821, 1, 27syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
2914, 26, 28mpjaodan 956 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3481  wss 3920  ifcif 4451   class class class wbr 5053  cmpt 5133  cres 5545  cfv 6344  cc 10534  0cc0 10536   + caddc 10539  cz 11981  cuz 12243  seqcseq 13376  cli 14844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-fz 12898  df-seq 13377  df-clim 14848
This theorem is referenced by:  summo  15077  zsum  15078
  Copyright terms: Public domain W3C validator