Theorem sumrb 15620

Description: Rebase the starting point of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
summo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sumrb.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumrb.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
sumrb.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
sumrb.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
sumrb	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumrb.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		seqex 13910	. . . 4 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
4		climres 15482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
6		sumrb.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
7		summo.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
8		summo.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	7, 9, 10	sumrblem 15618	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
12	6, 11	mpidan 689	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
13	12	breq1d 5099	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
14	5, 13	bitr3d 281	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
15		sumrb.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
16	8	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
18	7, 16, 17	sumrblem 15618	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
19	15, 18	mpidan 689	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
20	19	breq1d 5099	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
21		sumrb.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23		seqex 13910	. . . 4 ⊢ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V
24		climres 15482	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
25	22, 23, 24	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
26	20, 25	bitr3d 281	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
27		uztric 12756	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
28	21, 1, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
29	14, 26, 28	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ifcif 4472   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170   ↾ cres 5616  ‘cfv 6481  ℂcc 11004  0cc0 11006   + caddc 11009  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  seqcseq 13908   ⇝ cli 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-clim 15395

This theorem is referenced by:  summo  15624  zsum  15625