Theorem xrs1mnd 21422

Description: The extended real numbers, restricted to ℝ^* ∖ {-∞}, form an additive monoid - in contrast to the full structure, see xrsmgmdifsgrp 21391. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrs1mnd	⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Proof of Theorem xrs1mnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4073	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2		xrs1mnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
3		xrsbas 17568	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 17206	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
5	1, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
6		xrex 12935	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
7	6	difexi 5265	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
8		xrsadd 21372	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
9	2, 8	ressplusg 17252	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
10	7, 9	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → +𝑒 = (+g‘𝑅))
11		eldifsn 4726	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
12		eldifsn 4726	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞))
13		xaddcl 13189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
14	13	ad2ant2r 753	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
15		xaddnemnf 13186	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞)
16		eldifsn 4726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞))
17	14, 15, 16	sylanbrc 589	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
18	11, 12, 17	syl2anb 604	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
19	18	3adant1 1136	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
20		eldifsn 4726	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ≠ -∞))
21		xaddass 13199	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ≠ -∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
22	11, 12, 20, 21	syl3anb 1167	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
23	22	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
24		0re 11144	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
25		rexr 11189	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
26		renemnf 11192	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
27		eldifsn 4726	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
28	25, 26, 27	sylanbrc 589	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
29	24, 28	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
30		eldifi 4068	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
31	30	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
32		xaddlid 13192	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
34	31	xaddridd 13193	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
35	5, 10, 19, 23, 29, 33, 34	ismndd 18722	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑅 ∈ Mnd)
36	35	mptru 1554	1 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  ⊤wtru 1548   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4562  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  -∞cmnf 11175  ℝ^*cxr 11176   +_𝑒 cxad 13059  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  +_gcplusg 17218  ℝ^*_𝑠cxrs 17462  Mndcmnd 18700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-xadd 13062  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-xrs 17464  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701

This theorem is referenced by:  xrs1cmn  21424  xrge0subm  21425  xrge00  33100