Theorem smupvallem 16281

Description: If 𝐴 only has elements less than 𝑁, then all elements of the partial sum sequence past 𝑁 already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p	⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
smupvallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
smupvallem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smupvallem	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smupvallem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smuval.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		smuval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		smuval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4	1, 2, 3	smupf 16276	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
5		smuval.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		smupvallem.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		eluznn0 12750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	4, 8	ffvelcdmd 7012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ 𝒫 ℕ0)
10	9	elpwid 4555	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ⊆ ℕ0)
11	10	sseld 3930	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0))
12	1, 2, 3	smufval 16275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))})
13		ssrab2 4024	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ℕ0
14	12, 13	eqsstrdi 3985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)
15	14	sseld 3930	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
16	1	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
17	2	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
18		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20		uztrn 12693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
21	19, 20	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
22	16, 17, 3, 18, 21	smuval2 16280	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀)))
23	22	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
24	6	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
25		simpll 764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝜑)
26		fveqeq2 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁)))
27	26	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))))
28		fveqeq2 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)))
29	28	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁))))
30		fveqeq2 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
31	30	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
32		fveqeq2 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁)))
33	32	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁))))
34		eqidd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))
35	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
36	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
37		eluznn0 12750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	5, 37	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	35, 36, 3, 38	smupp1 16278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}))
40	5	nn0red 12387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
42	38	nn0red 12387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
43		eluzle 12688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑘)
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑘)
45	41, 42, 44	lensymd 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ¬ 𝑘 < 𝑁)
46		smupvallem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
48	47	sseld 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (0..^𝑁)))
49		elfzolt2 13489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 < 𝑁)
50	48, 49	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 < 𝑁))
51	50	adantrd 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘 < 𝑁))
52	45, 51	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
53	52	ralrimivw 3143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
54		rabeq0 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
55	53, 54	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
56	55	oveq2d 7345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) = ((𝑃‘𝑘) sadd ∅))
57	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
58	57, 38	ffvelcdmd 7012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
59	58	elpwid 4555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ⊆ ℕ0)
60		sadid1 16266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ⊆ ℕ0 → ((𝑃‘𝑘) sadd ∅) = (𝑃‘𝑘))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) sadd ∅) = (𝑃‘𝑘))
62	39, 56, 61	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑘))
63	62	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)))
64	63	biimprd 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
65	64	expcom 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
66	65	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((𝜑 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
67	27, 29, 31, 33, 34, 66	uzind4i 12743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁)))
68	24, 25, 67	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁))
69		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
70	27, 29, 31, 31, 34, 66	uzind4i 12743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
71	69, 25, 70	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))
72	68, 71	eqtr4d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
73	72	eleq2d 2822	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
74	1	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
75	2	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
76		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
77	74, 75, 3, 76	smuval 16279	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
78	73, 77	bitr4d 281	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
79		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	79	nn0zd 12517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
81	80	peano2zd 12522	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
82	5	nn0zd 12517	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
83	82	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
84		uztric 12699	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
85	81, 83, 84	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
86	23, 78, 85	mpjaodan 956	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
87	86	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵))))
88	11, 15, 87	pm5.21ndd 380	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
89	88	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061  {crab 3403   ⊆ wss 3897  ∅c0 4268  ifcif 4472  𝒫 cpw 4546   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5172  ⟶wf 6469  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329   ∈ cmpo 7331  ℝcr 10963  0cc0 10964  1c1 10965   + caddc 10967   < clt 11102   ≤ cle 11103   − cmin 11298  ℕ₀cn0 12326  ℤcz 12412  ℤ_≥cuz 12675  ..^cfzo 13475  seqcseq 13814   sadd csad 16218   smul csmu 16219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-inf2 9490  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-had 1594  df-cad 1607  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-disj 5055  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-oadd 8363  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-sup 9291  df-inf 9292  df-oi 9359  df-dju 9750  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-n0 12327  df-xnn0 12399  df-z 12413  df-uz 12676  df-rp 12824  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-fl 13605  df-mod 13683  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038  df-clim 15288  df-sum 15489  df-dvds 16055  df-bits 16220  df-sad 16249  df-smu 16274

This theorem is referenced by:  smupval  16286