MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smupvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smupvallem 16042
Description: If 𝐴 only has elements less than 𝑁, then all elements of the partial sum sequence past 𝑁 already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
smupvallem.a (𝜑𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
smupvallem.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
smupvallem (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smupvallem
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
2 smuval.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3 smuval.p . . . . . . 7 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
41, 2, 3smupf 16037 . . . . . 6 (𝜑𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
5 smuval.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 smupvallem.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
7 eluznn0 12513 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
85, 6, 7syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
94, 8ffvelrnd 6905 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ 𝒫 ℕ0)
109elpwid 4524 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑀) ⊆ ℕ0)
1110sseld 3900 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0))
121, 2, 3smufval 16036 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))})
13 ssrab2 3993 . . . . 5 {𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ℕ0
1412, 13eqsstrdi 3955 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)
1514sseld 3900 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
161ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
172ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
18 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
196adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
20 uztrn 12456 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
2119, 20sylan 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
2216, 17, 3, 18, 21smuval2 16041 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃𝑀)))
2322bicomd 226 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
246ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
25 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝜑)
26 fveqeq2 6726 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑁) = (𝑃𝑁)))
2726imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃𝑁))))
28 fveqeq2 6726 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁)))
2928imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁))))
30 fveqeq2 6726 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁)))
3130imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))))
32 fveqeq2 6726 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑃𝑥) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁)))
3332imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁))))
34 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃𝑁))
351adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
362adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
37 eluznn0 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
385, 37sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3935, 36, 3, 38smupp1 16039 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}))
405nn0red 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
4140adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4238nn0red 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
43 eluzle 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑘)
4443adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑘)
4541, 42, 44lensymd 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ¬ 𝑘 < 𝑁)
46 smupvallem.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
4746adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
4847sseld 3900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (0..^𝑁)))
49 elfzolt2 13252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 < 𝑁)
5048, 49syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘𝐴𝑘 < 𝑁))
5150adantrd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘 < 𝑁))
5245, 51mtod 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
5352ralrimivw 3106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
54 rabeq0 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
5553, 54sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
5655oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) = ((𝑃𝑘) sadd ∅))
574adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
5857, 38ffvelrnd 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
5958elpwid 4524 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑘) ⊆ ℕ0)
60 sadid1 16027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝑘) ⊆ ℕ0 → ((𝑃𝑘) sadd ∅) = (𝑃𝑘))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃𝑘) sadd ∅) = (𝑃𝑘))
6239, 56, 613eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑘))
6362eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁)))
6463biimprd 251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑃𝑘) = (𝑃𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁)))
6564expcom 417 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → ((𝑃𝑘) = (𝑃𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))))
6665a2d 29 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → ((𝜑 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑁)) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))))
6727, 29, 31, 33, 34, 66uzind4i 12506 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁)))
6824, 25, 67sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁))
69 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
7027, 29, 31, 31, 34, 66uzind4i 12506 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁)))
7169, 25, 70sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃𝑁))
7268, 71eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑃𝑀) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
7372eleq2d 2823 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
741ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
752ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
76 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7774, 75, 3, 76smuval 16040 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
7873, 77bitr4d 285 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
79 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8079nn0zd 12280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
8180peano2zd 12285 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
825nn0zd 12280 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8382adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
84 uztric 12462 . . . . . 6 (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)))
8581, 83, 84syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑁)))
8623, 78, 85mpjaodan 959 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
8786ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵))))
8811, 15, 87pm5.21ndd 384 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
8988eqrdv 2735 1 (𝜑 → (𝑃𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  {crab 3065  wss 3866  c0 4237  ifcif 4439  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053  cmpt 5135  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062  0cn0 12090  cz 12176  cuz 12438  ..^cfzo 13238  seqcseq 13574   sadd csad 15979   smul csmu 15980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-xor 1508  df-tru 1546  df-fal 1556  df-had 1600  df-cad 1614  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-dvds 15816  df-bits 15981  df-sad 16010  df-smu 16035
This theorem is referenced by:  smupval  16047
  Copyright terms: Public domain W3C validator