MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcmax 26781
Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcmax ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐พ) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))

Proof of Theorem bcmax
StepHypRef Expression
1 2nn0 12489 . . . 4 2 โˆˆ โ„•0
2 simpll 766 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3 nn0mulcl 12508 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
41, 2, 3sylancr 588 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
5 simpr 486 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ))
6 nn0re 12481 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
76leidd 11780 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘)
8 nn0cn 12482 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
9 2cn 12287 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
10 2ne0 12316 . . . . . . 7 2 โ‰  0
11 divcan3 11898 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 2) = ๐‘)
129, 10, 11mp3an23 1454 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 2) = ๐‘)
138, 12syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 2) = ๐‘)
147, 13breqtrrd 5177 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 2))
152, 14syl 17 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 2))
16 bcmono 26780 . . 3 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆง ๐‘ โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐พ) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
174, 5, 15, 16syl3anc 1372 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐พ) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
18 simpll 766 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
191, 18, 3sylancr 588 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
20 simplr 768 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
21 bccmpl 14269 . . . 4 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐พ) = ((2 ยท ๐‘)C((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)))
2219, 20, 21syl2anc 585 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐พ) = ((2 ยท ๐‘)C((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)))
2318nn0red 12533 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2423recnd 11242 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
25242timesd 12455 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) = (๐‘ + ๐‘))
2620zred 12666 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
27 eluzle 12835 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐พ)
2827adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐พ)
2923, 26, 23, 28leadd2dd 11829 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ + ๐‘) โ‰ค (๐‘ + ๐พ))
3025, 29eqbrtrd 5171 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ + ๐พ))
3119nn0red 12533 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
3231, 26, 23lesubaddd 11811 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘ โ†” (2 ยท ๐‘) โ‰ค (๐‘ + ๐พ)))
3330, 32mpbird 257 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘)
3419nn0zd 12584 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3534, 20zsubcld 12671 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„ค)
3618nn0zd 12584 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
37 eluz 12836 . . . . . 6 ((((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)) โ†” ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘))
3835, 36, 37syl2anc 585 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)) โ†” ((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ) โ‰ค ๐‘))
3933, 38mpbird 257 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)))
4018, 14syl 17 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 2))
41 bcmono 26780 . . . 4 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)) โˆง ๐‘ โ‰ค ((2 ยท ๐‘) / 2)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
4219, 39, 40, 41syl3anc 1372 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C((2 ยท ๐‘) โˆ’ ๐พ)) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
4322, 42eqbrtrd 5171 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐พ) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
44 simpr 486 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
45 nn0z 12583 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4645adantr 482 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
47 uztric 12846 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆจ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)))
4844, 46, 47syl2anc 585 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐พ) โˆจ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)))
4917, 43, 48mpjaodan 958 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘)C๐พ) โ‰ค ((2 ยท ๐‘)C๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  Ccbc 14262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-fac 14234  df-bc 14263
This theorem is referenced by:  lcmineqlem17  40910
  Copyright terms: Public domain W3C validator