Theorem wevonprcf1o 35718

Description: If 𝑅 is a set-like well-ordering of the universe and 𝐴 is a proper class, then 𝐹 is a bijection from the ordinals to 𝐴. This is the ZFC version of (4 → 5) in https://tinyurl.com/hamkins-gblac. (Contributed by BTernaryTau, 9-Jun-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
wevonprcf1o.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
wevonprcf1o	⊢ ((𝑅 We V ∧ 𝑅 Se V ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹:On–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem wevonprcf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3958	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		wess 5645	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ V → (𝑅 We V → 𝑅 We 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑅 We V → 𝑅 We 𝐴)
4		sess2 5625	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ V → (𝑅 Se V → 𝑅 Se 𝐴))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑅 Se V → 𝑅 Se 𝐴)
6		id 23	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ∈ V)
7	3, 5, 6	3anim123i 1169	. 2 ⊢ ((𝑅 We V ∧ 𝑅 Se V ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V))
8		wevonprcf1o.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
9	8	ordtypeon 35603	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴))
10		isof1o 7328	. 2 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴) → 𝐹:On–1-1-onto→𝐴)
11	7, 9, 10	3syl 19	1 ⊢ ((𝑅 We V ∧ 𝑅 Se V ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹:On–1-1-onto→𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   E cep 5558   Se wse 5610   We wwe 5611  Oncon0 6361  –1-1-onto→wf1o 6536   Isom wiso 6538  OrdIsocoi 9485

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-oi 9486

This theorem is used by: (None)