MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smupvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smupvallem 16516
Description: If 𝐴 only has elements less than 𝑁, then all elements of the partial sum sequence past 𝑁 already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
smupvallem.a (𝜑𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
smupvallem.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
smupvallem (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smupvallem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
2 smuval.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3 smuval.p . . . . . . 7 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
41, 2, 3smupf 16511 . . . . . 6 (𝜑𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
5 smuval.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 smupvallem.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
7 eluznn0 12956 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
85, 6, 7syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
94, 8ffvelcdmd 7104 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ 𝒫 ℕ0)
109elpwid 4613 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑀) ⊆ ℕ0)
1110sseld 3993 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0))
121, 2, 3smufval 16510 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))})
13 ssrab2 4089 . . . . 5 {𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ℕ0
1412, 13eqsstrdi 4049 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)
1514sseld 3993 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
161ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
172ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
18 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
196adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
20 uztrn 12893 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
2119, 20sylan 580 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
2216, 17, 3, 18, 21smuval2 16515 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃𝑀)))
2322bicomd 223 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
246ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
25 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝜑)
26 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑁) = (𝑃𝑁)))
2726imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃𝑁))))
28 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁)))
2928imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁))))
30 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁)))
3130imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))))
32 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁)))
3332imbi2d 340 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁))))
34 eqidd 2735 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃𝑁))
351adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
37 eluznn0 12956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
385, 37sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3935, 36, 3, 38smupp1 16513 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}))
405nn0red 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4238nn0red 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
43 eluzle 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑘)
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑘)
4541, 42, 44lensymd 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ¬ 𝑘 < 𝑁)
46 smupvallem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
4847sseld 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (0..^𝑁)))
49 elfzolt2 13704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 < 𝑁)
5048, 49syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘𝐴𝑘 < 𝑁))
5150adantrd 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘 < 𝑁))
5245, 51mtod 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
5352ralrimivw 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
54 rabeq0 4393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
5553, 54sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
5655oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) = ((𝑃𝑘) sadd ∅))
574adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
5857, 38ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
5958elpwid 4613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑘) ⊆ ℕ0)
60 sadid1 16501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑘) ⊆ ℕ0 → ((𝑃𝑘) sadd ∅) = (𝑃𝑘))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃𝑘) sadd ∅) = (𝑃𝑘))
6239, 56, 613eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑘))
6362eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁)))
6463biimprd 248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃𝑘) = (𝑃𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁)))
6564expcom 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → ((𝑃𝑘) = (𝑃𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))))
6665a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → ((𝜑 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁)) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))))
6727, 29, 31, 33, 34, 66uzind4i 12949 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁)))
6824, 25, 67sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁))
69 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
7027, 29, 31, 31, 34, 66uzind4i 12949 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁)))
7169, 25, 70sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))
7268, 71eqtr4d 2777 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑀) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
7372eleq2d 2824 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
741ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
752ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
76 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7774, 75, 3, 76smuval 16514 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
7873, 77bitr4d 282 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
79 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8079nn0zd 12636 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
8180peano2zd 12722 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
825nn0zd 12636 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8382adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
84 uztric 12899 . . . . . 6 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)))
8581, 83, 84syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)))
8623, 78, 85mpjaodan 960 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
8786ex 412 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵))))
8811, 15, 87pm5.21ndd 379 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
8988eqrdv 2732 1 (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  {crab 3432  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147  cmpt 5230  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  ..^cfzo 13690  seqcseq 14038   sadd csad 16453   smul csmu 16454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1508  df-tru 1539  df-fal 1549  df-had 1590  df-cad 1603  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-dvds 16287  df-bits 16455  df-sad 16484  df-smu 16509
This theorem is referenced by:  smupval  16521
  Copyright terms: Public domain W3C validator