Theorem xrs1mnd 21372

Description: The extended real numbers, restricted to ℝ^* ∖ {-∞}, form an additive monoid - in contrast to the full structure, see xrsmgmdifsgrp 21371. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrs1mnd	⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Proof of Theorem xrs1mnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4111	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2		xrs1mnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
3		xrsbas 21346	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 17259	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
5	1, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
6		xrex 13003	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
7	6	difexi 5300	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
8		xrsadd 21347	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
9	2, 8	ressplusg 17305	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
10	7, 9	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → +𝑒 = (+g‘𝑅))
11		eldifsn 4762	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
12		eldifsn 4762	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞))
13		xaddcl 13255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
14	13	ad2ant2r 747	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
15		xaddnemnf 13252	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞)
16		eldifsn 4762	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞))
17	14, 15, 16	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
18	11, 12, 17	syl2anb 598	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
19	18	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
20		eldifsn 4762	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ≠ -∞))
21		xaddass 13265	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ≠ -∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
22	11, 12, 20, 21	syl3anb 1161	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
23	22	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
24		0re 11237	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
25		rexr 11281	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
26		renemnf 11284	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
27		eldifsn 4762	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
28	25, 26, 27	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
29	24, 28	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
30		eldifi 4106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
31	30	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
32		xaddlid 13258	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
34	31	xaddridd 13259	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
35	5, 10, 19, 23, 29, 33, 34	ismndd 18734	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑅 ∈ Mnd)
36	35	mptru 1547	1 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  {csn 4601  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   +_𝑒 cxad 13126  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  +_gcplusg 17271  ℝ^*_𝑠cxrs 17514  Mndcmnd 18712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-xadd 13129  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-xrs 17516  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713

This theorem is referenced by:  xrs1cmn  21374  xrge0subm  21375  xrge00  33007