Theorem winacard 10603

Description: A weakly inaccessible cardinal is a cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winacard	⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem winacard

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elwina 10597	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
2		cardcf 10162	. . . 4 ⊢ (card‘(cf‘𝐴)) = (cf‘𝐴)
3		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → (card‘(cf‘𝐴)) = (card‘𝐴))
4		id 22	. . . 4 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → (cf‘𝐴) = 𝐴)
5	2, 3, 4	3eqtr3a 2795	. . 3 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → (card‘𝐴) = 𝐴)
6	5	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → (card‘𝐴) = 𝐴)
7	1, 6	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492   ≺ csdm 8882  cardccrd 9847  cfccf 9849  Inacc_wcwina 10593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-card 9851  df-cf 9853  df-wina 10595

This theorem is referenced by:  winalim  10606  winalim2  10607  gchina  10610  inar1  10686