Theorem xnn0xaddcl 13288

Description: The extended nonnegative integers are closed under extended addition. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem xnn0xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 12564	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
2	1	nn0xnn0d 12611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*)
3		nn0re 12538	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		nn0re 12538	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		rexadd 13285	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
6	5	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*))
7	3, 4, 6	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*))
8	2, 7	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
9	8	a1d 26	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
10		ianor 997	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ↔ (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0))
11		xnn0nnn0pnf 12615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
12		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
13		xnn0xrnemnf 12614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
14		xaddpnf2 13280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
16	12, 15	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
17	16	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
18	11, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
19	18	expcom 419	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)))
20	19	impd 416	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
21		xnn0nnn0pnf 12615	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
22		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
23		xnn0xrnemnf 12614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
24		xaddpnf1 13279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
26	22, 25	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
27	26	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
28	21, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
29	28	expcom 419	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)))
30	29	impcomd 417	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
31	20, 30	jaoi 871	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
32	31	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
33		pnf0xnn0 12609	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℕ0*
34	32, 33	eqeltrdi 2868	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
35	34	ex 418	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
36	10, 35	sylbi 220	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
37	9, 36	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7414  ℝcr 11124   + caddc 11128  +∞cpnf 11265  -∞cmnf 11266  ℝ^*cxr 11267  ℕ₀cn0 12529  ℕ₀^*cxnn0 12602   +_𝑒 cxad 13162

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-nn 12259  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-xadd 13165

This theorem is used by:  vtxdgf  29932  vtxdginducedm1  30004