Theorem sumrb 15800

Description: Rebase the starting point of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
summo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sumrb.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumrb.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
sumrb.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
sumrb.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
sumrb	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumrb.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		seqex 14068	. . . 4 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
4		climres 15663	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
6		sumrb.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
7		summo.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
8		summo.2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	7, 9, 10	sumrblem 15798	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
12	6, 11	mpidan 702	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
13	12	breq1d 5113	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
14	5, 13	bitr3d 284	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
15		sumrb.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
16	8	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
18	7, 16, 17	sumrblem 15798	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
19	15, 18	mpidan 702	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) = seq𝑀( + , 𝐹))
20	19	breq1d 5113	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
21		sumrb.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23		seqex 14068	. . . 4 ⊢ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V
24		climres 15663	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ seq𝑁( + , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
25	22, 23, 24	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((seq𝑁( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑀)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
26	20, 25	bitr3d 284	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))
27		uztric 12912	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
28	21, 1, 27	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
29	14, 26, 28	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( + , 𝐹) ⇝ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  ℂcc 11123  0cc0 11125   + caddc 11128  ℤcz 12616  ℤ_≥cuz 12888  seqcseq 14066   ⇝ cli 15572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-seq 14067  df-clim 15576

This theorem is used by:  summo  15804  zsum  15805