MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadd4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xadd4d 12684
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 10856. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xadd4d.1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
xadd4d.2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
xadd4d.3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
xadd4d.4 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
Assertion
Ref Expression
xadd4d (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xadd4d
StepHypRef Expression
1 xadd4d.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
2 xadd4d.2 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
3 xadd4d.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
4 xaddass 12630 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
65oveq2d 7161 . 2 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
7 xadd4d.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
81simpld 495 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
93simpld 495 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
108, 9xaddcld 12682 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
11 xaddnemnf 12617 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
121, 3, 11syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
13 xaddass 12630 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))))
147, 2, 10, 12, 13syl112anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))))
152simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
16 xaddcom 12621 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
178, 15, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
1817oveq1d 7160 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷))
19 xaddass 12630 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))
202, 1, 3, 19syl3anc 1363 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))
2118, 20eqtr2d 2854 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))
2221oveq2d 7161 . . 3 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)))
2314, 22eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)))
2415, 9xaddcld 12682 . . 3 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
25 xaddnemnf 12617 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
262, 3, 25syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
27 xaddass 12630 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
287, 1, 24, 26, 27syl112anc 1366 . 2 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
296, 23, 283eqtr4d 2863 1 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  (class class class)co 7145  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   +𝑒 cxad 12493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-xadd 12496
This theorem is referenced by:  xnn0add4d  12685
  Copyright terms: Public domain W3C validator