Theorem wevonprcf1o 35468

Description: If 𝑅 is a set-like well-ordering of the universe and 𝐴 is a proper class, then 𝐹 is a bijection from the ordinals to 𝐴. This is the ZFC version of (4 → 5) in https://tinyurl.com/hamkins-gblac. (Contributed by BTernaryTau, 9-Jun-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
wevonprcf1o.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
wevonprcf1o	⊢ ((𝑅 We V ∧ 𝑅 Se V ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹:On–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem wevonprcf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3963	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		wess 5638	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ V → (𝑅 We V → 𝑅 We 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑅 We V → 𝑅 We 𝐴)
4		sess2 5618	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ V → (𝑅 Se V → 𝑅 Se 𝐴))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑅 Se V → 𝑅 Se 𝐴)
6		id 23	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ∈ V)
7	3, 5, 6	3anim123i 1167	. 2 ⊢ ((𝑅 We V ∧ 𝑅 Se V ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V))
8		wevonprcf1o.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
9	8	ordtypeon 35396	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴))
10		isof1o 7311	. 2 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴) → 𝐹:On–1-1-onto→𝐴)
11	7, 9, 10	3syl 19	1 ⊢ ((𝑅 We V ∧ 𝑅 Se V ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹:On–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907   E cep 5551   Se wse 5603   We wwe 5604  Oncon0 6350  –1-1-onto→wf1o 6524   Isom wiso 6526  OrdIsocoi 9459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-oi 9460

This theorem is referenced by: (None)