Theorem omina 10614

Description: ω is a strongly inaccessible cardinal. (Many definitions of "inaccessible" explicitly disallow ω as an inaccessible cardinal, but this choice allows to reuse our results for inaccessibles for ω.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omina	⊢ ω ∈ Inacc

Proof of Theorem omina

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7841	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2	1	ne0ii 4298	. 2 ⊢ ω ≠ ∅
3		cfom 10186	. 2 ⊢ (cf‘ω) = ω
4		nnfi 9104	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
5		pwfi 9231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
6	4, 5	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
7		isfinite 9573	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ≺ ω)
8	6, 7	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝒫 𝑥 ≺ ω)
9	8	rgen 3054	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ω 𝒫 𝑥 ≺ ω
10		elina 10610	. 2 ⊢ (ω ∈ Inacc ↔ (ω ≠ ∅ ∧ (cf‘ω) = ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω 𝒫 𝑥 ≺ ω))
11	2, 3, 9, 10	mpbir3an 1343	1 ⊢ ω ∈ Inacc

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  ωcom 7818   ≺ csdm 8894  Fincfn 8895  cfccf 9861  Inacccina 10606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-cf 9865  df-ina 10608

This theorem is referenced by:  r1omALT  10699  r1omtsk  10702