Theorem winacard 10580

Description: A weakly inaccessible cardinal is a cardinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winacard	⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem winacard

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elwina 10574	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦))
2		cardcf 10140	. . . 4 ⊢ (card‘(cf‘𝐴)) = (cf‘𝐴)
3		fveq2 6822	. . . 4 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → (card‘(cf‘𝐴)) = (card‘𝐴))
4		id 22	. . . 4 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → (cf‘𝐴) = 𝐴)
5	2, 3, 4	3eqtr3a 2790	. . 3 ⊢ ((cf‘𝐴) = 𝐴 → (card‘𝐴) = 𝐴)
6	5	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝐴) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝑦) → (card‘𝐴) = 𝐴)
7	1, 6	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ∅c0 4283   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481   ≺ csdm 8868  cardccrd 9825  cfccf 9827  Inacc_wcwina 10570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-ord 6309  df-on 6310  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-card 9829  df-cf 9831  df-wina 10572

This theorem is referenced by:  winalim  10583  winalim2  10584  gchina  10587  inar1  10663