Theorem smupvallem 16414

Description: If 𝐴 only has elements less than 𝑁, then all elements of the partial sum sequence past 𝑁 already equal the final value. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p	⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
smupvallem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
smupvallem.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smupvallem	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smupvallem

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smuval.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		smuval.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		smuval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
4	1, 2, 3	smupf 16409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
5		smuval.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		smupvallem.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		eluznn0 12834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8	5, 6, 7	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	4, 8	ffvelcdmd 7032	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ 𝒫 ℕ0)
10	9	elpwid 4564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ⊆ ℕ0)
11	10	sseld 3933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0))
12	1, 2, 3	smufval 16408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))})
13		ssrab2 4033	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ ℕ0
14	12, 13	eqsstrdi 3979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 smul 𝐵) ⊆ ℕ0)
15	14	sseld 3933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
16	1	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
17	2	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
18		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20		uztrn 12773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
21	19, 20	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)))
22	16, 17, 3, 18, 21	smuval2 16413	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀)))
23	22	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
24	6	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
25		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝜑)
26		fveqeq2 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁)))
27	26	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))))
28		fveqeq2 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)))
29	28	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁))))
30		fveqeq2 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
31	30	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
32		fveqeq2 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁)))
33	32	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝑁)) ↔ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁))))
34		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘𝑁))
35	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
36	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
37		eluznn0 12834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38	5, 37	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39	35, 36, 3, 38	smupp1 16411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}))
40	5	nn0red 12467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
42	38	nn0red 12467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
43		eluzle 12768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑘)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝑘)
45	41, 42, 44	lensymd 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ¬ 𝑘 < 𝑁)
46		smupvallem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ (0..^𝑁))
48	47	sseld 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (0..^𝑁)))
49		elfzolt2 13588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 < 𝑁)
50	48, 49	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 < 𝑁))
51	50	adantrd 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘 < 𝑁))
52	45, 51	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
53	52	ralrimivw 3133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
54		rabeq0 4341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ0 ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵))
55	53, 54	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
56	55	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑘) ∈ 𝐵)}) = ((𝑃‘𝑘) sadd ∅))
57	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
58	57, 38	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
59	58	elpwid 4564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ⊆ ℕ0)
60		sadid1 16399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ⊆ ℕ0 → ((𝑃‘𝑘) sadd ∅) = (𝑃‘𝑘))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) sadd ∅) = (𝑃‘𝑘))
62	39, 56, 61	3eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑘))
63	62	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁) ↔ (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)))
64	63	biimprd 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
65	64	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → ((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
66	65	a2d 29	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((𝜑 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑁)) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))))
67	27, 29, 31, 33, 34, 66	uzind4i 12827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁)))
68	24, 25, 67	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘𝑁))
69		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
70	27, 29, 31, 31, 34, 66	uzind4i 12827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝜑 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁)))
71	69, 25, 70	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘𝑁))
72	68, 71	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑃‘𝑀) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
73	72	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
74	1	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
75	2	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
76		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
77	74, 75, 3, 76	smuval 16412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
78	73, 77	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
79		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
80	79	nn0zd 12517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
81	80	peano2zd 12603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
82	5	nn0zd 12517	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
83	82	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
84		uztric 12779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
85	81, 83, 84	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ∨ (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
86	23, 78, 85	mpjaodan 961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
87	86	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵))))
88	11, 15, 87	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 smul 𝐵)))
89	88	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) = (𝐴 smul 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3400   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ifcif 4480  𝒫 cpw 4555   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ..^cfzo 13574  seqcseq 13928   sadd csad 16351   smul csmu 16352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614  df-dvds 16184  df-bits 16353  df-sad 16382  df-smu 16407

This theorem is referenced by:  smupval  16419