MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcmax 27322
Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcmax ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))

Proof of Theorem bcmax
StepHypRef Expression
1 2nn0 12543 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 simpll 767 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 nn0mulcl 12562 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
41, 2, 3sylancr 587 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
5 simpr 484 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
6 nn0re 12535 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
76leidd 11829 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁)
8 nn0cn 12536 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
9 2cn 12341 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
10 2ne0 12370 . . . . . . 7 2 ≠ 0
11 divcan3 11948 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
129, 10, 11mp3an23 1455 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
138, 12syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
147, 13breqtrrd 5171 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
152, 14syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
16 bcmono 27321 . . 3 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
174, 5, 15, 16syl3anc 1373 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
18 simpll 767 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
191, 18, 3sylancr 587 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
20 simplr 769 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
21 bccmpl 14348 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
2219, 20, 21syl2anc 584 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
2318nn0red 12588 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2423recnd 11289 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
25242timesd 12509 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
2620zred 12722 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
27 eluzle 12891 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝐾)
2827adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝐾)
2923, 26, 23, 28leadd2dd 11878 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑁 + 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
3025, 29eqbrtrd 5165 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
3119nn0red 12588 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3231, 26, 23lesubaddd 11860 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
3330, 32mpbird 257 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
3419nn0zd 12639 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
3534, 20zsubcld 12727 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
3618nn0zd 12639 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37 eluz 12892 . . . . . 6 ((((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
3835, 36, 37syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
3933, 38mpbird 257 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)))
4018, 14syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
41 bcmono 27321 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
4219, 39, 40, 41syl3anc 1373 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
4322, 42eqbrtrd 5165 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
44 simpr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
45 nn0z 12638 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4645adantr 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
47 uztric 12902 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)))
4844, 46, 47syl2anc 584 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)))
4917, 43, 48mpjaodan 961 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  Ccbc 14341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-fac 14313  df-bc 14342
This theorem is referenced by:  lcmineqlem17  42046
  Copyright terms: Public domain W3C validator