Theorem xnn0xaddcl 13178

Description: The extended nonnegative integers are closed under extended addition. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0xaddcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem xnn0xaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 12463	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
2	1	nn0xnn0d 12510	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*)
3		nn0re 12437	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		nn0re 12437	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		rexadd 13175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
6	5	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*))
7	3, 4, 6	syl2an 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*))
8	2, 7	mpbird 258	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
9	8	a1d 25	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
10		ianor 989	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ↔ (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0))
11		xnn0nnn0pnf 12514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
12		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
13		xnn0xrnemnf 12513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
14		xaddpnf2 13170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
16	12, 15	sylan9eq 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
17	16	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
18	11, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
19	18	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)))
20	19	impd 411	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
21		xnn0nnn0pnf 12514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
22		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
23		xnn0xrnemnf 12513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
24		xaddpnf1 13169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
26	22, 25	sylan9eq 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
27	26	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
28	21, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
29	28	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)))
30	29	impcomd 412	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
31	20, 30	jaoi 863	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
32	31	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
33		pnf0xnn0 12508	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℕ0*
34	32, 33	eqeltrdi 2847	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
35	34	ex 413	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
36	10, 35	sylbi 218	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
37	9, 36	pm2.61i 183	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  (class class class)co 7356  ℝcr 11028   + caddc 11032  +∞cpnf 11167  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169  ℕ₀cn0 12428  ℕ₀^*cxnn0 12501   +_𝑒 cxad 13052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-nn 12166  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-xadd 13055

This theorem is referenced by:  vtxdgf  29558  vtxdginducedm1  29630