Theorem xrs1mnd 21752

Description: The extended real numbers, restricted to ℝ^* ∖ {-∞}, form an additive monoid - in contrast to the full structure, see xrsmgmdifsgrp 21721. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrs1mnd	⊢ 𝑅 ∈ Mnd

Proof of Theorem xrs1mnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4072	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2		xrs1mnd.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
3		xrsbas 17784	. . . . 5 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	ressbas2 17422	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
5	1, 4	mp1i 14	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
6		xrex 13119	. . . . 5 ⊢ ℝ* ∈ V
7	6	difexi 5291	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
8		xrsadd 21702	. . . . 5 ⊢ +e = (+g‘ℝ*𝑠)
9	2, 8	ressplusg 17468	. . . 4 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +e = (+g‘𝑅))
10	7, 9	mp1i 14	. . 3 ⊢ (⊤ → +e = (+g‘𝑅))
11		eldifsn 4744	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
12		eldifsn 4744	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞))
13		xaddcl 13373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +e 𝑦) ∈ ℝ*)
14	13	ad2ant2r 760	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +e 𝑦) ∈ ℝ*)
15		xaddnemnf 13370	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +e 𝑦) ≠ -∞)
16		eldifsn 4744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 +e 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ((𝑥 +e 𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +e 𝑦) ≠ -∞))
17	14, 15, 16	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +e 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
18	11, 12, 17	syl2anb 610	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +e 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
19	18	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +e 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
20		eldifsn 4744	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ≠ -∞))
21		xaddass 13383	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ≠ -∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ≠ -∞)) → ((𝑥 +e 𝑦) +e 𝑧) = (𝑥 +e (𝑦 +e 𝑧)))
22	11, 12, 20, 21	syl3anb 1179	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((𝑥 +e 𝑦) +e 𝑧) = (𝑥 +e (𝑦 +e 𝑧)))
23	22	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))) → ((𝑥 +e 𝑦) +e 𝑧) = (𝑥 +e (𝑦 +e 𝑧)))
24		0re 11314	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
25		rexr 11359	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
26		renemnf 11362	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
27		eldifsn 4744	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
28	25, 26, 27	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
29	24, 28	mp1i 14	. . 3 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
30		eldifi 4067	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
31	30	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
32		xaddlid 13376	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +e 𝑥) = 𝑥)
33	31, 32	syl 18	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +e 𝑥) = 𝑥)
34	31	xaddridd 13377	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +e 0) = 𝑥)
35	5, 10, 19, 23, 29, 33, 34	ismndd 18952	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑅 ∈ Mnd)
36	35	mptru 1576	1 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4584  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204  -∞cmnf 11345  ℝ^*cxr 11346   +_e cxad 13243  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  +_gcplusg 17434  ℝ^*_𝑠cxrs 17678  Mndcmnd 18929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-xadd 13246  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-xrs 17680  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930

This theorem is used by:  xrs1cmn  21754  xrge0subm  21755  xrge00  33622