Theorem winacard 10780

Description: A weakly inaccessible cardinal is a cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winacard	⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem winacard

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elwina 10774	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
2		cardcf 10332	. . . 4 ⊢ (card‘(cf‘𝐴)) = (cf‘𝐴)
3		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → (card‘(cf‘𝐴)) = (card‘𝐴))
4		id 23	. . . 4 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → (cf‘𝐴) = 𝐴)
5	2, 3, 4	3eqtr3a 2819	. . 3 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → (card‘𝐴) = 𝐴)
6	5	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → (card‘𝐴) = 𝐴)
7	1, 6	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538   ≺ csdm 8975  cardccrd 10019  cfccf 10021  Inacc_wcwina 10770

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8720  df-en 8977  df-card 10023  df-cf 10025  df-wina 10772

This theorem is used by:  winalim  10783  winalim2  10784  gchina  10787  inar1  10863