Theorem smupvallem 16420

Description: If 𝐴 only has elements less than 𝑁, then all elements of the partial sum sequence past 𝑁 already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p	⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
smupvallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
smupvallem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smupvallem	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smupvallem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smuval.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		smuval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		smuval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4	1, 2, 3	smupf 16415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
5		smuval.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		smupvallem.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		eluznn0 12897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	4, 8	ffvelcdmd 7084	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ 𝒫 ℕ0)
10	9	elpwid 4610	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ⊆ ℕ0)
11	10	sseld 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0))
12	1, 2, 3	smufval 16414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))})
13		ssrab2 4076	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ℕ0
14	12, 13	eqsstrdi 4035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)
15	14	sseld 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
16	1	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
17	2	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
18		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20		uztrn 12836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
21	19, 20	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
22	16, 17, 3, 18, 21	smuval2 16419	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀)))
23	22	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
24	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
25		simpll 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝜑)
26		fveqeq2 6897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁)))
27	26	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))))
28		fveqeq2 6897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)))
29	28	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁))))
30		fveqeq2 6897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
31	30	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
32		fveqeq2 6897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁)))
33	32	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁))))
34		eqidd 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))
35	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
36	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
37		eluznn0 12897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	5, 37	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	35, 36, 3, 38	smupp1 16417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}))
40	5	nn0red 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
42	38	nn0red 12529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
43		eluzle 12831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑘)
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑘)
45	41, 42, 44	lensymd 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ¬ 𝑘 < 𝑁)
46		smupvallem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
48	47	sseld 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (0..^𝑁)))
49		elfzolt2 13637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 < 𝑁)
50	48, 49	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 < 𝑁))
51	50	adantrd 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘 < 𝑁))
52	45, 51	mtod 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
53	52	ralrimivw 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
54		rabeq0 4383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
55	53, 54	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
56	55	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) = ((𝑃‘𝑘) sadd ∅))
57	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
58	57, 38	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
59	58	elpwid 4610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ⊆ ℕ0)
60		sadid1 16405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ⊆ ℕ0 → ((𝑃‘𝑘) sadd ∅) = (𝑃‘𝑘))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) sadd ∅) = (𝑃‘𝑘))
62	39, 56, 61	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑘))
63	62	eqeq1d 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)))
64	63	biimprd 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
65	64	expcom 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
66	65	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((𝜑 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
67	27, 29, 31, 33, 34, 66	uzind4i 12890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁)))
68	24, 25, 67	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁))
69		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
70	27, 29, 31, 31, 34, 66	uzind4i 12890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
71	69, 25, 70	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))
72	68, 71	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
73	72	eleq2d 2819	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
74	1	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
75	2	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
76		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
77	74, 75, 3, 76	smuval 16418	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
78	73, 77	bitr4d 281	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
79		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	79	nn0zd 12580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
81	80	peano2zd 12665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
82	5	nn0zd 12580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
83	82	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
84		uztric 12842	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
85	81, 83, 84	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
86	23, 78, 85	mpjaodan 957	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
87	86	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵))))
88	11, 15, 87	pm5.21ndd 380	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
89	88	eqrdv 2730	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  {crab 3432   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ifcif 4527  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  ..^cfzo 13623  seqcseq 13962   sadd csad 16357   smul csmu 16358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-had 1595  df-cad 1608  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-bits 16359  df-sad 16388  df-smu 16413

This theorem is referenced by:  smupval  16425