Theorem winalim 10807

Description: A weakly inaccessible cardinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winalim	⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)

Proof of Theorem winalim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		winainf 10806	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
2		winacard 10804	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)
3		cardlim 10080	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴))
4		sseq2 3939	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ ω ⊆ 𝐴))
5		limeq 6392	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (Lim (card‘𝐴) ↔ Lim 𝐴))
6	4, 5	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴)) ↔ (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
7	3, 6	mpbii 236	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
8	2, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
9	1, 8	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  Lim wlim 6381  ‘cfv 6558  ωcom 7901  cardccrd 10043  Inacc_wcwina 10794

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-om 7902  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-card 10047  df-cf 10049  df-wina 10796

This theorem is used by:  inar1  10887  inatsk  10890  tskuni  10895  grur1a  10931