Theorem bcmax 27319

Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcmax	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))

Proof of Theorem bcmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12495	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		simpll 776	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 12514	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	sylancr 596	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
5		simpr 488	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6		nn0re 12487	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	leidd 11750	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ 𝑁)
8		nn0cn 12488	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
9		2cn 12290	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		2ne0 12321	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11		divcan3 11868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
12	9, 10, 11	mp3an23 1473	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
13	8, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
14	7, 13	breqtrrd 5127	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
15	2, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
16		bcmono 27318	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
17	4, 5, 15, 16	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
18		simpll 776	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	1, 18, 3	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
20		simplr 778	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
21		bccmpl 14319	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
22	19, 20, 21	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
23	18	nn0red 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	recnd 11207	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
25	24	2timesd 12461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
26	20	zred 12674	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
27		eluzle 12849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
28	27	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝐾)
29	23, 26, 23, 28	leadd2dd 11799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 + 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
30	25, 29	eqbrtrd 5121	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
31	19	nn0red 12540	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
32	31, 26, 23	lesubaddd 11781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
33	30, 32	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
34	19	nn0zd 12590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
35	34, 20	zsubcld 12679	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
36	18	nn0zd 12590	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37		eluz 12850	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
38	35, 36, 37	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
39	33, 38	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)))
40	18, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
41		bcmono 27318	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
42	19, 39, 40, 41	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
43	22, 42	eqbrtrd 5121	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
44		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
45		nn0z 12589	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
46	45	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
47		uztric 12860	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
48	44, 46, 47	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
49	17, 43, 48	mpjaodan 971	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070   + caddc 11073   · cmul 11075   ≤ cle 11214   − cmin 11411   / cdiv 11841  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  Ccbc 14312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-seq 14012  df-fac 14284  df-bc 14313

This theorem is referenced by:  lcmineqlem17  42626