Theorem uz11 12255

Description: The upper integers function is one-to-one. (Contributed by NM, 12-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uz11	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem uz11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 12246	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eleq2 2878	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
3		eluzel2 12236	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl6bi 256	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ))
5	1, 4	mpan9 510	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		uzid 12246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		eleq2 2878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
8	6, 7	syl5ibr 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9		eluzle 12244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
10	8, 9	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑁))
11	1, 2	syl5ib 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
12		eluzle 12244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
13	11, 12	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝑀))
14	10, 13	anim12d 611	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
15	14	impl 459	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
16	15	ancoms 462	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
17	16	anassrs 471	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
18		zre 11973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
19		zre 11973	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20		letri3 10715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
21	18, 19, 20	syl2an 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
22	21	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
23	17, 22	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 = 𝑁)
24	5, 23	mpdan 686	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
25	24	ex 416	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
26		fveq2 6645	. 2 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁))
27	25, 26	impbid1 228	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  ℝcr 10525   ≤ cle 10665  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232

This theorem is referenced by:  fzopth  12939  ulm2  24980  fzoopth  43884