Theorem xadd4d 13433

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 11539. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xadd4d.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
xadd4d.2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
xadd4d.3	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
xadd4d.4	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))

Assertion

Ref	Expression
xadd4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)))

Proof of Theorem xadd4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xadd4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
2		xadd4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
3		xadd4d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))
4		xaddass 13379	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷) = (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷) = (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷)))
6	5	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +e ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷))))
7		xadd4d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
8	1	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
9	3	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
10	8, 9	xaddcld 13431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +e 𝐷) ∈ ℝ*)
11		xaddnemnf 13366	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +e 𝐷) ≠ -∞)
12	1, 3, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +e 𝐷) ≠ -∞)
13		xaddass 13379	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +e 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +e 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷))))
14	7, 2, 10, 12, 13	syl112anc 1401	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷))))
15	2	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
16		xaddcom 13370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐶))
17	8, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐶))
18	17	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷) = ((𝐵 +e 𝐶) +e 𝐷))
19		xaddass 13379	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +e 𝐶) +e 𝐷) = (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷)))
20	2, 1, 3, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +e 𝐶) +e 𝐷) = (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷)))
21	18, 20	eqtr2d 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷)) = ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷))
22	21	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +e (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷))) = (𝐴 +e ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷)))
23	14, 22	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = (𝐴 +e ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷)))
24	15, 9	xaddcld 13431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +e 𝐷) ∈ ℝ*)
25		xaddnemnf 13366	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +e 𝐷) ≠ -∞)
26	2, 3, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +e 𝐷) ≠ -∞)
27		xaddass 13379	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +e 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +e 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷))))
28	7, 1, 24, 26, 27	syl112anc 1401	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷))))
29	6, 23, 28	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7420  -∞cmnf 11341  ℝ^*cxr 11342   +_e cxad 13239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-xadd 13242

This theorem is used by:  xnn0add4d  13434