Theorem omina 10731

Description: ω is a strongly inaccessible cardinal. (Many definitions of "inaccessible" explicitly disallow ω as an inaccessible cardinal, but this choice allows to reuse our results for inaccessibles for ω.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omina	⊢ ω ∈ Inacc

Proof of Theorem omina

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7910	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2	1	ne0ii 4344	. 2 ⊢ ω ≠ ∅
3		cfom 10304	. 2 ⊢ (cf‘ω) = ω
4		nnfi 9207	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
5		pwfi 9357	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
6	4, 5	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
7		isfinite 9692	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ≺ ω)
8	6, 7	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝒫 𝑥 ≺ ω)
9	8	rgen 3063	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω 𝒫 𝑥 ≺ ω
10		elina 10727	. 2 ⊢ (ω ∈ Inacc ↔ (ω ≠ ∅ ∧ (cf‘ω) = ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω 𝒫 𝑥 ≺ ω))
11	2, 3, 9, 10	mpbir3an 1342	1 ⊢ ω ∈ Inacc

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  ωcom 7887   ≺ csdm 8984  Fincfn 8985  cfccf 9977  Inacccina 10723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-cf 9981  df-ina 10725

This theorem is referenced by:  r1omALT  10816  r1omtsk  10819