Theorem winalim 10735

Description: A weakly inaccessible cardinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winalim	⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)

Proof of Theorem winalim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		winainf 10734	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
2		winacard 10732	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)
3		cardlim 10012	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴))
4		sseq2 4010	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ ω ⊆ 𝐴))
5		limeq 6396	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (Lim (card‘𝐴) ↔ Lim 𝐴))
6	4, 5	bibi12d 345	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴)) ↔ (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
7	3, 6	mpbii 233	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
8	2, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
9	1, 8	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  Lim wlim 6385  ‘cfv 6561  ωcom 7887  cardccrd 9975  Inacc_wcwina 10722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-card 9979  df-cf 9981  df-wina 10724

This theorem is referenced by:  inar1  10815  inatsk  10818  tskuni  10823  grur1a  10859