MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winalim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem winalim 10718
Description: A weakly inaccessible cardinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winalim (𝐴 ∈ Inaccw β†’ Lim 𝐴)

Proof of Theorem winalim
StepHypRef Expression
1 winainf 10717 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw β†’ Ο‰ βŠ† 𝐴)
2 winacard 10715 . . 3 (𝐴 ∈ Inaccw β†’ (cardβ€˜π΄) = 𝐴)
3 cardlim 9995 . . . 4 (Ο‰ βŠ† (cardβ€˜π΄) ↔ Lim (cardβ€˜π΄))
4 sseq2 4006 . . . . 5 ((cardβ€˜π΄) = 𝐴 β†’ (Ο‰ βŠ† (cardβ€˜π΄) ↔ Ο‰ βŠ† 𝐴))
5 limeq 6381 . . . . 5 ((cardβ€˜π΄) = 𝐴 β†’ (Lim (cardβ€˜π΄) ↔ Lim 𝐴))
64, 5bibi12d 345 . . . 4 ((cardβ€˜π΄) = 𝐴 β†’ ((Ο‰ βŠ† (cardβ€˜π΄) ↔ Lim (cardβ€˜π΄)) ↔ (Ο‰ βŠ† 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
73, 6mpbii 232 . . 3 ((cardβ€˜π΄) = 𝐴 β†’ (Ο‰ βŠ† 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
82, 7syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw β†’ (Ο‰ βŠ† 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
91, 8mpbid 231 1 (𝐴 ∈ Inaccw β†’ Lim 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  Lim wlim 6370  β€˜cfv 6548  Ο‰com 7870  cardccrd 9958  Inaccwcwina 10705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-om 7871  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-card 9962  df-cf 9964  df-wina 10707
This theorem is referenced by:  inar1  10798  inatsk  10801  tskuni  10806  grur1a  10842
  Copyright terms: Public domain W3C validator