MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0xaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0xaddcl 13274
Description: The extended nonnegative integers are closed under extended addition. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
xnn0xaddcl ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)

Proof of Theorem xnn0xaddcl
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 12559 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
21nn0xnn0d 12606 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*)
3 nn0re 12533 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
4 nn0re 12533 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
5 rexadd 13271 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
65eleq1d 2824 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*))
73, 4, 6syl2an 596 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0* ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0*))
82, 7mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
98a1d 25 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
10 ianor 983 . . 3 (¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ↔ (¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0))
11 xnn0nnn0pnf 12610 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 = +∞)
12 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
13 xnn0xrnemnf 12609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
14 xaddpnf2 13266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ0* → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
1612, 15sylan9eq 2795 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
1716ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = +∞ → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
1811, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
1918expcom 413 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)))
2019impd 410 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
21 xnn0nnn0pnf 12610 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 = +∞)
22 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
23 xnn0xrnemnf 12609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
24 xaddpnf1 13265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
2622, 25sylan9eq 2795 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 = +∞ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
2726ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
2821, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ0* ∧ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
2928expcom 413 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)))
3029impcomd 411 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
3120, 30jaoi 857 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞))
3231imp 406 . . . . 5 (((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
33 pnf0xnn0 12604 . . . . 5 +∞ ∈ ℕ0*
3432, 33eqeltrdi 2847 . . . 4 (((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
3534ex 412 . . 3 ((¬ 𝐴 ∈ ℕ0 ∨ ¬ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
3610, 35sylbi 217 . 2 (¬ (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*))
379, 36pm2.61i 182 1 ((𝐴 ∈ ℕ0*𝐵 ∈ ℕ0*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℕ0*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  (class class class)co 7431  cr 11152   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292  0cn0 12524  0*cxnn0 12597   +𝑒 cxad 13150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-xadd 13153
This theorem is referenced by:  vtxdgf  29504  vtxdginducedm1  29576
  Copyright terms: Public domain W3C validator