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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xadd4d | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 11439. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
xadd4d.1 | ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞)) |
xadd4d.2 | ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) |
xadd4d.3 | ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) |
xadd4d.4 | ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) |
Ref | Expression |
---|---|
xadd4d | ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | xadd4d.3 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) | |
2 | xadd4d.2 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) | |
3 | xadd4d.4 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) | |
4 | xaddass 13225 | . . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) | |
5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1368 | . . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
6 | 5 | oveq2d 7417 | . 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) |
7 | xadd4d.1 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞)) | |
8 | 1 | simpld 494 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*) |
9 | 3 | simpld 494 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*) |
10 | 8, 9 | xaddcld 13277 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*) |
11 | xaddnemnf 13212 | . . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) | |
12 | 1, 3, 11 | syl2anc 583 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) |
13 | xaddass 13225 | . . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))) | |
14 | 7, 2, 10, 12, 13 | syl112anc 1371 | . . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))) |
15 | 2 | simpld 494 | . . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*) |
16 | xaddcom 13216 | . . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶)) | |
17 | 8, 15, 16 | syl2anc 583 | . . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶)) |
18 | 17 | oveq1d 7416 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷)) |
19 | xaddass 13225 | . . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) | |
20 | 2, 1, 3, 19 | syl3anc 1368 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) |
21 | 18, 20 | eqtr2d 2765 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) |
22 | 21 | oveq2d 7417 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))) |
23 | 14, 22 | eqtrd 2764 | . 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))) |
24 | 15, 9 | xaddcld 13277 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*) |
25 | xaddnemnf 13212 | . . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) | |
26 | 2, 3, 25 | syl2anc 583 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) |
27 | xaddass 13225 | . . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) | |
28 | 7, 1, 24, 26, 27 | syl112anc 1371 | . 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) |
29 | 6, 23, 28 | 3eqtr4d 2774 | 1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2932 (class class class)co 7401 -∞cmnf 11243 ℝ*cxr 11244 +𝑒 cxad 13087 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-op 4627 df-uni 4900 df-iun 4989 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-id 5564 df-po 5578 df-so 5579 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-xadd 13090 |
This theorem is referenced by: xnn0add4d 13280 |
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