MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrs1mnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrs1mnd 21293
Description: The extended real numbers, restricted to * ∖ {-∞}, form an additive monoid - in contrast to the full structure, see xrsmgmdifsgrp 21292. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
Assertion
Ref Expression
xrs1mnd 𝑅 ∈ Mnd

Proof of Theorem xrs1mnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 4126 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2 xrs1mnd.1 . . . . 5 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
3 xrsbas 21267 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
42, 3ressbas2 17188 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
51, 4mp1i 13 . . 3 (⊤ → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
6 xrex 12972 . . . . 5 * ∈ V
76difexi 5321 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
8 xrsadd 21268 . . . . 5 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
92, 8ressplusg 17241 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g𝑅))
107, 9mp1i 13 . . 3 (⊤ → +𝑒 = (+g𝑅))
11 eldifsn 4785 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
12 eldifsn 4785 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞))
13 xaddcl 13221 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
1413ad2ant2r 744 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
15 xaddnemnf 13218 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞)
16 eldifsn 4785 . . . . . 6 ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞))
1714, 15, 16sylanbrc 582 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
1811, 12, 17syl2anb 597 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
19183adant1 1127 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
20 eldifsn 4785 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≠ -∞))
21 xaddass 13231 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≠ -∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2211, 12, 20, 21syl3anb 1158 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2322adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
24 0re 11217 . . . 4 0 ∈ ℝ
25 rexr 11261 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
26 renemnf 11264 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
27 eldifsn 4785 . . . . 5 (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
2825, 26, 27sylanbrc 582 . . . 4 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
2924, 28mp1i 13 . . 3 (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
30 eldifi 4121 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3130adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
32 xaddlid 13224 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
3331, 32syl 17 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
3431xaddridd 13225 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
355, 10, 19, 23, 29, 33, 34ismndd 18686 . 2 (⊤ → 𝑅 ∈ Mnd)
3635mptru 1540 1 𝑅 ∈ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  wne 2934  Vcvv 3468  cdif 3940  wss 3943  {csn 4623  cfv 6536  (class class class)co 7404  cr 11108  0cc0 11109  -∞cmnf 11247  *cxr 11248   +𝑒 cxad 13093  Basecbs 17150  s cress 17179  +gcplusg 17203  *𝑠cxrs 17452  Mndcmnd 18664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-xadd 13096  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-xrs 17454  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665
This theorem is referenced by:  xrs1cmn  21295  xrge0subm  21296  xrge00  32687
  Copyright terms: Public domain W3C validator