MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uz11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uz11 12259
Description: The upper integers function is one-to-one. (Contributed by NM, 12-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
uz11 (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem uz11
StepHypRef Expression
1 uzid 12250 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2 eleq2 2899 . . . . . 6 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
3 eluzel2 12240 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl6bi 255 . . . . 5 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ))
51, 4mpan9 509 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 uzid 12250 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
7 eleq2 2899 . . . . . . . . . . 11 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑁)))
86, 7syl5ibr 248 . . . . . . . . . 10 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
9 eluzle 12248 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
108, 9syl6 35 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑀𝑁))
111, 2syl5ib 246 . . . . . . . . . 10 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
12 eluzle 12248 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
1311, 12syl6 35 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁𝑀))
1410, 13anim12d 610 . . . . . . . 8 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
1514impl 458 . . . . . . 7 ((((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
1615ancoms 461 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
1716anassrs 470 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
18 zre 11977 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
19 zre 11977 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20 letri3 10718 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2118, 19, 20syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2221adantlr 713 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2317, 22mpbird 259 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 = 𝑁)
245, 23mpdan 685 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
2524ex 415 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
26 fveq2 6663 . 2 (𝑀 = 𝑁 → (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁))
2725, 26impbid1 227 1 (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5057  cfv 6348  cr 10528  cle 10668  cz 11973  cuz 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-neg 10865  df-z 11974  df-uz 12236
This theorem is referenced by:  fzopth  12936  ulm2  24965  fzoopth  43512
  Copyright terms: Public domain W3C validator