Theorem bcmax 27635

Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcmax	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))

Proof of Theorem bcmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12650	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12669	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	sylancr 599	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6		nn0re 12642	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	leidd 11909	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ 𝑁)
8		nn0cn 12643	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
9		2cn 12445	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		2ne0 12476	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11		divcan3 12027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
12	9, 10, 11	mp3an23 1483	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
13	8, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
14	7, 13	breqtrrd 5136	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
15	2, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
16		bcmono 27634	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
17	4, 5, 15, 16	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
18		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	1, 18, 3	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
20		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
21		bccmpl 14480	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
22	19, 20, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
23	18	nn0red 12695	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	recnd 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
25	24	2timesd 12616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
26	20	zred 12830	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
27		eluzle 13005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
28	27	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝐾)
29	23, 26, 23, 28	leadd2dd 11958	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 + 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
30	25, 29	eqbrtrd 5130	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
31	19	nn0red 12695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
32	31, 26, 23	lesubaddd 11940	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
33	30, 32	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
34	19	nn0zd 12745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
35	34, 20	zsubcld 12835	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
36	18	nn0zd 12745	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37		eluz 13006	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
38	35, 36, 37	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
39	33, 38	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)))
40	18, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
41		bcmono 27634	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
42	19, 39, 40, 41	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
43	22, 42	eqbrtrd 5130	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
44		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
45		nn0z 12744	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
46	45	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
47		uztric 13016	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
48	44, 46, 47	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
49	17, 43, 48	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227   + caddc 11230   · cmul 11232   ≤ cle 11371   − cmin 11568   / cdiv 12000  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  Ccbc 14473

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-seq 14172  df-fac 14445  df-bc 14474

This theorem is used by:  lcmineqlem17  43287