MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smupvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smupvallem 15413
Description: If 𝐴 only has elements less than 𝑁, then all elements of the partial sum sequence past 𝑁 already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
smupvallem.a (𝜑𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
smupvallem.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
smupvallem (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smupvallem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
2 smuval.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3 smuval.p . . . . . . 7 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
41, 2, 3smupf 15408 . . . . . 6 (𝜑𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
5 smuval.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 smupvallem.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
7 eluznn0 11960 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
85, 6, 7syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
94, 8ffvelrnd 6503 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ 𝒫 ℕ0)
109elpwid 4309 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑀) ⊆ ℕ0)
1110sseld 3751 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0))
121, 2, 3smufval 15407 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))})
13 ssrab2 3836 . . . . 5 {𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ℕ0
1412, 13syl6eqss 3804 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)
1514sseld 3751 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
161ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
172ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
18 simplr 752 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
196adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
20 uztrn 11905 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
2119, 20sylan 569 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
2216, 17, 3, 18, 21smuval2 15412 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃𝑀)))
2322bicomd 213 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
246ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
25 simpll 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝜑)
26 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑁 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁))
2726eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑁) = (𝑃𝑁)))
2827imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃𝑁))))
29 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑘))
3029eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁)))
3130imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁))))
32 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
3332eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁)))
3433imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))))
35 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑀 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑀))
3635eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁)))
3736imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁))))
38 eqidd 2772 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃𝑁))
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃𝑁)))
401adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
412adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
42 eluznn0 11960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
435, 42sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4440, 41, 3, 43smupp1 15410 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}))
45 eluzle 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑘)
4645adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑘)
475nn0red 11554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
4847adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4943nn0red 11554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
5048, 49lenltd 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑁𝑘 ↔ ¬ 𝑘 < 𝑁))
5146, 50mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ¬ 𝑘 < 𝑁)
52 smupvallem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
5352adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
5453sseld 3751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (0..^𝑁)))
55 elfzolt2 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 < 𝑁)
5654, 55syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘𝐴𝑘 < 𝑁))
5756adantrd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘 < 𝑁))
5851, 57mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
5958ralrimivw 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
60 rabeq0 4103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
6159, 60sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
6261oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) = ((𝑃𝑘) sadd ∅))
634adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
6463, 43ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
6564elpwid 4309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑘) ⊆ ℕ0)
66 sadid1 15398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑘) ⊆ ℕ0 → ((𝑃𝑘) sadd ∅) = (𝑃𝑘))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃𝑘) sadd ∅) = (𝑃𝑘))
6844, 62, 673eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑘))
6968eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁)))
7069biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃𝑘) = (𝑃𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁)))
7170expcom 398 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → ((𝑃𝑘) = (𝑃𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))))
7271a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → ((𝜑 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁)) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))))
7328, 31, 34, 37, 39, 72uzind4 11948 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁)))
7424, 25, 73sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁))
75 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
7628, 31, 34, 34, 39, 72uzind4 11948 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁)))
7775, 25, 76sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))
7874, 77eqtr4d 2808 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑀) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
7978eleq2d 2836 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
801ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
812ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
82 simplr 752 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8380, 81, 3, 82smuval 15411 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
8479, 83bitr4d 271 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
85 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8685nn0zd 11682 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
8786peano2zd 11687 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
885nn0zd 11682 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8988adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
90 uztric 11910 . . . . . 6 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)))
9187, 89, 90syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)))
9223, 84, 91mpjaodan 939 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
9392ex 397 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵))))
9411, 15, 93pm5.21ndd 368 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
9594eqrdv 2769 1 (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 834   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  wss 3723  c0 4063  ifcif 4225  𝒫 cpw 4297   class class class wbr 4786  cmpt 4863  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  ..^cfzo 12673  seqcseq 13008   sadd csad 15350   smul csmu 15351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-xor 1613  df-tru 1634  df-fal 1637  df-had 1681  df-cad 1694  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-dvds 15190  df-bits 15352  df-sad 15381  df-smu 15406
This theorem is referenced by:  smupval  15418
  Copyright terms: Public domain W3C validator