Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlemb 18808
 Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18793 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
efgredlemb.q (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
efgredlemb.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.v (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
efgredlemb.6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
efgredlemb.7 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
efgredlemb.8 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
Assertion
Ref Expression
efgredlemb ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredlemb
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . 5 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . 5 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . 5 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7 efgredlem.1 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
8 efgredlem.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
9 fveq2 6669 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (♯‘(𝑆𝐴)) = (♯‘(𝑆𝐵)))
109breq2d 5075 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) ↔ (♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐵))))
1110imbi1d 343 . . . . . . . 8 ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐵)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
12112ralbidv 3204 . . . . . . 7 ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐵)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
138, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐵)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
147, 13mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐵)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
15 efgredlem.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
16 efgredlem.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
178eqcomd 2832 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑆𝐴))
18 efgredlem.5 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
19 eqcom 2833 . . . . . 6 ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) ↔ (𝐵‘0) = (𝐴‘0))
2018, 19sylnib 329 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐵‘0) = (𝐴‘0))
21 efgredlemb.l . . . . 5 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
22 efgredlemb.k . . . . 5 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
23 efgredlemb.q . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
24 efgredlemb.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
25 efgredlemb.v . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2o))
26 efgredlemb.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2o))
27 efgredlemb.7 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
28 efgredlemb.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
29 efgredlemb.8 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
30 eqcom 2833 . . . . . 6 ((𝐴𝐾) = (𝐵𝐿) ↔ (𝐵𝐿) = (𝐴𝐾))
3129, 30sylnib 329 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐵𝐿) = (𝐴𝐾))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 31efgredlemc 18807 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℤ𝑃) → (𝐵‘0) = (𝐴‘0)))
3332, 19syl6ibr 253 . . 3 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℤ𝑃) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16, 15, 8, 18, 22, 21, 24, 23, 26, 25, 28, 27, 29efgredlemc 18807 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ𝑄) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
35 elfzelz 12903 . . . . 5 (𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))) → 𝑃 ∈ ℤ)
3624, 35syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
37 elfzelz 12903 . . . . 5 (𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))) → 𝑄 ∈ ℤ)
3823, 37syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
39 uztric 12260 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝑄 ∈ (ℤ𝑃) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ𝑄)))
4036, 38, 39syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℤ𝑃) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ𝑄)))
4133, 34, 40mpjaod 856 . 2 (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
4241, 18pm2.65i 195 1 ¬ 𝜑
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 843   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3143  {crab 3147   ∖ cdif 3937  ∅c0 4295  {csn 4564  ⟨cop 4570  ⟨cotp 4572  ∪ ciun 4917   class class class wbr 5063   ↦ cmpt 5143   I cid 5458   × cxp 5552  dom cdm 5554  ran crn 5555  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  1oc1o 8091  2oc2o 8092  0cc0 10531  1c1 10532   < clt 10669   − cmin 10864  ℤcz 11975  ℤ≥cuz 12237  ...cfz 12887  ..^cfzo 13028  ♯chash 13685  Word cword 13856   splice csplice 14106  ⟨“cs2 14198   ~FG cefg 18768 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-ot 4573  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-hash 13686  df-word 13857  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-s2 14205 This theorem is referenced by:  efgredlem  18809
 Copyright terms: Public domain W3C validator