Theorem omina 10783

Description: ω is a strongly inaccessible cardinal. (Many definitions of "inaccessible" explicitly disallow ω as an inaccessible cardinal, but this choice allows to reuse our results for inaccessibles for ω.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omina	⊢ ω ∈ Inacc

Proof of Theorem omina

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7904	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2	1	ne0ii 4289	. 2 ⊢ ω ≠ ∅
3		cfom 10349	. 2 ⊢ (cf‘ω) = ω
4		nnfi 9190	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
5		pwfi 9317	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
6	4, 5	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
7		isfinite 9660	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ≺ ω)
8	6, 7	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝒫 𝑥 ≺ ω)
9	8	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω 𝒫 𝑥 ≺ ω
10		elina 10779	. 2 ⊢ (ω ∈ Inacc ↔ (ω ≠ ∅ ∧ (cf‘ω) = ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω 𝒫 𝑥 ≺ ω))
11	2, 3, 9, 10	mpbir3an 1360	1 ⊢ ω ∈ Inacc

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  ωcom 7881   ≺ csdm 8979  Fincfn 8980  cfccf 10025  Inacccina 10775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-card 10027  df-cf 10029  df-ina 10777

This theorem is used by:  hfomALT  10868  hftsk  10871