Theorem uz11 12904

Description: The upper integers function is one-to-one. (Contributed by NM, 12-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uz11	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem uz11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 12894	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eleq2 2829	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
3		eluzel2 12884	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ))
5	1, 4	mpan9 506	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		uzid 12894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		eleq2 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
8	6, 7	imbitrrid 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9		eluzle 12892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
10	8, 9	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑁))
11	1, 2	imbitrid 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
12		eluzle 12892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
13	11, 12	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝑀))
14	10, 13	anim12d 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
15	14	impl 455	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
16	15	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
17	16	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
18		zre 12619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
19		zre 12619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20		letri3 11347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
21	18, 19, 20	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
22	21	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
23	17, 22	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 = 𝑁)
24	5, 23	mpdan 687	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
25	24	ex 412	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
26		fveq2 6905	. 2 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁))
27	25, 26	impbid1 225	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  ℝcr 11155   ≤ cle 11297  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-neg 11496  df-z 12616  df-uz 12880

This theorem is referenced by:  fzopth  13602  fzoopth  13802  ulm2  26429