MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzin 12868
Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Proof of Theorem uzin
StepHypRef Expression
1 uztric 12852 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
2 uzss 12851 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
3 sseqin2 4216 . . . . 5 ((ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀) ↔ ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑁))
42, 3sylib 217 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑁))
5 eluzle 12841 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
6 iftrue 4535 . . . . . 6 (𝑀𝑁 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
87fveq2d 6896 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ𝑁))
94, 8eqtr4d 2773 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10 uzss 12851 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝑀) ⊆ (ℤ𝑁))
11 df-ss 3966 . . . . 5 ((ℤ𝑀) ⊆ (ℤ𝑁) ↔ ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑀))
1210, 11sylib 217 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ𝑀))
13 eluzle 12841 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
14 eluzel2 12833 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
15 eluzelz 12838 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
16 zre 12568 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
17 zre 12568 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
18 letri3 11305 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
1916, 17, 18syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
2014, 15, 19syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁𝑀𝑀𝑁)))
2113, 20mpbirand 703 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 = 𝑀𝑀𝑁))
2221biimprcd 249 . . . . . . . 8 (𝑀𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 = 𝑀))
236eqeq1d 2732 . . . . . . . 8 (𝑀𝑁 → (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀𝑁 = 𝑀))
2422, 23sylibrd 258 . . . . . . 7 (𝑀𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
2524com12 32 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑀𝑁 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
26 iffalse 4538 . . . . . 6 𝑀𝑁 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
2725, 26pm2.61d1 180 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
2827fveq2d 6896 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ𝑀))
2912, 28eqtr4d 2773 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
309, 29jaoi 853 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
311, 30syl 17 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑀) ∩ (ℤ𝑁)) = (ℤ‘if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 843   = wceq 1539  wcel 2104  cin 3948  wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149  cfv 6544  cr 11113  cle 11255  cz 12564  cuz 12828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-neg 11453  df-z 12565  df-uz 12829
This theorem is referenced by:  uzin2  15297  explecnv  15817  uzrest  23623
  Copyright terms: Public domain W3C validator