MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcmax 27336
Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcmax ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))

Proof of Theorem bcmax
StepHypRef Expression
1 2nn0 12540 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 simpll 767 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 nn0mulcl 12559 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
41, 2, 3sylancr 587 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
5 simpr 484 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
6 nn0re 12532 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
76leidd 11826 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁)
8 nn0cn 12533 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
9 2cn 12338 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
10 2ne0 12367 . . . . . . 7 2 ≠ 0
11 divcan3 11945 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
129, 10, 11mp3an23 1452 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
138, 12syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
147, 13breqtrrd 5175 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
152, 14syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
16 bcmono 27335 . . 3 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
174, 5, 15, 16syl3anc 1370 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
18 simpll 767 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
191, 18, 3sylancr 587 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
20 simplr 769 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
21 bccmpl 14344 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
2219, 20, 21syl2anc 584 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
2318nn0red 12585 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2423recnd 11286 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
25242timesd 12506 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
2620zred 12719 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
27 eluzle 12888 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝐾)
2827adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝐾)
2923, 26, 23, 28leadd2dd 11875 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑁 + 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
3025, 29eqbrtrd 5169 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
3119nn0red 12585 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3231, 26, 23lesubaddd 11857 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
3330, 32mpbird 257 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
3419nn0zd 12636 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
3534, 20zsubcld 12724 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
3618nn0zd 12636 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37 eluz 12889 . . . . . 6 ((((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
3835, 36, 37syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
3933, 38mpbird 257 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)))
4018, 14syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
41 bcmono 27335 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
4219, 39, 40, 41syl3anc 1370 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
4322, 42eqbrtrd 5169 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
44 simpr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
45 nn0z 12635 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4645adantr 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
47 uztric 12899 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)))
4844, 46, 47syl2anc 584 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)))
4917, 43, 48mpjaodan 960 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152   + caddc 11155   · cmul 11157  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  Ccbc 14337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-seq 14039  df-fac 14309  df-bc 14338
This theorem is referenced by:  lcmineqlem17  42026
  Copyright terms: Public domain W3C validator