Theorem uzin 12926

Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzin	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Proof of Theorem uzin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztric 12914	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
2		uzss 12913	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
3		sseqin2 4172	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑁))
4	2, 3	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑁))
5		eluzle 12903	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
6		iftrue 4491	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
8	7	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
9	4, 8	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10		uzss 12913	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
11		dfss2 3920	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝑁) ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
12	10, 11	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
13		eluzle 12903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
14		eluzel2 12895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		eluzelz 12900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
16		zre 12622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
17		zre 12622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
18		letri3 11322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
19	16, 17, 18	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
20	14, 15, 19	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
21	13, 20	mpbirand 720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
22	21	biimprcd 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 = 𝑀))
23	6	eqeq1d 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀 ↔ 𝑁 = 𝑀))
24	22, 23	sylibrd 262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
25	24	com12 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
26		iffalse 4494	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
27	25, 26	pm2.61d1 182	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
28	27	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀))
29	12, 28	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
30	9, 29	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
31	1, 30	syl 18	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ifcif 4485   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  ℝcr 11126   ≤ cle 11271  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-neg 11471  df-z 12619  df-uz 12891

This theorem is used by:  uzin2  15434  explecnv  15956  uzrest  24124