Theorem winalim 10593

Description: A weakly inaccessible cardinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winalim	⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)

Proof of Theorem winalim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		winainf 10592	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
2		winacard 10590	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)
3		cardlim 9872	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴))
4		sseq2 3957	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ ω ⊆ 𝐴))
5		limeq 6323	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (Lim (card‘𝐴) ↔ Lim 𝐴))
6	4, 5	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴)) ↔ (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
7	3, 6	mpbii 233	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
8	2, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
9	1, 8	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  Lim wlim 6312  ‘cfv 6486  ωcom 7802  cardccrd 9835  Inacc_wcwina 10580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-om 7803  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-card 9839  df-cf 9841  df-wina 10582

This theorem is referenced by:  inar1  10673  inatsk  10676  tskuni  10681  grur1a  10717