MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0xaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0xaddcl 13277
Description: The extended nonnegative integers are closed under extended addition. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0xaddcl ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem xnn0xaddcl
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 12561 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
21nn0xnn0d 12608 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*)
3 nn0re 12535 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
4 nn0re 12535 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
5 rexadd 13274 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
65eleq1d 2826 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*))
73, 4, 6syl2an 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*))
82, 7mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
98a1d 25 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
10 ianor 984 . . 3 (¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ↔ (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0))
11 xnn0nnn0pnf 12612 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
12 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
13 xnn0xrnemnf 12611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
14 xaddpnf2 13269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ0* → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
1612, 15sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
1716ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = +∞ → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
1811, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
1918expcom 413 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)))
2019impd 410 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
21 xnn0nnn0pnf 12612 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
22 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
23 xnn0xrnemnf 12611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
24 xaddpnf1 13268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2622, 25sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
2726ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
2821, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
2928expcom 413 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)))
3029impcomd 411 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
3120, 30jaoi 858 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
3231imp 406 . . . . 5 (((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
33 pnf0xnn0 12606 . . . . 5 +∞ ∈ ℕ0*
3432, 33eqeltrdi 2849 . . . 4 (((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
3534ex 412 . . 3 ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
3610, 35sylbi 217 . 2 (¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
379, 36pm2.61i 182 1 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cr 11154   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294  0cn0 12526  0*cxnn0 12599   +𝑒 cxad 13152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-xadd 13155
This theorem is referenced by:  vtxdgf  29489  vtxdginducedm1  29561
  Copyright terms: Public domain W3C validator