Theorem wevonprcf1o 35575

Description: If 𝑅 is a set-like well-ordering of the universe and 𝐴 is a proper class, then 𝐹 is a bijection from the ordinals to 𝐴. This is the ZFC version of (4 → 5) in https://tinyurl.com/hamkins-gblac. (Contributed by BTernaryTau, 9-Jun-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
wevonprcf1o.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
wevonprcf1o	⊢ ((𝑅 We V ∧ 𝑅 Se V ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹:On–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem wevonprcf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3962	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		wess 5649	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ V → (𝑅 We V → 𝑅 We 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑅 We V → 𝑅 We 𝐴)
4		sess2 5629	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ V → (𝑅 Se V → 𝑅 Se 𝐴))
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑅 Se V → 𝑅 Se 𝐴)
6		id 23	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 𝐴 ∈ V)
7	3, 5, 6	3anim123i 1169	. 2 ⊢ ((𝑅 We V ∧ 𝑅 Se V ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → (𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V))
8		wevonprcf1o.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
9	8	ordtypeon 35459	. 2 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴))
10		isof1o 7323	. 2 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (On, 𝐴) → 𝐹:On–1-1-onto→𝐴)
11	7, 9, 10	3syl 19	1 ⊢ ((𝑅 We V ∧ 𝑅 Se V ∧ ¬ 𝐴 ∈ V) → 𝐹:On–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906   E cep 5562   Se wse 5614   We wwe 5615  Oncon0 6362  –1-1-onto→wf1o 6537   Isom wiso 6539  OrdIsocoi 9472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-oi 9473

This theorem is referenced by: (None)