Theorem gchina 10685

Description: Assuming the GCH, weakly and strongly inaccessible cardinals coincide. Theorem 11.20 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchina	⊢ (GCH = V → Inaccw = Inacc)

Proof of Theorem gchina

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		idd 25	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (𝑥 ≠ ∅ → 𝑥 ≠ ∅))
3		idd 25	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → ((cf‘𝑥) = 𝑥 → (cf‘𝑥) = 𝑥))
4		pwfi 9279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
5		isfinite 9622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ≺ ω)
6		winainf 10680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝑥)
7		ssdomg 8998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝑥 → ω ≼ 𝑥))
8	6, 7	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ω ≼ 𝑥)
9		sdomdomtr 9099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝒫 𝑦 ≺ ω ∧ ω ≼ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)
10	9	expcom 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ω ≼ 𝑥 → (𝒫 𝑦 ≺ ω → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
11	8, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝒫 𝑦 ≺ ω → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
12	5, 11	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
13	4, 12	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
14	13	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
15	14	a1dd 51	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ Fin → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
16		vex 3459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		simplll 786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → GCH = V)
18	16, 17	eleqtrrid 2870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ GCH)
19		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → ¬ 𝑦 ∈ Fin)
20		gchinf 10643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ GCH ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑦)
21	18, 19, 20	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → ω ≼ 𝑦)
22		vex 3459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
23	22, 17	eleqtrrid 2870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ GCH)
24		gchpwdom 10656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ GCH ∧ 𝑧 ∈ GCH) → (𝑦 ≺ 𝑧 ↔ 𝒫 𝑦 ≼ 𝑧))
25	21, 18, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑦 ≺ 𝑧 ↔ 𝒫 𝑦 ≼ 𝑧))
26		winacard 10678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (card‘𝑥) = 𝑥)
27		iscard 9962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥))
28	27	simprbi 502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
29	26, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
30	29	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
31	30	r19.21bi 3257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ≺ 𝑥)
32		domsdomtr 9101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 ∧ 𝑧 ≺ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)
33	32	expcom 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≺ 𝑥 → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
34	31, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
35	34	adantrr 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
36	25, 35	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
37	36	expr 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑦 ∈ Fin → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
38	15, 37	pm2.61d 181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
39	38	rexlimdva 3166	. . . . . . . 8 ⊢ (((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
40	39	ralimdva 3177	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
41	2, 3, 40	3anim123d 1471	. . . . . 6 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧) → (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
42		elwina 10672	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧))
43		elina 10673	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
44	41, 42, 43	3imtr4g 299	. . . . 5 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ Inacc))
45	1, 44	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → 𝑥 ∈ Inacc)
46	45	ex 417	. . 3 ⊢ (GCH = V → (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ Inacc))
47		inawina 10676	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
48	46, 47	impbid1 228	. 2 ⊢ (GCH = V → (𝑥 ∈ Inaccw ↔ 𝑥 ∈ Inacc))
49	48	eqrdv 2761	1 ⊢ (GCH = V → Inaccw = Inacc)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5110  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  ωcom 7863   ≼ cdom 8942   ≺ csdm 8943  Fincfn 8944  cardccrd 9922  cfccf 9924  GCHcgch 10606  Inacc_wcwina 10668  Inacccina 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-seqom 8436  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-oexp 8460  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-oi 9473  df-har 9520  df-wdom 9528  df-cnf 9632  df-dju 9888  df-card 9926  df-cf 9928  df-fin4 10272  df-gch 10607  df-wina 10670  df-ina 10671

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