MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrs1mnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrs1mnd 20917
Description: The extended real numbers, restricted to * ∖ {-∞}, form an additive monoid - in contrast to the full structure, see xrsmgmdifsgrp 20916. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
Assertion
Ref Expression
xrs1mnd 𝑅 ∈ Mnd

Proof of Theorem xrs1mnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 4127 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2 xrs1mnd.1 . . . . 5 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
3 xrsbas 20895 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
42, 3ressbas2 17164 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
51, 4mp1i 13 . . 3 (⊤ → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
6 xrex 12953 . . . . 5 * ∈ V
76difexi 5321 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
8 xrsadd 20896 . . . . 5 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
92, 8ressplusg 17217 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g𝑅))
107, 9mp1i 13 . . 3 (⊤ → +𝑒 = (+g𝑅))
11 eldifsn 4783 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
12 eldifsn 4783 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞))
13 xaddcl 13200 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
1413ad2ant2r 745 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
15 xaddnemnf 13197 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞)
16 eldifsn 4783 . . . . . 6 ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞))
1714, 15, 16sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
1811, 12, 17syl2anb 598 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
19183adant1 1130 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
20 eldifsn 4783 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≠ -∞))
21 xaddass 13210 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≠ -∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2211, 12, 20, 21syl3anb 1161 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2322adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
24 0re 11198 . . . 4 0 ∈ ℝ
25 rexr 11242 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
26 renemnf 11245 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
27 eldifsn 4783 . . . . 5 (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
2825, 26, 27sylanbrc 583 . . . 4 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
2924, 28mp1i 13 . . 3 (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
30 eldifi 4122 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3130adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
32 xaddlid 13203 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
3331, 32syl 17 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
3431xaddridd 13204 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
355, 10, 19, 23, 29, 33, 34ismndd 18624 . 2 (⊤ → 𝑅 ∈ Mnd)
3635mptru 1548 1 𝑅 ∈ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2939  Vcvv 3473  cdif 3941  wss 3944  {csn 4622  cfv 6532  (class class class)co 7393  cr 11091  0cc0 11092  -∞cmnf 11228  *cxr 11229   +𝑒 cxad 13072  Basecbs 17126  s cress 17155  +gcplusg 17179  *𝑠cxrs 17428  Mndcmnd 18602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-xadd 13075  df-fz 13467  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-xrs 17430  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603
This theorem is referenced by:  xrs1cmn  20919  xrge0subm  20920  xrge00  32058
  Copyright terms: Public domain W3C validator