MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omina Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omina 10708
Description: ω is a strongly inaccessible cardinal. (Many definitions of "inaccessible" explicitly disallow ω as an inaccessible cardinal, but this choice allows to reuse our results for inaccessibles for ω.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
omina ω ∈ Inacc

Proof of Theorem omina
StepHypRef Expression
1 peano1 7888 . . 3 ∅ ∈ ω
21ne0ii 4333 . 2 ω ≠ ∅
3 cfom 10281 . 2 (cf‘ω) = ω
4 nnfi 9185 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
5 pwfi 9196 . . . . 5 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
64, 5sylib 217 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
7 isfinite 9669 . . . 4 (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ≺ ω)
86, 7sylib 217 . . 3 (𝑥 ∈ ω → 𝒫 𝑥 ≺ ω)
98rgen 3059 . 2 𝑥 ∈ ω 𝒫 𝑥 ≺ ω
10 elina 10704 . 2 (ω ∈ Inacc ↔ (ω ≠ ∅ ∧ (cf‘ω) = ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω 𝒫 𝑥 ≺ ω))
112, 3, 9, 10mpbir3an 1339 1 ω ∈ Inacc
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  wral 3057  c0 4318  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142  cfv 6542  ωcom 7864  csdm 8956  Fincfn 8957  cfccf 9954  Inacccina 10700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-cf 9958  df-ina 10702
This theorem is referenced by:  r1omALT  10793  r1omtsk  10796
  Copyright terms: Public domain W3C validator