MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winalim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem winalim 10687
Description: A weakly inaccessible cardinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winalim (𝐴 ∈ Inaccw β†’ Lim 𝐴)

Proof of Theorem winalim
StepHypRef Expression
1 winainf 10686 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw β†’ Ο‰ βŠ† 𝐴)
2 winacard 10684 . . 3 (𝐴 ∈ Inaccw β†’ (cardβ€˜π΄) = 𝐴)
3 cardlim 9964 . . . 4 (Ο‰ βŠ† (cardβ€˜π΄) ↔ Lim (cardβ€˜π΄))
4 sseq2 4001 . . . . 5 ((cardβ€˜π΄) = 𝐴 β†’ (Ο‰ βŠ† (cardβ€˜π΄) ↔ Ο‰ βŠ† 𝐴))
5 limeq 6367 . . . . 5 ((cardβ€˜π΄) = 𝐴 β†’ (Lim (cardβ€˜π΄) ↔ Lim 𝐴))
64, 5bibi12d 345 . . . 4 ((cardβ€˜π΄) = 𝐴 β†’ ((Ο‰ βŠ† (cardβ€˜π΄) ↔ Lim (cardβ€˜π΄)) ↔ (Ο‰ βŠ† 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
73, 6mpbii 232 . . 3 ((cardβ€˜π΄) = 𝐴 β†’ (Ο‰ βŠ† 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
82, 7syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw β†’ (Ο‰ βŠ† 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
91, 8mpbid 231 1 (𝐴 ∈ Inaccw β†’ Lim 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  Lim wlim 6356  β€˜cfv 6534  Ο‰com 7849  cardccrd 9927  Inaccwcwina 10674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-om 7850  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-card 9931  df-cf 9933  df-wina 10676
This theorem is referenced by:  inar1  10767  inatsk  10770  tskuni  10775  grur1a  10811
  Copyright terms: Public domain W3C validator