MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlemb 19662
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 19647 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
efgredlemb.q (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
efgredlemb.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.v (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
efgredlemb.7 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
efgredlemb.8 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
Assertion
Ref Expression
efgredlemb ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredlemb
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . 5 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . 5 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . 5 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7 efgredlem.1 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
8 efgredlem.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
9 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (♯‘(𝑆𝐴)) = (♯‘(𝑆𝐵)))
109breq2d 5160 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐵))))
1110imbi1d 341 . . . . . . . 8 ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐵)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
12112ralbidv 3217 . . . . . . 7 ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐵)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
138, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐵)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
147, 13mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐵)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
15 efgredlem.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
16 efgredlem.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
178eqcomd 2737 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑆𝐴))
18 efgredlem.5 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
19 eqcom 2738 . . . . . 6 ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) ↔ (𝐵‘0) = (𝐴‘0))
2018, 19sylnib 328 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐵‘0) = (𝐴‘0))
21 efgredlemb.l . . . . 5 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
22 efgredlemb.k . . . . 5 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
23 efgredlemb.q . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
24 efgredlemb.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
25 efgredlemb.v . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
26 efgredlemb.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
27 efgredlemb.7 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
28 efgredlemb.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
29 efgredlemb.8 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
30 eqcom 2738 . . . . . 6 ((𝐴𝐾) = (𝐵𝐿) ↔ (𝐵𝐿) = (𝐴𝐾))
3129, 30sylnib 328 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐵𝐿) = (𝐴𝐾))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 31efgredlemc 19661 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℤ𝑃) → (𝐵‘0) = (𝐴‘0)))
3332, 19imbitrrdi 251 . . 3 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℤ𝑃) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16, 15, 8, 18, 22, 21, 24, 23, 26, 25, 28, 27, 29efgredlemc 19661 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ𝑄) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
3524elfzelzd 13509 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
3623elfzelzd 13509 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
37 uztric 12853 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝑄 ∈ (ℤ𝑃) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ𝑄)))
3835, 36, 37syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℤ𝑃) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ𝑄)))
3933, 34, 38mpjaod 857 . 2 (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
4039, 18pm2.65i 193 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  {crab 3431  cdif 3945  c0 4322  {csn 4628  cop 4634  cotp 4636   ciun 4997   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5573   × cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677  cfv 6543  (class class class)co 7412  cmpo 7414  1oc1o 8465  2oc2o 8466  0cc0 11116  1c1 11117   < clt 11255  cmin 11451  cz 12565  cuz 12829  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634  chash 14297  Word cword 14471   splice csplice 14706  ⟨“cs2 14799   ~FG cefg 19622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14707  df-s2 14806
This theorem is referenced by:  efgredlem  19663
  Copyright terms: Public domain W3C validator