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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xadd4d | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 11488. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
xadd4d.1 | ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞)) |
xadd4d.2 | ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) |
xadd4d.3 | ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) |
xadd4d.4 | ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) |
Ref | Expression |
---|---|
xadd4d | ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | xadd4d.3 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) | |
2 | xadd4d.2 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) | |
3 | xadd4d.4 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) | |
4 | xaddass 13288 | . . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) | |
5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1370 | . . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
6 | 5 | oveq2d 7447 | . 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) |
7 | xadd4d.1 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞)) | |
8 | 1 | simpld 494 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*) |
9 | 3 | simpld 494 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*) |
10 | 8, 9 | xaddcld 13340 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*) |
11 | xaddnemnf 13275 | . . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) | |
12 | 1, 3, 11 | syl2anc 584 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) |
13 | xaddass 13288 | . . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))) | |
14 | 7, 2, 10, 12, 13 | syl112anc 1373 | . . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))) |
15 | 2 | simpld 494 | . . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*) |
16 | xaddcom 13279 | . . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶)) | |
17 | 8, 15, 16 | syl2anc 584 | . . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶)) |
18 | 17 | oveq1d 7446 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷)) |
19 | xaddass 13288 | . . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) | |
20 | 2, 1, 3, 19 | syl3anc 1370 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) |
21 | 18, 20 | eqtr2d 2776 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) |
22 | 21 | oveq2d 7447 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))) |
23 | 14, 22 | eqtrd 2775 | . 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))) |
24 | 15, 9 | xaddcld 13340 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*) |
25 | xaddnemnf 13275 | . . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) | |
26 | 2, 3, 25 | syl2anc 584 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) |
27 | xaddass 13288 | . . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) | |
28 | 7, 1, 24, 26, 27 | syl112anc 1373 | . 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) |
29 | 6, 23, 28 | 3eqtr4d 2785 | 1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1537 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2938 (class class class)co 7431 -∞cmnf 11291 ℝ*cxr 11292 +𝑒 cxad 13150 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1908 ax-6 1965 ax-7 2005 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2139 ax-11 2155 ax-12 2175 ax-ext 2706 ax-sep 5302 ax-nul 5312 ax-pow 5371 ax-pr 5438 ax-un 7754 ax-cnex 11209 ax-resscn 11210 ax-1cn 11211 ax-icn 11212 ax-addcl 11213 ax-addrcl 11214 ax-mulcl 11215 ax-mulrcl 11216 ax-mulcom 11217 ax-addass 11218 ax-mulass 11219 ax-distr 11220 ax-i2m1 11221 ax-1ne0 11222 ax-1rid 11223 ax-rnegex 11224 ax-rrecex 11225 ax-cnre 11226 ax-pre-lttri 11227 ax-pre-lttrn 11228 ax-pre-ltadd 11229 |
This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2063 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2713 df-cleq 2727 df-clel 2814 df-nfc 2890 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rab 3434 df-v 3480 df-sbc 3792 df-csb 3909 df-dif 3966 df-un 3968 df-in 3970 df-ss 3980 df-nul 4340 df-if 4532 df-pw 4607 df-sn 4632 df-pr 4634 df-op 4638 df-uni 4913 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5583 df-po 5597 df-so 5598 df-xp 5695 df-rel 5696 df-cnv 5697 df-co 5698 df-dm 5699 df-rn 5700 df-res 5701 df-ima 5702 df-iota 6516 df-fun 6565 df-fn 6566 df-f 6567 df-f1 6568 df-fo 6569 df-f1o 6570 df-fv 6571 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-1st 8013 df-2nd 8014 df-er 8744 df-en 8985 df-dom 8986 df-sdom 8987 df-pnf 11295 df-mnf 11296 df-xr 11297 df-ltxr 11298 df-xadd 13153 |
This theorem is referenced by: xnn0add4d 13343 |
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