MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smupvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smupvallem 16368
Description: If 𝐴 only has elements less than 𝑁, then all elements of the partial sum sequence past 𝑁 already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
smuval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
smuval.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
smuval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
smupvallem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (0..^𝑁))
smupvallem.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
smupvallem (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (𝐴 smul 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   πœ‘,𝑛   𝐡,π‘š,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(π‘š,𝑛,𝑝)   𝑀(π‘š,𝑛,𝑝)   𝑁(π‘š,𝑝)

Proof of Theorem smupvallem
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
2 smuval.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
3 smuval.p . . . . . . 7 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
41, 2, 3smupf 16363 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
5 smuval.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 smupvallem.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
7 eluznn0 12847 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
85, 6, 7syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
94, 8ffvelcdmd 7037 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ 𝒫 β„•0)
109elpwid 4570 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) βŠ† β„•0)
1110sseld 3944 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„•0))
121, 2, 3smufval 16362 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 smul 𝐡) = {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
13 ssrab2 4038 . . . . 5 {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† β„•0
1412, 13eqsstrdi 3999 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 smul 𝐡) βŠ† β„•0)
1514sseld 3944 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) β†’ π‘˜ ∈ β„•0))
161ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
172ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
18 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
196adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
20 uztrn 12786 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)))
2119, 20sylan 581 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)))
2216, 17, 3, 18, 21smuval2 16367 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
2322bicomd 222 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡)))
246ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
25 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ πœ‘)
26 fveqeq2 6852 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
2726imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘))))
28 fveqeq2 6852 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
2928imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘))))
30 fveqeq2 6852 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
3130imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘))))
32 fveqeq2 6852 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
3332imbi2d 341 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜π‘))))
34 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘))
351adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
362adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
37 eluznn0 12847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
385, 37sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3935, 36, 3, 38smupp1 16365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}))
405nn0red 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4238nn0red 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
43 eluzle 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑁 ≀ π‘˜)
4443adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ≀ π‘˜)
4541, 42, 44lensymd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ Β¬ π‘˜ < 𝑁)
46 smupvallem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (0..^𝑁))
4746adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐴 βŠ† (0..^𝑁))
4847sseld 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
49 elfzolt2 13587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ < 𝑁)
5048, 49syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ π‘˜ < 𝑁))
5150adantrd 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ < 𝑁))
5245, 51mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡))
5352ralrimivw 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡))
54 rabeq0 4345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘› ∈ β„•0 Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡))
5553, 54sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} = βˆ…)
5655oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd βˆ…))
574adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
5857, 38ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ 𝒫 β„•0)
5958elpwid 4570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) βŠ† β„•0)
60 sadid1 16353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) βŠ† β„•0 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd βˆ…) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd βˆ…) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
6239, 56, 613eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
6362eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
6463biimprd 248 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
6564expcom 415 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘))))
6665a2d 29 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘)) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘))))
6727, 29, 31, 33, 34, 66uzind4i 12840 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
6824, 25, 67sylc 65 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜π‘))
69 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
7027, 29, 31, 31, 34, 66uzind4i 12840 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
7169, 25, 70sylc 65 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘))
7268, 71eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
7372eleq2d 2820 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
741ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
752ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
76 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
7774, 75, 3, 76smuval 16366 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
7873, 77bitr4d 282 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡)))
79 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8079nn0zd 12530 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
8180peano2zd 12615 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„€)
825nn0zd 12530 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8382adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
84 uztric 12792 . . . . . 6 (((π‘˜ + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)) ∨ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
8581, 83, 84syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)) ∨ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
8623, 78, 85mpjaodan 958 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡)))
8786ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡))))
8811, 15, 87pm5.21ndd 381 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡)))
8988eqrdv 2731 1 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (𝐴 smul 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  π’« cpw 4561   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ..^cfzo 13573  seqcseq 13912   sadd csad 16305   smul csmu 16306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-dvds 16142  df-bits 16307  df-sad 16336  df-smu 16361
This theorem is referenced by:  smupval  16373
  Copyright terms: Public domain W3C validator