Theorem gchina 10811

Description: Assuming the GCH, weakly and strongly inaccessible cardinals coincide. Theorem 11.20 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
gchina	⊢ (GCH = V → Inaccw = Inacc)

Proof of Theorem gchina

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		idd 25	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (𝑥 ≠ ∅ → 𝑥 ≠ ∅))
3		idd 25	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → ((cf‘𝑥) = 𝑥 → (cf‘𝑥) = 𝑥))
4		pwfi 9338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
5		isfinite 9680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ≺ ω)
6		winainf 10806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝑥)
7		ssdomg 9055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝑥 → ω ≼ 𝑥))
8	6, 7	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ω ≼ 𝑥)
9		sdomdomtr 9157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝒫 𝑦 ≺ ω ∧ ω ≼ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)
10	9	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ω ≼ 𝑥 → (𝒫 𝑦 ≺ ω → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
11	8, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝒫 𝑦 ≺ ω → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
12	5, 11	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝒫 𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
13	4, 12	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
14	13	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ Fin → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
15	14	a1dd 51	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ∈ Fin → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
16		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑦 ∈ V
17		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → GCH = V)
18	16, 17	eleqtrrid 2871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑦 ∈ GCH)
19		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → ¬ 𝑦 ∈ Fin)
20		gchinf 10769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ GCH ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑦)
21	18, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → ω ≼ 𝑦)
22		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑧 ∈ V
23	22, 17	eleqtrrid 2871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ GCH)
24		gchpwdom 10782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ GCH ∧ 𝑧 ∈ GCH) → (𝑦 ≺ 𝑧 ↔ 𝒫 𝑦 ≼ 𝑧))
25	21, 18, 23, 24	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑦 ≺ 𝑧 ↔ 𝒫 𝑦 ≼ 𝑧))
26		winacard 10804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → (card‘𝑥) = 𝑥)
27		iscard 10083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ On ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥))
28	27	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((card‘𝑥) = 𝑥 → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
29	26, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
30	29	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑧 ∈ 𝑥 𝑧 ≺ 𝑥)
31	30	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → 𝑧 ≺ 𝑥)
32		domsdomtr 9159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 ∧ 𝑧 ≺ 𝑥) → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)
33	32	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≺ 𝑥 → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
34	31, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
35	34	adantrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝒫 𝑦 ≼ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
36	25, 35	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
37	36	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (¬ 𝑦 ∈ Fin → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
38	15, 37	pm2.61d 181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) → (𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
39	38	rexlimdva 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧 → 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
40	39	ralimdva 3178	. . . . . . 7 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
41	2, 3, 40	3anim123d 1472	. . . . . 6 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧) → (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥)))
42		elwina 10798	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∃𝑧 ∈ 𝑥 𝑦 ≺ 𝑧))
43		elina 10799	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc ↔ (𝑥 ≠ ∅ ∧ (cf‘𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝒫 𝑦 ≺ 𝑥))
44	41, 42, 43	3imtr4g 299	. . . . 5 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ Inacc))
45	1, 44	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((GCH = V ∧ 𝑥 ∈ Inaccw) → 𝑥 ∈ Inacc)
46	45	ex 418	. . 3 ⊢ (GCH = V → (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ Inacc))
47		inawina 10802	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
48	46, 47	impbid1 228	. 2 ⊢ (GCH = V → (𝑥 ∈ Inaccw ↔ 𝑥 ∈ Inacc))
49	48	eqrdv 2761	1 ⊢ (GCH = V → Inaccw = Inacc)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106  Oncon0 6380  ‘cfv 6558  ωcom 7901   ≼ cdom 8999   ≺ csdm 9000  Fincfn 9001  cardccrd 10043  cfccf 10045  GCHcgch 10732  Inacc_wcwina 10794  Inacccina 10795

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-seqom 8486  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-oexp 8510  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-oi 9531  df-har 9578  df-wdom 9586  df-cnf 9690  df-dju 10009  df-card 10047  df-cf 10049  df-fin4 10392  df-gch 10733  df-wina 10796  df-ina 10797

This theorem is used by: (None)