Theorem xadd4d 13443

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 11549. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xadd4d.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
xadd4d.2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
xadd4d.3	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
xadd4d.4	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))

Assertion

Ref	Expression
xadd4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)))

Proof of Theorem xadd4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xadd4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
2		xadd4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
3		xadd4d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))
4		xaddass 13389	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷) = (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷) = (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷)))
6	5	oveq2d 7443	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +e ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷))))
7		xadd4d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
8	1	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
9	3	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
10	8, 9	xaddcld 13441	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +e 𝐷) ∈ ℝ*)
11		xaddnemnf 13376	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +e 𝐷) ≠ -∞)
12	1, 3, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +e 𝐷) ≠ -∞)
13		xaddass 13389	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +e 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +e 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷))))
14	7, 2, 10, 12, 13	syl112anc 1401	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷))))
15	2	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
16		xaddcom 13380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐶))
17	8, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐶))
18	17	oveq1d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷) = ((𝐵 +e 𝐶) +e 𝐷))
19		xaddass 13389	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +e 𝐶) +e 𝐷) = (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷)))
20	2, 1, 3, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +e 𝐶) +e 𝐷) = (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷)))
21	18, 20	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷)) = ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷))
22	21	oveq2d 7443	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +e (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷))) = (𝐴 +e ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷)))
23	14, 22	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = (𝐴 +e ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷)))
24	15, 9	xaddcld 13441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +e 𝐷) ∈ ℝ*)
25		xaddnemnf 13376	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +e 𝐷) ≠ -∞)
26	2, 3, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +e 𝐷) ≠ -∞)
27		xaddass 13389	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +e 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +e 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷))))
28	7, 1, 24, 26, 27	syl112anc 1401	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷))))
29	6, 23, 28	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  (class class class)co 7427  -∞cmnf 11351  ℝ^*cxr 11352   +_e cxad 13249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-xadd 13252

This theorem is used by:  xnn0add4d  13444