Theorem xrs1mnd 20636

Description: The extended real numbers, restricted to ℝ^* ∖ {-∞}, form an additive monoid - in contrast to the full structure, see xrsmgmdifsgrp 20635. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrs1mnd	⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Proof of Theorem xrs1mnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4066	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2		xrs1mnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
3		xrsbas 20614	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 16949	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
5	1, 4	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
6		xrex 12727	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
7	6	difexi 5252	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
8		xrsadd 20615	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
9	2, 8	ressplusg 17000	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
10	7, 9	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → +𝑒 = (+g‘𝑅))
11		eldifsn 4720	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
12		eldifsn 4720	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞))
13		xaddcl 12973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
14	13	ad2ant2r 744	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
15		xaddnemnf 12970	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞)
16		eldifsn 4720	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞))
17	14, 15, 16	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
18	11, 12, 17	syl2anb 598	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
19	18	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
20		eldifsn 4720	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ≠ -∞))
21		xaddass 12983	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ≠ -∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
22	11, 12, 20, 21	syl3anb 1160	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
23	22	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
24		0re 10977	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
25		rexr 11021	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
26		renemnf 11024	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
27		eldifsn 4720	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
28	25, 26, 27	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
29	24, 28	mp1i 13	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
30		eldifi 4061	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
31	30	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
32		xaddid2 12976	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
34	31	xaddid1d 12977	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
35	5, 10, 19, 23, 29, 33, 34	ismndd 18407	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑅 ∈ Mnd)
36	35	mptru 1546	1 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  -∞cmnf 11007  ℝ^*cxr 11008   +_𝑒 cxad 12846  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  +_gcplusg 16962  ℝ^*_𝑠cxrs 17211  Mndcmnd 18385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-xadd 12849  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-xrs 17213  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386

This theorem is referenced by:  xrs1cmn  20638  xrge0subm  20639  xrge00  31295