Theorem smupvallem 16478

Description: If 𝐴 only has elements less than 𝑁, then all elements of the partial sum sequence past 𝑁 already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p	⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
smupvallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
smupvallem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smupvallem	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smupvallem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smuval.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		smuval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		smuval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4	1, 2, 3	smupf 16473	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
5		smuval.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		smupvallem.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		eluznn0 12947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8	5, 6, 7	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	4, 8	ffvelcdmd 7091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ 𝒫 ℕ0)
10	9	elpwid 4606	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ⊆ ℕ0)
11	10	sseld 3977	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0))
12	1, 2, 3	smufval 16472	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))})
13		ssrab2 4073	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ℕ0
14	12, 13	eqsstrdi 4033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)
15	14	sseld 3977	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
16	1	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
17	2	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
18		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19	6	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20		uztrn 12886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
21	19, 20	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
22	16, 17, 3, 18, 21	smuval2 16477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀)))
23	22	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
24	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
25		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝜑)
26		fveqeq2 6902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁)))
27	26	imbi2d 339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))))
28		fveqeq2 6902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)))
29	28	imbi2d 339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁))))
30		fveqeq2 6902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
31	30	imbi2d 339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
32		fveqeq2 6902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁)))
33	32	imbi2d 339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁))))
34		eqidd 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))
35	1	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
36	2	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
37		eluznn0 12947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	5, 37	sylan 578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	35, 36, 3, 38	smupp1 16475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}))
40	5	nn0red 12579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
41	40	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
42	38	nn0red 12579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
43		eluzle 12881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑘)
44	43	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑘)
45	41, 42, 44	lensymd 11406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ¬ 𝑘 < 𝑁)
46		smupvallem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
47	46	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
48	47	sseld 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (0..^𝑁)))
49		elfzolt2 13689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 < 𝑁)
50	48, 49	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 < 𝑁))
51	50	adantrd 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘 < 𝑁))
52	45, 51	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
53	52	ralrimivw 3140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
54		rabeq0 4382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
55	53, 54	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
56	55	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) = ((𝑃‘𝑘) sadd ∅))
57	4	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
58	57, 38	ffvelcdmd 7091	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
59	58	elpwid 4606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ⊆ ℕ0)
60		sadid1 16463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ⊆ ℕ0 → ((𝑃‘𝑘) sadd ∅) = (𝑃‘𝑘))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) sadd ∅) = (𝑃‘𝑘))
62	39, 56, 61	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑘))
63	62	eqeq1d 2728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)))
64	63	biimprd 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
65	64	expcom 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
66	65	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((𝜑 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
67	27, 29, 31, 33, 34, 66	uzind4i 12940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁)))
68	24, 25, 67	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁))
69		simpr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
70	27, 29, 31, 31, 34, 66	uzind4i 12940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
71	69, 25, 70	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))
72	68, 71	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
73	72	eleq2d 2812	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
74	1	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
75	2	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
76		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
77	74, 75, 3, 76	smuval 16476	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
78	73, 77	bitr4d 281	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
79		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	79	nn0zd 12630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
81	80	peano2zd 12715	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
82	5	nn0zd 12630	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
83	82	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
84		uztric 12892	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
85	81, 83, 84	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
86	23, 78, 85	mpjaodan 956	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
87	86	ex 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵))))
88	11, 15, 87	pm5.21ndd 378	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
89	88	eqrdv 2724	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  {crab 3419   ⊆ wss 3946  ∅c0 4322  ifcif 4523  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5145   ↦ cmpt 5228  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   < clt 11289   ≤ cle 11290   − cmin 11485  ℕ₀cn0 12518  ℤcz 12604  ℤ_≥cuz 12868  ..^cfzo 13675  seqcseq 14015   sadd csad 16415   smul csmu 16416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-had 1588  df-cad 1601  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-disj 5111  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12519  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-mod 13884  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-sum 15686  df-dvds 16252  df-bits 16417  df-sad 16446  df-smu 16471

This theorem is referenced by:  smupval  16483