Theorem uzin 12547

Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzin	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Proof of Theorem uzin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztric 12535	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
2		uzss 12534	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
3		sseqin2 4146	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑁))
4	2, 3	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑁))
5		eluzle 12524	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
6		iftrue 4462	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
8	7	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
9	4, 8	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10		uzss 12534	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
11		df-ss 3900	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝑁) ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
12	10, 11	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
13		eluzle 12524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
14		eluzel2 12516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		eluzelz 12521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
16		zre 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
17		zre 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
18		letri3 10991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
19	16, 17, 18	syl2an 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
20	14, 15, 19	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
21	13, 20	mpbirand 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
22	21	biimprcd 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 = 𝑀))
23	6	eqeq1d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀 ↔ 𝑁 = 𝑀))
24	22, 23	sylibrd 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
25	24	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
26		iffalse 4465	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
27	25, 26	pm2.61d1 180	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
28	27	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀))
29	12, 28	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
30	9, 29	jaoi 853	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
31	1, 30	syl 17	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ifcif 4456   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  ℝcr 10801   ≤ cle 10941  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512

This theorem is referenced by:  uzin2  14984  explecnv  15505  uzrest  22956