Theorem gchina 10622

Description: Assuming the GCH, weakly and strongly inaccessible cardinals coincide. Theorem 11.20 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchina	⊢ (GCH = V → Inaccw = Inacc)

Proof of Theorem gchina

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		idd 24	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (𝑥 ≠ ∅ → 𝑥 ≠ ∅))
3		idd 24	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → ((cf‘𝑥) = 𝑥 → (cf‘𝑥) = 𝑥))
4		pwfi 9231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
5		isfinite 9573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ≺ ω)
6		winainf 10617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝑥)
7		ssdomg 8949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝑥 → ω ≼ 𝑥))
8	6, 7	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ω ≼ 𝑥)
9		sdomdomtr 9050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝒫 𝑦 ≺ ω ∧ ω ≼ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)
10	9	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ω ≼ 𝑥 → (𝒫 𝑦 ≺ ω → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝒫 𝑦 ≺ ω → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
12	5, 11	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
13	4, 12	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
14	13	ad3antlr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
15	14	a1dd 50	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ Fin → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
16		vex 3446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → GCH = V)
18	16, 17	eleqtrrid 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ GCH)
19		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → ¬ 𝑦 ∈ Fin)
20		gchinf 10580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ GCH ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑦)
21	18, 19, 20	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → ω ≼ 𝑦)
22		vex 3446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
23	22, 17	eleqtrrid 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ GCH)
24		gchpwdom 10593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ GCH ∧ 𝑧 ∈ GCH) → (𝑦 ≺ 𝑧 ↔ 𝒫 𝑦 ≼ 𝑧))
25	21, 18, 23, 24	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑦 ≺ 𝑧 ↔ 𝒫 𝑦 ≼ 𝑧))
26		winacard 10615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (card‘𝑥) = 𝑥)
27		iscard 9899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥))
28	27	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
30	29	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
31	30	r19.21bi 3230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ≺ 𝑥)
32		domsdomtr 9052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 ∧ 𝑧 ≺ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)
33	32	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≺ 𝑥 → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
35	34	adantrr 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
36	25, 35	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
37	36	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑦 ∈ Fin → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
38	15, 37	pm2.61d 179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
39	38	rexlimdva 3139	. . . . . . . 8 ⊢ (((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
40	39	ralimdva 3150	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
41	2, 3, 40	3anim123d 1446	. . . . . 6 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧) → (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
42		elwina 10609	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧))
43		elina 10610	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
44	41, 42, 43	3imtr4g 296	. . . . 5 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ Inacc))
45	1, 44	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → 𝑥 ∈ Inacc)
46	45	ex 412	. . 3 ⊢ (GCH = V → (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ Inacc))
47		inawina 10613	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
48	46, 47	impbid1 225	. 2 ⊢ (GCH = V → (𝑥 ∈ Inaccw ↔ 𝑥 ∈ Inacc))
49	48	eqrdv 2735	1 ⊢ (GCH = V → Inaccw = Inacc)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100  Oncon0 6325  ‘cfv 6500  ωcom 7818   ≼ cdom 8893   ≺ csdm 8894  Fincfn 8895  cardccrd 9859  cfccf 9861  GCHcgch 10543  Inacc_wcwina 10605  Inacccina 10606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-seqom 8389  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-oexp 8413  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-oi 9427  df-har 9474  df-wdom 9482  df-cnf 9583  df-dju 9825  df-card 9863  df-cf 9865  df-fin4 10209  df-gch 10544  df-wina 10607  df-ina 10608

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