Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  winalim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem winalim 10111
 Description: A weakly inaccessible cardinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
winalim (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)

Proof of Theorem winalim
StepHypRef Expression
1 winainf 10110 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
2 winacard 10108 . . 3 (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)
3 cardlim 9394 . . . 4 (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴))
4 sseq2 3979 . . . . 5 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ ω ⊆ 𝐴))
5 limeq 6191 . . . . 5 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (Lim (card‘𝐴) ↔ Lim 𝐴))
64, 5bibi12d 349 . . . 4 ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴)) ↔ (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
73, 6mpbii 236 . . 3 ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
82, 7syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
91, 8mpbid 235 1 (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919  Lim wlim 6180  ‘cfv 6344  ωcom 7571  cardccrd 9357  Inaccwcwina 10098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-om 7572  df-1o 8094  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-card 9361  df-cf 9363  df-wina 10100 This theorem is referenced by:  inar1  10191  inatsk  10194  tskuni  10199  grur1a  10235
 Copyright terms: Public domain W3C validator