MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winalim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem winalim 10444
Description: A weakly inaccessible cardinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winalim (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)

Proof of Theorem winalim
StepHypRef Expression
1 winainf 10443 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
2 winacard 10441 . . 3 (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)
3 cardlim 9723 . . . 4 (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴))
4 sseq2 3952 . . . . 5 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ ω ⊆ 𝐴))
5 limeq 6276 . . . . 5 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (Lim (card‘𝐴) ↔ Lim 𝐴))
64, 5bibi12d 346 . . . 4 ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴)) ↔ (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
73, 6mpbii 232 . . 3 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
82, 7syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
91, 8mpbid 231 1 (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2110  wss 3892  Lim wlim 6265  cfv 6431  ωcom 7701  cardccrd 9686  Inaccwcwina 10431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-om 7702  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-card 9690  df-cf 9692  df-wina 10433
This theorem is referenced by:  inar1  10524  inatsk  10527  tskuni  10532  grur1a  10568
  Copyright terms: Public domain W3C validator