Proof of Theorem bcmax
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2nn0 12250 |
. . . 4
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
2 | | simpll 764 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈
ℕ0) |
3 | | nn0mulcl 12269 |
. . . 4
⊢ ((2
∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2
· 𝑁) ∈
ℕ0) |
4 | 1, 2, 3 | sylancr 587 |
. . 3
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝐾)) → (2 · 𝑁) ∈
ℕ0) |
5 | | simpr 485 |
. . 3
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) |
6 | | nn0re 12242 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℝ) |
7 | 6 | leidd 11541 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ≤ 𝑁) |
8 | | nn0cn 12243 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℂ) |
9 | | 2cn 12048 |
. . . . . . 7
⊢ 2 ∈
ℂ |
10 | | 2ne0 12077 |
. . . . . . 7
⊢ 2 ≠
0 |
11 | | divcan3 11659 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈
ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁) |
12 | 9, 10, 11 | mp3an23 1452 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2
· 𝑁) / 2) = 𝑁) |
13 | 8, 12 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁) / 2)
= 𝑁) |
14 | 7, 13 | breqtrrd 5102 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ≤ ((2 ·
𝑁) / 2)) |
15 | 2, 14 | syl 17 |
. . 3
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) |
16 | | bcmono 26425 |
. . 3
⊢ (((2
· 𝑁) ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁)) |
17 | 4, 5, 15, 16 | syl3anc 1370 |
. 2
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝐾)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁)) |
18 | | simpll 764 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈
ℕ0) |
19 | 1, 18, 3 | sylancr 587 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈
ℕ0) |
20 | | simplr 766 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ) |
21 | | bccmpl 14023 |
. . . 4
⊢ (((2
· 𝑁) ∈
ℕ0 ∧ 𝐾
∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾))) |
22 | 19, 20, 21 | syl2anc 584 |
. . 3
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾))) |
23 | 18 | nn0red 12294 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
24 | 23 | recnd 11003 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ) |
25 | 24 | 2timesd 12216 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁)) |
26 | 20 | zred 12426 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ) |
27 | | eluzle 12595 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾) |
28 | 27 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝐾) |
29 | 23, 26, 23, 28 | leadd2dd 11590 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 + 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾)) |
30 | 25, 29 | eqbrtrd 5096 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾)) |
31 | 19 | nn0red 12294 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ) |
32 | 31, 26, 23 | lesubaddd 11572 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))) |
33 | 30, 32 | mpbird 256 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁) |
34 | 19 | nn0zd 12424 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ) |
35 | 34, 20 | zsubcld 12431 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ) |
36 | 18 | nn0zd 12424 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
37 | | eluz 12596 |
. . . . . 6
⊢ ((((2
· 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈
(ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)) |
38 | 35, 36, 37 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2
· 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)) |
39 | 33, 38 | mpbird 256 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2
· 𝑁) − 𝐾))) |
40 | 18, 14 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) |
41 | | bcmono 26425 |
. . . 4
⊢ (((2
· 𝑁) ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁)) |
42 | 19, 39, 40, 41 | syl3anc 1370 |
. . 3
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁)) |
43 | 22, 42 | eqbrtrd 5096 |
. 2
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
∧ 𝐾 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁)) |
44 | | simpr 485 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
→ 𝐾 ∈
ℤ) |
45 | | nn0z 12343 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℤ) |
46 | 45 | adantr 481 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
→ 𝑁 ∈
ℤ) |
47 | | uztric 12606 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))) |
48 | 44, 46, 47 | syl2anc 584 |
. 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
→ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))) |
49 | 17, 43, 48 | mpjaodan 956 |
1
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
→ ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁)) |