Theorem smupvallem 16389

Description: If 𝐴 only has elements less than 𝑁, then all elements of the partial sum sequence past 𝑁 already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p	⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
smupvallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
smupvallem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smupvallem	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smupvallem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smuval.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		smuval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		smuval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4	1, 2, 3	smupf 16384	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
5		smuval.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		smupvallem.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		eluznn0 12810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	4, 8	ffvelcdmd 7013	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ 𝒫 ℕ0)
10	9	elpwid 4554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ⊆ ℕ0)
11	10	sseld 3928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0))
12	1, 2, 3	smufval 16383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))})
13		ssrab2 4025	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ℕ0
14	12, 13	eqsstrdi 3974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)
15	14	sseld 3928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
16	1	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
17	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
18		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20		uztrn 12745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
21	19, 20	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
22	16, 17, 3, 18, 21	smuval2 16388	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀)))
23	22	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
24	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
25		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝜑)
26		fveqeq2 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁)))
27	26	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))))
28		fveqeq2 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)))
29	28	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁))))
30		fveqeq2 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
31	30	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
32		fveqeq2 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁)))
33	32	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁))))
34		eqidd 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))
35	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
36	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
37		eluznn0 12810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	5, 37	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	35, 36, 3, 38	smupp1 16386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}))
40	5	nn0red 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
42	38	nn0red 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
43		eluzle 12740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑘)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑘)
45	41, 42, 44	lensymd 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ¬ 𝑘 < 𝑁)
46		smupvallem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
48	47	sseld 3928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (0..^𝑁)))
49		elfzolt2 13563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 < 𝑁)
50	48, 49	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 < 𝑁))
51	50	adantrd 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘 < 𝑁))
52	45, 51	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
53	52	ralrimivw 3128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
54		rabeq0 4333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
55	53, 54	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
56	55	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) = ((𝑃‘𝑘) sadd ∅))
57	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
58	57, 38	ffvelcdmd 7013	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
59	58	elpwid 4554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ⊆ ℕ0)
60		sadid1 16374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ⊆ ℕ0 → ((𝑃‘𝑘) sadd ∅) = (𝑃‘𝑘))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) sadd ∅) = (𝑃‘𝑘))
62	39, 56, 61	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑘))
63	62	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)))
64	63	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
65	64	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
66	65	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((𝜑 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
67	27, 29, 31, 33, 34, 66	uzind4i 12803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁)))
68	24, 25, 67	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁))
69		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
70	27, 29, 31, 31, 34, 66	uzind4i 12803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
71	69, 25, 70	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))
72	68, 71	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
73	72	eleq2d 2817	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
74	1	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
75	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
76		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
77	74, 75, 3, 76	smuval 16387	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
78	73, 77	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
79		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	79	nn0zd 12489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
81	80	peano2zd 12575	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
82	5	nn0zd 12489	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
83	82	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
84		uztric 12751	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
85	81, 83, 84	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
86	23, 78, 85	mpjaodan 960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
87	86	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵))))
88	11, 15, 87	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
89	88	eqrdv 2729	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278  ifcif 4470  𝒫 cpw 4545   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ℤ_≥cuz 12727  ..^cfzo 13549  seqcseq 13903   sadd csad 16326   smul csmu 16327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-had 1595  df-cad 1608  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-sum 15589  df-dvds 16159  df-bits 16328  df-sad 16357  df-smu 16382

This theorem is referenced by:  smupval  16394