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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xadd4d | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 10856. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
xadd4d.1 | ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞)) |
xadd4d.2 | ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) |
xadd4d.3 | ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) |
xadd4d.4 | ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) |
Ref | Expression |
---|---|
xadd4d | ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | xadd4d.3 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) | |
2 | xadd4d.2 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) | |
3 | xadd4d.4 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) | |
4 | xaddass 12630 | . . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) | |
5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1363 | . . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
6 | 5 | oveq2d 7161 | . 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) |
7 | xadd4d.1 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞)) | |
8 | 1 | simpld 495 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*) |
9 | 3 | simpld 495 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*) |
10 | 8, 9 | xaddcld 12682 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*) |
11 | xaddnemnf 12617 | . . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) | |
12 | 1, 3, 11 | syl2anc 584 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) |
13 | xaddass 12630 | . . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))) | |
14 | 7, 2, 10, 12, 13 | syl112anc 1366 | . . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))) |
15 | 2 | simpld 495 | . . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*) |
16 | xaddcom 12621 | . . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶)) | |
17 | 8, 15, 16 | syl2anc 584 | . . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶)) |
18 | 17 | oveq1d 7160 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷)) |
19 | xaddass 12630 | . . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) | |
20 | 2, 1, 3, 19 | syl3anc 1363 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) |
21 | 18, 20 | eqtr2d 2854 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) |
22 | 21 | oveq2d 7161 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))) |
23 | 14, 22 | eqtrd 2853 | . 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))) |
24 | 15, 9 | xaddcld 12682 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*) |
25 | xaddnemnf 12617 | . . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) | |
26 | 2, 3, 25 | syl2anc 584 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) |
27 | xaddass 12630 | . . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) | |
28 | 7, 1, 24, 26, 27 | syl112anc 1366 | . 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) |
29 | 6, 23, 28 | 3eqtr4d 2863 | 1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 = wceq 1528 ∈ wcel 2105 ≠ wne 3013 (class class class)co 7145 -∞cmnf 10661 ℝ*cxr 10662 +𝑒 cxad 12493 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1787 ax-4 1801 ax-5 1902 ax-6 1961 ax-7 2006 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2151 ax-12 2167 ax-ext 2790 ax-sep 5194 ax-nul 5201 ax-pow 5257 ax-pr 5320 ax-un 7450 ax-cnex 10581 ax-resscn 10582 ax-1cn 10583 ax-icn 10584 ax-addcl 10585 ax-addrcl 10586 ax-mulcl 10587 ax-mulrcl 10588 ax-mulcom 10589 ax-addass 10590 ax-mulass 10591 ax-distr 10592 ax-i2m1 10593 ax-1ne0 10594 ax-1rid 10595 ax-rnegex 10596 ax-rrecex 10597 ax-cnre 10598 ax-pre-lttri 10599 ax-pre-lttrn 10600 ax-pre-ltadd 10601 |
This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 842 df-3or 1080 df-3an 1081 df-tru 1531 df-ex 1772 df-nf 1776 df-sb 2061 df-mo 2615 df-eu 2647 df-clab 2797 df-cleq 2811 df-clel 2890 df-nfc 2960 df-ne 3014 df-nel 3121 df-ral 3140 df-rex 3141 df-rab 3144 df-v 3494 df-sbc 3770 df-csb 3881 df-dif 3936 df-un 3938 df-in 3940 df-ss 3949 df-nul 4289 df-if 4464 df-pw 4537 df-sn 4558 df-pr 4560 df-op 4564 df-uni 4831 df-iun 4912 df-br 5058 df-opab 5120 df-mpt 5138 df-id 5453 df-po 5467 df-so 5468 df-xp 5554 df-rel 5555 df-cnv 5556 df-co 5557 df-dm 5558 df-rn 5559 df-res 5560 df-ima 5561 df-iota 6307 df-fun 6350 df-fn 6351 df-f 6352 df-f1 6353 df-fo 6354 df-f1o 6355 df-fv 6356 df-ov 7148 df-oprab 7149 df-mpo 7150 df-1st 7678 df-2nd 7679 df-er 8278 df-en 8498 df-dom 8499 df-sdom 8500 df-pnf 10665 df-mnf 10666 df-xr 10667 df-ltxr 10668 df-xadd 12496 |
This theorem is referenced by: xnn0add4d 12685 |
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