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Theorem gchina 9813
Description: Assuming the GCH, weakly and strongly inaccessible cardinals coincide. Theorem 11.20 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchina (GCH = V → Inaccw = Inacc)

Proof of Theorem gchina
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 478 . . . . 5 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → 𝑥 ∈ Inaccw)
2 idd 24 . . . . . . 7 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (𝑥 ≠ ∅ → 𝑥 ≠ ∅))
3 idd 24 . . . . . . 7 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → ((cf‘𝑥) = 𝑥 → (cf‘𝑥) = 𝑥))
4 pwfi 8507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
5 isfinite 8803 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝒫 𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ≺ ω)
6 winainf 9808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝑥)
7 ssdomg 8245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝑥 → ω ≼ 𝑥))
86, 7mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ Inaccw → ω ≼ 𝑥)
9 sdomdomtr 8339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝒫 𝑦 ≺ ω ∧ ω ≼ 𝑥) → 𝒫 𝑦𝑥)
109expcom 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ω ≼ 𝑥 → (𝒫 𝑦 ≺ ω → 𝒫 𝑦𝑥))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ Inaccw → (𝒫 𝑦 ≺ ω → 𝒫 𝑦𝑥))
125, 11syl5bi 234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Inaccw → (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦𝑥))
134, 12syl5bi 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Inaccw → (𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦𝑥))
1413ad3antlr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝑥) → (𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦𝑥))
1514a1dd 50 . . . . . . . . . 10 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝑥) → (𝑦 ∈ Fin → (𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥)))
16 vex 3392 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
17 simplll 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → GCH = V)
1816, 17syl5eleqr 2889 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ GCH)
19 simprr 790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → ¬ 𝑦 ∈ Fin)
20 gchinf 9771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ GCH ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑦)
2118, 19, 20syl2anc 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → ω ≼ 𝑦)
22 vex 3392 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
2322, 17syl5eleqr 2889 . . . . . . . . . . . . 13 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ GCH)
24 gchpwdom 9784 . . . . . . . . . . . . 13 ((ω ≼ 𝑦𝑦 ∈ GCH ∧ 𝑧 ∈ GCH) → (𝑦𝑧 ↔ 𝒫 𝑦𝑧))
2521, 18, 23, 24syl3anc 1491 . . . . . . . . . . . 12 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑦𝑧 ↔ 𝒫 𝑦𝑧))
26 winacard 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ Inaccw → (card‘𝑥) = 𝑥)
27 iscard 9091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((card‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑧𝑥 𝑧𝑥))
2827simprbi 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((card‘𝑥) = 𝑥 → ∀𝑧𝑥 𝑧𝑥)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ Inaccw → ∀𝑧𝑥 𝑧𝑥)
3029ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) → ∀𝑧𝑥 𝑧𝑥)
3130r19.21bi 3117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧𝑥)
32 domsdomtr 8341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝒫 𝑦𝑧𝑧𝑥) → 𝒫 𝑦𝑥)
3332expcom 403 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑥 → (𝒫 𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥))
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝑥) → (𝒫 𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥))
3534adantrr 709 . . . . . . . . . . . 12 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝒫 𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥))
3625, 35sylbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥))
3736expr 449 . . . . . . . . . 10 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝑥) → (¬ 𝑦 ∈ Fin → (𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥)))
3815, 37pm2.61d 172 . . . . . . . . 9 ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝑥) → (𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥))
3938rexlimdva 3216 . . . . . . . 8 (((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧𝑥 𝑦𝑧 → 𝒫 𝑦𝑥))
4039ralimdva 3147 . . . . . . 7 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 𝑦𝑧 → ∀𝑦𝑥 𝒫 𝑦𝑥))
412, 3, 403anim123d 1568 . . . . . 6 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 𝑦𝑧) → (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 𝒫 𝑦𝑥)))
42 elwina 9800 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Inaccw ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 𝑦𝑧))
43 elina 9801 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Inacc ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 𝒫 𝑦𝑥))
4441, 42, 433imtr4g 288 . . . . 5 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (𝑥 ∈ Inaccw𝑥 ∈ Inacc))
451, 44mpd 15 . . . 4 ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → 𝑥 ∈ Inacc)
4645ex 402 . . 3 (GCH = V → (𝑥 ∈ Inaccw𝑥 ∈ Inacc))
47 inawina 9804 . . 3 (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
4846, 47impbid1 217 . 2 (GCH = V → (𝑥 ∈ Inaccw𝑥 ∈ Inacc))
4948eqrdv 2801 1 (GCH = V → Inaccw = Inacc)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2975  wral 3093  wrex 3094  Vcvv 3389  wss 3773  c0 4119  𝒫 cpw 4353   class class class wbr 4847  Oncon0 5945  cfv 6105  ωcom 7303  cdom 8197  csdm 8198  Fincfn 8199  cardccrd 9051  cfccf 9053  GCHcgch 9734  Inaccwcwina 9796  Inacccina 9797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-inf2 8792
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rmo 3101  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-pss 3789  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-tp 4377  df-op 4379  df-uni 4633  df-int 4672  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-tr 4950  df-id 5224  df-eprel 5229  df-po 5237  df-so 5238  df-fr 5275  df-se 5276  df-we 5277  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-pred 5902  df-ord 5948  df-on 5949  df-lim 5950  df-suc 5951  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-isom 6114  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-om 7304  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-supp 7537  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-seqom 7786  df-1o 7803  df-2o 7804  df-oadd 7807  df-omul 7808  df-oexp 7809  df-er 7986  df-map 8101  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-fsupp 8522  df-oi 8661  df-har 8709  df-wdom 8710  df-cnf 8813  df-card 9055  df-cf 9057  df-cda 9282  df-fin4 9401  df-gch 9735  df-wina 9798  df-ina 9799
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