MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrs1mnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrs1mnd 19998
Description: The extended real numbers, restricted to * ∖ {-∞}, form a monoid - in contrast to the full structure, see xrsmgmdifsgrp 19997. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
Assertion
Ref Expression
xrs1mnd 𝑅 ∈ Mnd

Proof of Theorem xrs1mnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difss 3888 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
2 xrs1mnd.1 . . . . 5 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
3 xrsbas 19976 . . . . 5 * = (Base‘ℝ*𝑠)
42, 3ressbas2 16137 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
51, 4mp1i 13 . . 3 (⊤ → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
6 xrex 12031 . . . . 5 * ∈ V
7 difexg 4943 . . . . 5 (ℝ* ∈ V → (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V)
86, 7ax-mp 5 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
9 xrsadd 19977 . . . . 5 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
102, 9ressplusg 16200 . . . 4 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g𝑅))
118, 10mp1i 13 . . 3 (⊤ → +𝑒 = (+g𝑅))
12 eldifsn 4454 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
13 eldifsn 4454 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞))
14 xaddcl 12274 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
1514ad2ant2r 741 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ*)
16 xaddnemnf 12271 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞)
17 eldifsn 4454 . . . . . 6 ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ ((𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 𝑦) ≠ -∞))
1815, 16, 17sylanbrc 572 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
1912, 13, 18syl2anb 585 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
20193adant1 1124 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
21 eldifsn 4454 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≠ -∞))
22 xaddass 12283 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞) ∧ (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≠ -∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ*𝑧 ≠ -∞)) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2312, 13, 21, 22syl3anb 1164 . . . 4 ((𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2423adantl 467 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 𝑧 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))) → ((𝑥 +𝑒 𝑦) +𝑒 𝑧) = (𝑥 +𝑒 (𝑦 +𝑒 𝑧)))
25 0re 10245 . . . 4 0 ∈ ℝ
26 rexr 10290 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
27 renemnf 10293 . . . . 5 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ -∞)
28 eldifsn 4454 . . . . 5 (0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ 0 ≠ -∞))
2926, 27, 28sylanbrc 572 . . . 4 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
3025, 29mp1i 13 . . 3 (⊤ → 0 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
31 eldifi 3883 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3231adantl 467 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → 𝑥 ∈ ℝ*)
33 xaddid2 12277 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
3432, 33syl 17 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (0 +𝑒 𝑥) = 𝑥)
35 xaddid1 12276 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
3632, 35syl 17 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞})) → (𝑥 +𝑒 0) = 𝑥)
375, 11, 20, 24, 30, 34, 36ismndd 17520 . 2 (⊤ → 𝑅 ∈ Mnd)
3837trud 1641 1 𝑅 ∈ Mnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  cdif 3720  wss 3723  {csn 4317  cfv 6030  (class class class)co 6795  cr 10140  0cc0 10141  -∞cmnf 10277  *cxr 10278   +𝑒 cxad 12148  Basecbs 16063  s cress 16064  +gcplusg 16148  *𝑠cxrs 16367  Mndcmnd 17501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-oadd 7720  df-er 7899  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-xadd 12151  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-xrs 16369  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502
This theorem is referenced by:  xrs1cmn  20000  xrge0subm  20001  xrge00  30025
  Copyright terms: Public domain W3C validator