Theorem xnn0xaddcl 12825

Description: The extended nonnegative integers are closed under extended addition. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem xnn0xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 12125	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
2	1	nn0xnn0d 12171	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*)
3		nn0re 12099	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		nn0re 12099	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		rexadd 12822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
6	5	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*))
7	3, 4, 6	syl2an 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*))
8	2, 7	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
9	8	a1d 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
10		ianor 982	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ↔ (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0))
11		xnn0nnn0pnf 12175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
12		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
13		xnn0xrnemnf 12174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
14		xaddpnf2 12817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
16	12, 15	sylan9eq 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
17	16	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
18	11, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
19	18	expcom 417	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)))
20	19	impd 414	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
21		xnn0nnn0pnf 12175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
22		oveq2 7221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
23		xnn0xrnemnf 12174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
24		xaddpnf1 12816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
26	22, 25	sylan9eq 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
27	26	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
28	21, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
29	28	expcom 417	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)))
30	29	impcomd 415	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
31	20, 30	jaoi 857	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
32	31	imp 410	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
33		pnf0xnn0 12169	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℕ0*
34	32, 33	eqeltrdi 2846	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
35	34	ex 416	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
36	10, 35	sylbi 220	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
37	9, 36	pm2.61i 185	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  (class class class)co 7213  ℝcr 10728   + caddc 10732  +∞cpnf 10864  -∞cmnf 10865  ℝ^*cxr 10866  ℕ₀cn0 12090  ℕ₀^*cxnn0 12162   +_𝑒 cxad 12702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-nn 11831  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-xadd 12705

This theorem is referenced by:  vtxdgf  27559  vtxdginducedm1  27631