Theorem gchina 10739

Description: Assuming the GCH, weakly and strongly inaccessible cardinals coincide. Theorem 11.20 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchina	⊢ (GCH = V → Inaccw = Inacc)

Proof of Theorem gchina

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		idd 24	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (𝑥 ≠ ∅ → 𝑥 ≠ ∅))
3		idd 24	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → ((cf‘𝑥) = 𝑥 → (cf‘𝑥) = 𝑥))
4		pwfi 9357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
5		isfinite 9692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ≺ ω)
6		winainf 10734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝑥)
7		ssdomg 9040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝑥 → ω ≼ 𝑥))
8	6, 7	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ω ≼ 𝑥)
9		sdomdomtr 9150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝒫 𝑦 ≺ ω ∧ ω ≼ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)
10	9	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ω ≼ 𝑥 → (𝒫 𝑦 ≺ ω → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝒫 𝑦 ≺ ω → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
12	5, 11	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
13	4, 12	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
14	13	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
15	14	a1dd 50	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ Fin → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
16		vex 3484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → GCH = V)
18	16, 17	eleqtrrid 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ GCH)
19		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → ¬ 𝑦 ∈ Fin)
20		gchinf 10697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ GCH ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑦)
21	18, 19, 20	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → ω ≼ 𝑦)
22		vex 3484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
23	22, 17	eleqtrrid 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ GCH)
24		gchpwdom 10710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ GCH ∧ 𝑧 ∈ GCH) → (𝑦 ≺ 𝑧 ↔ 𝒫 𝑦 ≼ 𝑧))
25	21, 18, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑦 ≺ 𝑧 ↔ 𝒫 𝑦 ≼ 𝑧))
26		winacard 10732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (card‘𝑥) = 𝑥)
27		iscard 10015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥))
28	27	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
30	29	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
31	30	r19.21bi 3251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ≺ 𝑥)
32		domsdomtr 9152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 ∧ 𝑧 ≺ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)
33	32	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≺ 𝑥 → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
35	34	adantrr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
36	25, 35	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
37	36	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑦 ∈ Fin → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
38	15, 37	pm2.61d 179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
39	38	rexlimdva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
40	39	ralimdva 3167	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
41	2, 3, 40	3anim123d 1445	. . . . . 6 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧) → (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
42		elwina 10726	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧))
43		elina 10727	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
44	41, 42, 43	3imtr4g 296	. . . . 5 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ Inacc))
45	1, 44	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → 𝑥 ∈ Inacc)
46	45	ex 412	. . 3 ⊢ (GCH = V → (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ Inacc))
47		inawina 10730	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
48	46, 47	impbid1 225	. 2 ⊢ (GCH = V → (𝑥 ∈ Inaccw ↔ 𝑥 ∈ Inacc))
49	48	eqrdv 2735	1 ⊢ (GCH = V → Inaccw = Inacc)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  Oncon0 6384  ‘cfv 6561  ωcom 7887   ≼ cdom 8983   ≺ csdm 8984  Fincfn 8985  cardccrd 9975  cfccf 9977  GCHcgch 10660  Inacc_wcwina 10722  Inacccina 10723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seqom 8488  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-oexp 8512  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-har 9597  df-wdom 9605  df-cnf 9702  df-dju 9941  df-card 9979  df-cf 9981  df-fin4 10327  df-gch 10661  df-wina 10724  df-ina 10725

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