Theorem omina 10644

Description: ω is a strongly inaccessible cardinal. (Many definitions of "inaccessible" explicitly disallow ω as an inaccessible cardinal, but this choice allows to reuse our results for inaccessibles for ω.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omina	⊢ ω ∈ Inacc

Proof of Theorem omina

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7865	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2	1	ne0ii 4307	. 2 ⊢ ω ≠ ∅
3		cfom 10217	. 2 ⊢ (cf‘ω) = ω
4		nnfi 9131	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
5		pwfi 9268	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
6	4, 5	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
7		isfinite 9605	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ≺ ω)
8	6, 7	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝒫 𝑥 ≺ ω)
9	8	rgen 3046	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω 𝒫 𝑥 ≺ ω
10		elina 10640	. 2 ⊢ (ω ∈ Inacc ↔ (ω ≠ ∅ ∧ (cf‘ω) = ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω 𝒫 𝑥 ≺ ω))
11	2, 3, 9, 10	mpbir3an 1342	1 ⊢ ω ∈ Inacc

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  ωcom 7842   ≺ csdm 8917  Fincfn 8918  cfccf 9890  Inacccina 10636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-cf 9894  df-ina 10638

This theorem is referenced by:  r1omALT  10729  r1omtsk  10732