Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | smuval.a |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β
β0) |
2 | | smuval.b |
. . . . . . 7
β’ (π β π΅ β
β0) |
3 | | smuval.p |
. . . . . . 7
β’ π = seq0((π β π« β0, π β β0
β¦ (π sadd {π β β0
β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)})), (π β β0 β¦ if(π = 0, β
, (π β 1)))) |
4 | 1, 2, 3 | smupf 16363 |
. . . . . 6
β’ (π β π:β0βΆπ«
β0) |
5 | | smuval.n |
. . . . . . 7
β’ (π β π β
β0) |
6 | | smupvallem.m |
. . . . . . 7
β’ (π β π β (β€β₯βπ)) |
7 | | eluznn0 12847 |
. . . . . . 7
β’ ((π β β0
β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β
β0) |
8 | 5, 6, 7 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (π β π β
β0) |
9 | 4, 8 | ffvelcdmd 7037 |
. . . . 5
β’ (π β (πβπ) β π«
β0) |
10 | 9 | elpwid 4570 |
. . . 4
β’ (π β (πβπ) β
β0) |
11 | 10 | sseld 3944 |
. . 3
β’ (π β (π β (πβπ) β π β
β0)) |
12 | 1, 2, 3 | smufval 16362 |
. . . . 5
β’ (π β (π΄ smul π΅) = {π β β0 β£ π β (πβ(π + 1))}) |
13 | | ssrab2 4038 |
. . . . 5
β’ {π β β0
β£ π β (πβ(π + 1))} β
β0 |
14 | 12, 13 | eqsstrdi 3999 |
. . . 4
β’ (π β (π΄ smul π΅) β
β0) |
15 | 14 | sseld 3944 |
. . 3
β’ (π β (π β (π΄ smul π΅) β π β
β0)) |
16 | 1 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β π΄ β
β0) |
17 | 2 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β π΅ β
β0) |
18 | | simplr 768 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β π β β0) |
19 | 6 | adantr 482 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β0) β π β
(β€β₯βπ)) |
20 | | uztrn 12786 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β
(β€β₯βπ) β§ π β (β€β₯β(π + 1))) β π β (β€β₯β(π + 1))) |
21 | 19, 20 | sylan 581 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β π β (β€β₯β(π + 1))) |
22 | 16, 17, 3, 18, 21 | smuval2 16367 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβπ))) |
23 | 22 | bicomd 222 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β0) β§ π β
(β€β₯β(π + 1))) β (π β (πβπ) β π β (π΄ smul π΅))) |
24 | 6 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β0) β§ (π + 1) β
(β€β₯βπ)) β π β (β€β₯βπ)) |
25 | | simpll 766 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β0) β§ (π + 1) β
(β€β₯βπ)) β π) |
26 | | fveqeq2 6852 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π₯ = π β ((πβπ₯) = (πβπ) β (πβπ) = (πβπ))) |
27 | 26 | imbi2d 341 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π₯ = π β ((π β (πβπ₯) = (πβπ)) β (π β (πβπ) = (πβπ)))) |
28 | | fveqeq2 6852 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π₯ = π β ((πβπ₯) = (πβπ) β (πβπ) = (πβπ))) |
29 | 28 | imbi2d 341 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π₯ = π β ((π β (πβπ₯) = (πβπ)) β (π β (πβπ) = (πβπ)))) |
30 | | fveqeq2 6852 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π₯ = (π + 1) β ((πβπ₯) = (πβπ) β (πβ(π + 1)) = (πβπ))) |
31 | 30 | imbi2d 341 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π₯ = (π + 1) β ((π β (πβπ₯) = (πβπ)) β (π β (πβ(π + 1)) = (πβπ)))) |
32 | | fveqeq2 6852 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π₯ = π β ((πβπ₯) = (πβπ) β (πβπ) = (πβπ))) |
33 | 32 | imbi2d 341 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π₯ = π β ((π β (πβπ₯) = (πβπ)) β (π β (πβπ) = (πβπ)))) |
34 | | eqidd 2734 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (πβπ) = (πβπ)) |
35 | 1 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β π΄ β
β0) |
36 | 2 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β π΅ β
β0) |
37 | | eluznn0 12847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β0
β§ π β
(β€β₯βπ)) β π β β0) |
38 | 5, 37 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β π β β0) |
39 | 35, 36, 3, 38 | smupp1 16365 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (πβ(π + 1)) = ((πβπ) sadd {π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)})) |
40 | 5 | nn0red 12479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π β β) |
41 | 40 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β π β β) |
42 | 38 | nn0red 12479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β π β β) |
43 | | eluzle 12781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β€ π) |
44 | 43 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β π β€ π) |
45 | 41, 42, 44 | lensymd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β Β¬ π < π) |
46 | | smupvallem.a |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β π΄ β (0..^π)) |
47 | 46 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β π΄ β (0..^π)) |
48 | 47 | sseld 3944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (π β π΄ β π β (0..^π))) |
49 | | elfzolt2 13587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β (0..^π) β π < π) |
50 | 48, 49 | syl6 35 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (π β π΄ β π < π)) |
51 | 50 | adantrd 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β ((π β π΄ β§ (π β π) β π΅) β π < π)) |
52 | 45, 51 | mtod 197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β Β¬ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)) |
53 | 52 | ralrimivw 3144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β βπ β β0
Β¬ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)) |
54 | | rabeq0 4345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ({π β β0
β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)} = β
β βπ β β0
Β¬ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)) |
55 | 53, 54 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β {π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)} = β
) |
56 | 55 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β ((πβπ) sadd {π β β0 β£ (π β π΄ β§ (π β π) β π΅)}) = ((πβπ) sadd β
)) |
57 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β π:β0βΆπ«
β0) |
58 | 57, 38 | ffvelcdmd 7037 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (πβπ) β π«
β0) |
59 | 58 | elpwid 4570 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (πβπ) β
β0) |
60 | | sadid1 16353 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((πβπ) β β0 β ((πβπ) sadd β
) = (πβπ)) |
61 | 59, 60 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β ((πβπ) sadd β
) = (πβπ)) |
62 | 39, 56, 61 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β (πβ(π + 1)) = (πβπ)) |
63 | 62 | eqeq1d 2735 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β ((πβ(π + 1)) = (πβπ) β (πβπ) = (πβπ))) |
64 | 63 | biimprd 248 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β (β€β₯βπ)) β ((πβπ) = (πβπ) β (πβ(π + 1)) = (πβπ))) |
65 | 64 | expcom 415 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (π β ((πβπ) = (πβπ) β (πβ(π + 1)) = (πβπ)))) |
66 | 65 | a2d 29 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β
(β€β₯βπ) β ((π β (πβπ) = (πβπ)) β (π β (πβ(π + 1)) = (πβπ)))) |
67 | 27, 29, 31, 33, 34, 66 | uzind4i 12840 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β
(β€β₯βπ) β (π β (πβπ) = (πβπ))) |
68 | 24, 25, 67 | sylc 65 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β0) β§ (π + 1) β
(β€β₯βπ)) β (πβπ) = (πβπ)) |
69 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π β β0) β§ (π + 1) β
(β€β₯βπ)) β (π + 1) β
(β€β₯βπ)) |
70 | 27, 29, 31, 31, 34, 66 | uzind4i 12840 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π + 1) β
(β€β₯βπ) β (π β (πβ(π + 1)) = (πβπ))) |
71 | 69, 25, 70 | sylc 65 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π β β0) β§ (π + 1) β
(β€β₯βπ)) β (πβ(π + 1)) = (πβπ)) |
72 | 68, 71 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β0) β§ (π + 1) β
(β€β₯βπ)) β (πβπ) = (πβ(π + 1))) |
73 | 72 | eleq2d 2820 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β0) β§ (π + 1) β
(β€β₯βπ)) β (π β (πβπ) β π β (πβ(π + 1)))) |
74 | 1 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β0) β§ (π + 1) β
(β€β₯βπ)) β π΄ β
β0) |
75 | 2 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β0) β§ (π + 1) β
(β€β₯βπ)) β π΅ β
β0) |
76 | | simplr 768 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β0) β§ (π + 1) β
(β€β₯βπ)) β π β β0) |
77 | 74, 75, 3, 76 | smuval 16366 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β0) β§ (π + 1) β
(β€β₯βπ)) β (π β (π΄ smul π΅) β π β (πβ(π + 1)))) |
78 | 73, 77 | bitr4d 282 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β0) β§ (π + 1) β
(β€β₯βπ)) β (π β (πβπ) β π β (π΄ smul π΅))) |
79 | | simpr 486 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β0) |
80 | 79 | nn0zd 12530 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β€) |
81 | 80 | peano2zd 12615 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β0) β (π + 1) β
β€) |
82 | 5 | nn0zd 12530 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β β€) |
83 | 82 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β0) β π β
β€) |
84 | | uztric 12792 |
. . . . . 6
β’ (((π + 1) β β€ β§ π β β€) β (π β
(β€β₯β(π + 1)) β¨ (π + 1) β
(β€β₯βπ))) |
85 | 81, 83, 84 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π β β0) β (π β
(β€β₯β(π + 1)) β¨ (π + 1) β
(β€β₯βπ))) |
86 | 23, 78, 85 | mpjaodan 958 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β β0) β (π β (πβπ) β π β (π΄ smul π΅))) |
87 | 86 | ex 414 |
. . 3
β’ (π β (π β β0 β (π β (πβπ) β π β (π΄ smul π΅)))) |
88 | 11, 15, 87 | pm5.21ndd 381 |
. 2
β’ (π β (π β (πβπ) β π β (π΄ smul π΅))) |
89 | 88 | eqrdv 2731 |
1
β’ (π β (πβπ) = (π΄ smul π΅)) |