MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcmax 26642
Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcmax ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐พ) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))

Proof of Theorem bcmax
StepHypRef Expression
1 2nn0 12437 . . . 4 2 โˆˆ โ„•0
2 simpll 766 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3 nn0mulcl 12456 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
41, 2, 3sylancr 588 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
5 simpr 486 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ))
6 nn0re 12429 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
76leidd 11728 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘)
8 nn0cn 12430 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
9 2cn 12235 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
10 2ne0 12264 . . . . . . 7 2 โ‰  0
11 divcan3 11846 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 2) = ๐‘)
129, 10, 11mp3an23 1454 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 2) = ๐‘)
138, 12syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 2) = ๐‘)
147, 13breqtrrd 5138 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 2))
152, 14syl 17 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 2))
16 bcmono 26641 . . 3 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐พ) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
174, 5, 15, 16syl3anc 1372 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐พ) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
18 simpll 766 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
191, 18, 3sylancr 588 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
20 simplr 768 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
21 bccmpl 14216 . . . 4 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐พ) = ((2 ยท ๐‘)C((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)))
2219, 20, 21syl2anc 585 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐พ) = ((2 ยท ๐‘)C((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)))
2318nn0red 12481 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2423recnd 11190 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
25242timesd 12403 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
2620zred 12614 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
27 eluzle 12783 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐พ)
2827adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐พ)
2923, 26, 23, 28leadd2dd 11777 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ + ๐‘) โ‰ค (๐‘ + ๐พ))
3025, 29eqbrtrd 5132 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ + ๐พ))
3119nn0red 12481 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
3231, 26, 23lesubaddd 11759 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ + ๐พ)))
3330, 32mpbird 257 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘)
3419nn0zd 12532 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3534, 20zsubcld 12619 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„ค)
3618nn0zd 12532 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
37 eluz 12784 . . . . . 6 ((((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)) โ†” ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘))
3835, 36, 37syl2anc 585 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)) โ†” ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘))
3933, 38mpbird 257 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)))
4018, 14syl 17 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 2))
41 bcmono 26641 . . . 4 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)) โˆง ๐‘ โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
4219, 39, 40, 41syl3anc 1372 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
4322, 42eqbrtrd 5132 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐พ) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
44 simpr 486 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
45 nn0z 12531 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4645adantr 482 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
47 uztric 12794 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆจ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)))
4844, 46, 47syl2anc 585 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆจ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)))
4917, 43, 48mpjaodan 958 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐พ) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  Ccbc 14209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-seq 13914  df-fac 14181  df-bc 14210
This theorem is referenced by:  lcmineqlem17  40531
  Copyright terms: Public domain W3C validator