Theorem uzin 11932

Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzin	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Proof of Theorem uzin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztric 11920	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
2		uzss 11919	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
3		sseqin2 4010	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑁))
4	2, 3	sylib 209	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑁))
5		eluzle 11911	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
6		iftrue 4279	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
8	7	fveq2d 6406	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
9	4, 8	eqtr4d 2839	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10		uzss 11919	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
11		df-ss 3777	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝑁) ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
12	10, 11	sylib 209	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
13		eluzel2 11903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		eluzelz 11908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		zre 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		zre 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
17		letri3 10402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
18	15, 16, 17	syl2an 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
19	13, 14, 18	syl2anc 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
20		eluzle 11911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
21	20	biantrurd 524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
22	19, 21	bitr4d 273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
23	22	biimprcd 241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 = 𝑀))
24	6	eqeq1d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀 ↔ 𝑁 = 𝑀))
25	23, 24	sylibrd 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
26	25	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
27		iffalse 4282	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
28	26, 27	pm2.61d1 172	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
29	28	fveq2d 6406	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀))
30	12, 29	eqtr4d 2839	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
31	9, 30	jaoi 875	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
32	1, 31	syl 17	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∨ wo 865   = wceq 1637   ∈ wcel 2155   ∩ cin 3762   ⊆ wss 3763  ifcif 4273   class class class wbr 4837  ‘cfv 6095  ℝcr 10214   ≤ cle 10354  ℤcz 11637  ℤ_≥cuz 11898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-op 4371  df-uni 4624  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-id 5213  df-po 5226  df-so 5227  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-ov 6871  df-er 7973  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-neg 10548  df-z 11638  df-uz 11899

This theorem is referenced by:  uzin2  14301  explecnv  14813  uzrest  21908