MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrs1mnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrs1mnd 20265
Description: The extended real numbers, restricted to * ∖ {-∞}, form an additive monoid - in contrast to the full structure, see xrsmgmdifsgrp 20264. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
Assertion
Ref Expression
xrs1mnd 𝑅 ∈ Mnd

Proof of Theorem xrs1mnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 4029 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2 xrs1mnd.1 . . . . 5 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
3 xrsbas 20243 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
42, 3ressbas2 16384 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
51, 4mp1i 13 . . 3 (⊤ → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
6 xrex 12236 . . . . 5 * ∈ V
76difexi 5123 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
8 xrsadd 20244 . . . . 5 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
92, 8ressplusg 16441 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g𝑅))
107, 9mp1i 13 . . 3 (⊤ → +𝑒 = (+g𝑅))
11 eldifsn 4626 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
12 eldifsn 4626 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞))
13 xaddcl 12482 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
1413ad2ant2r 743 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
15 xaddnemnf 12479 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞)
16 eldifsn 4626 . . . . . 6 ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞))
1714, 15, 16sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
1811, 12, 17syl2anb 597 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
19183adant1 1123 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
20 eldifsn 4626 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≠ -∞))
21 xaddass 12492 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≠ -∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2211, 12, 20, 21syl3anb 1154 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2322adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
24 0re 10489 . . . 4 0 ∈ ℝ
25 rexr 10533 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
26 renemnf 10536 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
27 eldifsn 4626 . . . . 5 (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
2825, 26, 27sylanbrc 583 . . . 4 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
2924, 28mp1i 13 . . 3 (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
30 eldifi 4024 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3130adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
32 xaddid2 12485 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
3331, 32syl 17 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
3431xaddid1d 12486 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
355, 10, 19, 23, 29, 33, 34ismndd 17752 . 2 (⊤ → 𝑅 ∈ Mnd)
3635mptru 1529 1 𝑅 ∈ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wtru 1523  wcel 2081  wne 2984  Vcvv 3437  cdif 3856  wss 3859  {csn 4472  cfv 6225  (class class class)co 7016  cr 10382  0cc0 10383  -∞cmnf 10519  *cxr 10520   +𝑒 cxad 12355  Basecbs 16312  s cress 16313  +gcplusg 16394  *𝑠cxrs 16602  Mndcmnd 17733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-xadd 12358  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-xrs 16604  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734
This theorem is referenced by:  xrs1cmn  20267  xrge0subm  20268  xrge00  30347
  Copyright terms: Public domain W3C validator