Theorem xrs1mnd 21344

Description: The extended real numbers, restricted to ℝ^* ∖ {-∞}, form an additive monoid - in contrast to the full structure, see xrsmgmdifsgrp 21343. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrs1mnd	⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Proof of Theorem xrs1mnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4132	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2		xrs1mnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
3		xrsbas 21318	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 17225	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
5	1, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
6		xrex 13009	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
7	6	difexi 5334	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
8		xrsadd 21319	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
9	2, 8	ressplusg 17278	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
10	7, 9	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → +𝑒 = (+g‘𝑅))
11		eldifsn 4795	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
12		eldifsn 4795	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞))
13		xaddcl 13258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
14	13	ad2ant2r 745	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
15		xaddnemnf 13255	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞)
16		eldifsn 4795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞))
17	14, 15, 16	sylanbrc 581	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
18	11, 12, 17	syl2anb 596	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
19	18	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
20		eldifsn 4795	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ≠ -∞))
21		xaddass 13268	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ≠ -∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
22	11, 12, 20, 21	syl3anb 1158	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
23	22	adantl 480	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
24		0re 11254	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
25		rexr 11298	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
26		renemnf 11301	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
27		eldifsn 4795	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
28	25, 26, 27	sylanbrc 581	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
29	24, 28	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
30		eldifi 4127	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
31	30	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
32		xaddlid 13261	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
34	31	xaddridd 13262	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
35	5, 10, 19, 23, 29, 33, 34	ismndd 18723	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑅 ∈ Mnd)
36	35	mptru 1540	1 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  Vcvv 3473   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  {csn 4632  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146  -∞cmnf 11284  ℝ^*cxr 11285   +_𝑒 cxad 13130  Basecbs 17187   ↾_s cress 17216  +_gcplusg 17240  ℝ^*_𝑠cxrs 17489  Mndcmnd 18701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-xadd 13133  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-xrs 17491  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702

This theorem is referenced by:  xrs1cmn  21346  xrge0subm  21347  xrge00  32763