Theorem gchina 10672

Description: Assuming the GCH, weakly and strongly inaccessible cardinals coincide. Theorem 11.20 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchina	⊢ (GCH = V → Inaccw = Inacc)

Proof of Theorem gchina

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		idd 25	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (𝑥 ≠ ∅ → 𝑥 ≠ ∅))
3		idd 25	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → ((cf‘𝑥) = 𝑥 → (cf‘𝑥) = 𝑥))
4		pwfi 9266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
5		isfinite 9609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ≺ ω)
6		winainf 10667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝑥)
7		ssdomg 8985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝑥 → ω ≼ 𝑥))
8	6, 7	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ω ≼ 𝑥)
9		sdomdomtr 9086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝒫 𝑦 ≺ ω ∧ ω ≼ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)
10	9	expcom 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ω ≼ 𝑥 → (𝒫 𝑦 ≺ ω → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
11	8, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝒫 𝑦 ≺ ω → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
12	5, 11	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
13	4, 12	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
14	13	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
15	14	a1dd 51	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ Fin → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
16		vex 3461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		simplll 786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → GCH = V)
18	16, 17	eleqtrrid 2872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ GCH)
19		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → ¬ 𝑦 ∈ Fin)
20		gchinf 10630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ GCH ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑦)
21	18, 19, 20	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → ω ≼ 𝑦)
22		vex 3461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
23	22, 17	eleqtrrid 2872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ GCH)
24		gchpwdom 10643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ GCH ∧ 𝑧 ∈ GCH) → (𝑦 ≺ 𝑧 ↔ 𝒫 𝑦 ≼ 𝑧))
25	21, 18, 23, 24	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑦 ≺ 𝑧 ↔ 𝒫 𝑦 ≼ 𝑧))
26		winacard 10665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (card‘𝑥) = 𝑥)
27		iscard 9949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥))
28	27	simprbi 502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
29	26, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
30	29	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
31	30	r19.21bi 3257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ≺ 𝑥)
32		domsdomtr 9088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 ∧ 𝑧 ≺ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)
33	32	expcom 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≺ 𝑥 → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
34	31, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
35	34	adantrr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
36	25, 35	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
37	36	expr 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑦 ∈ Fin → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
38	15, 37	pm2.61d 181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
39	38	rexlimdva 3166	. . . . . . . 8 ⊢ (((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
40	39	ralimdva 3177	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
41	2, 3, 40	3anim123d 1467	. . . . . 6 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧) → (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
42		elwina 10659	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧))
43		elina 10660	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
44	41, 42, 43	3imtr4g 299	. . . . 5 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ Inacc))
45	1, 44	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → 𝑥 ∈ Inacc)
46	45	ex 417	. . 3 ⊢ (GCH = V → (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ Inacc))
47		inawina 10663	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
48	46, 47	impbid1 228	. 2 ⊢ (GCH = V → (𝑥 ∈ Inaccw ↔ 𝑥 ∈ Inacc))
49	48	eqrdv 2763	1 ⊢ (GCH = V → Inaccw = Inacc)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5105  Oncon0 6350  ‘cfv 6525  ωcom 7850   ≼ cdom 8929   ≺ csdm 8930  Fincfn 8931  cardccrd 9909  cfccf 9911  GCHcgch 10593  Inacc_wcwina 10655  Inacccina 10656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-seqom 8423  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-oexp 8447  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-har 9507  df-wdom 9515  df-cnf 9619  df-dju 9875  df-card 9913  df-cf 9915  df-fin4 10259  df-gch 10594  df-wina 10657  df-ina 10658

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