Theorem xadd4d 13347

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 11456. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xadd4d.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
xadd4d.2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
xadd4d.3	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
xadd4d.4	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))

Assertion

Ref	Expression
xadd4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xadd4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xadd4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
2		xadd4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
3		xadd4d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))
4		xaddass 13293	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
6	5	oveq2d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
7		xadd4d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
8	1	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
9	3	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
10	8, 9	xaddcld 13345	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
11		xaddnemnf 13280	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
12	1, 3, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
13		xaddass 13293	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))))
14	7, 2, 10, 12, 13	syl112anc 1401	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))))
15	2	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
16		xaddcom 13284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
17	8, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
18	17	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷))
19		xaddass 13293	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))
20	2, 1, 3, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))
21	18, 20	eqtr2d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))
22	21	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)))
23	14, 22	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)))
24	15, 9	xaddcld 13345	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
25		xaddnemnf 13280	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
26	2, 3, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
27		xaddass 13293	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
28	7, 1, 24, 26, 27	syl112anc 1401	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
29	6, 23, 28	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  (class class class)co 7419  -∞cmnf 11258  ℝ^*cxr 11259   +_𝑒 cxad 13153

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-xadd 13156

This theorem is used by:  xnn0add4d  13348