MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumrb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumrb 15603
Description: Rebase the starting point of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
summo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sumrb.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumrb.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
sumrb.6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
sumrb.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
sumrb (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumrb
StepHypRef Expression
1 sumrb.5 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 seqex 13914 . . . 4 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
4 climres 15463 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
52, 3, 4sylancl 587 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
6 sumrb.7 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
7 summo.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
8 summo.2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
117, 9, 10sumrblem 15601 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
126, 11mpidan 688 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
1312breq1d 5116 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
145, 13bitr3d 281 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
15 sumrb.6 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
168adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
187, 16, 17sumrblem 15601 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
1915, 18mpidan 688 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
2019breq1d 5116 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
21 sumrb.4 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2221adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23 seqex 13914 . . . 4 seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V
24 climres 15463 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
2522, 23, 24sylancl 587 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
2620, 25bitr3d 281 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
27 uztric 12792 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
2821, 1, 27syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
2914, 26, 28mpjaodan 958 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  wss 3911  ifcif 4487   class class class wbr 5106  cmpt 5189  cres 5636  cfv 6497  cc 11054  0cc0 11056   + caddc 11059  cz 12504  cuz 12768  seqcseq 13912  cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-clim 15376
This theorem is referenced by:  summo  15607  zsum  15608
  Copyright terms: Public domain W3C validator