MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadd4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xadd4d 13342
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 11488. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xadd4d.1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
xadd4d.2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
xadd4d.3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
xadd4d.4 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
Assertion
Ref Expression
xadd4d (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xadd4d
StepHypRef Expression
1 xadd4d.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
2 xadd4d.2 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
3 xadd4d.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
4 xaddass 13288 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
65oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
7 xadd4d.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
81simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
93simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
108, 9xaddcld 13340 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
11 xaddnemnf 13275 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
121, 3, 11syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
13 xaddass 13288 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))))
147, 2, 10, 12, 13syl112anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))))
152simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
16 xaddcom 13279 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
178, 15, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
1817oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷))
19 xaddass 13288 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))
202, 1, 3, 19syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))
2118, 20eqtr2d 2776 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))
2221oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)))
2314, 22eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)))
2415, 9xaddcld 13340 . . 3 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
25 xaddnemnf 13275 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
262, 3, 25syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
27 xaddass 13288 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
287, 1, 24, 26, 27syl112anc 1373 . 2 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
296, 23, 283eqtr4d 2785 1 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  (class class class)co 7431  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   +𝑒 cxad 13150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-xadd 13153
This theorem is referenced by:  xnn0add4d  13343
  Copyright terms: Public domain W3C validator