Theorem winalim 10686

Description: A weakly inaccessible cardinal is a limit ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
winalim	⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)

Proof of Theorem winalim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		winainf 10685	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → ω ⊆ 𝐴)
2		winacard 10683	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (card‘𝐴) = 𝐴)
3		cardlim 9965	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴))
4		sseq2 3962	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ ω ⊆ 𝐴))
5		limeq 6372	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (Lim (card‘𝐴) ↔ Lim 𝐴))
6	4, 5	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((ω ⊆ (card‘𝐴) ↔ Lim (card‘𝐴)) ↔ (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴)))
7	3, 6	mpbii 236	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
8	2, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (ω ⊆ 𝐴 ↔ Lim 𝐴))
9	1, 8	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  Lim wlim 6361  ‘cfv 6536  ωcom 7860  cardccrd 9928  Inacc_wcwina 10673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7861  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-card 9932  df-cf 9934  df-wina 10675

This theorem is used by:  inar1  10766  inatsk  10769  tskuni  10774  grur1a  10810