MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smupvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smupvallem 16428
Description: If 𝐴 only has elements less than 𝑁, then all elements of the partial sum sequence past 𝑁 already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
smuval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
smuval.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
smuval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
smupvallem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (0..^𝑁))
smupvallem.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
smupvallem (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (𝐴 smul 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   πœ‘,𝑛   𝐡,π‘š,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(π‘š,𝑛,𝑝)   𝑀(π‘š,𝑛,𝑝)   𝑁(π‘š,𝑝)

Proof of Theorem smupvallem
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
2 smuval.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
3 smuval.p . . . . . . 7 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
41, 2, 3smupf 16423 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
5 smuval.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 smupvallem.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
7 eluznn0 12905 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
85, 6, 7syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
94, 8ffvelcdmd 7086 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) ∈ 𝒫 β„•0)
109elpwid 4610 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) βŠ† β„•0)
1110sseld 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) β†’ π‘˜ ∈ β„•0))
121, 2, 3smufval 16422 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 smul 𝐡) = {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))})
13 ssrab2 4076 . . . . 5 {π‘˜ ∈ β„•0 ∣ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† β„•0
1412, 13eqsstrdi 4035 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 smul 𝐡) βŠ† β„•0)
1514sseld 3980 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) β†’ π‘˜ ∈ β„•0))
161ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
172ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
18 simplr 765 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
196adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
20 uztrn 12844 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)))
2119, 20sylan 578 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)))
2216, 17, 3, 18, 21smuval2 16427 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€)))
2322bicomd 222 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡)))
246ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
25 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ πœ‘)
26 fveqeq2 6899 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
2726imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘))))
28 fveqeq2 6899 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
2928imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘))))
30 fveqeq2 6899 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
3130imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘))))
32 fveqeq2 6899 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
3332imbi2d 339 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘)) ↔ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜π‘))))
34 eqidd 2731 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = (π‘ƒβ€˜π‘))
351adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
362adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
37 eluznn0 12905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
385, 37sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
3935, 36, 3, 38smupp1 16425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}))
405nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4140adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
4238nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
43 eluzle 12839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑁 ≀ π‘˜)
4443adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑁 ≀ π‘˜)
4541, 42, 44lensymd 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ Β¬ π‘˜ < 𝑁)
46 smupvallem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (0..^𝑁))
4746adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐴 βŠ† (0..^𝑁))
4847sseld 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
49 elfzolt2 13645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ < 𝑁)
5048, 49syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ π‘˜ < 𝑁))
5150adantrd 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡) β†’ π‘˜ < 𝑁))
5245, 51mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡))
5352ralrimivw 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡))
54 rabeq0 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘› ∈ β„•0 Β¬ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡))
5553, 54sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)} = βˆ…)
5655oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘˜) ∈ 𝐡)}) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd βˆ…))
574adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
5857, 38ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∈ 𝒫 β„•0)
5958elpwid 4610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) βŠ† β„•0)
60 sadid1 16413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ƒβ€˜π‘˜) βŠ† β„•0 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd βˆ…) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) sadd βˆ…) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
6239, 56, 613eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
6362eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
6463biimprd 247 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
6564expcom 412 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (πœ‘ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘))))
6665a2d 29 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘)) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘))))
6727, 29, 31, 33, 34, 66uzind4i 12898 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
6824, 25, 67sylc 65 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜π‘))
69 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
7027, 29, 31, 31, 34, 66uzind4i 12898 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘)))
7169, 25, 70sylc 65 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜π‘))
7268, 71eqtr4d 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
7372eleq2d 2817 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
741ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
752ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
76 simplr 765 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
7774, 75, 3, 76smuval 16426 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡) ↔ π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
7873, 77bitr4d 281 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡)))
79 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8079nn0zd 12588 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
8180peano2zd 12673 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„€)
825nn0zd 12588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8382adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
84 uztric 12850 . . . . . 6 (((π‘˜ + 1) ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)) ∨ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
8581, 83, 84syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)) ∨ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)))
8623, 78, 85mpjaodan 955 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡)))
8786ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡))))
8811, 15, 87pm5.21ndd 378 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ π‘˜ ∈ (𝐴 smul 𝐡)))
8988eqrdv 2728 1 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘€) = (𝐴 smul 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ..^cfzo 13631  seqcseq 13970   sadd csad 16365   smul csmu 16366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1508  df-tru 1542  df-fal 1552  df-had 1593  df-cad 1606  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-bits 16367  df-sad 16396  df-smu 16421
This theorem is referenced by:  smupval  16433
  Copyright terms: Public domain W3C validator