MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadd4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xadd4d 13281
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 11441. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xadd4d.1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
xadd4d.2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
xadd4d.3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
xadd4d.4 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
Assertion
Ref Expression
xadd4d (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xadd4d
StepHypRef Expression
1 xadd4d.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
2 xadd4d.2 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
3 xadd4d.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
4 xaddass 13227 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
65oveq2d 7424 . 2 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
7 xadd4d.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
81simpld 495 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
93simpld 495 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
108, 9xaddcld 13279 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
11 xaddnemnf 13214 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
121, 3, 11syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
13 xaddass 13227 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))))
147, 2, 10, 12, 13syl112anc 1374 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))))
152simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
16 xaddcom 13218 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
178, 15, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
1817oveq1d 7423 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷))
19 xaddass 13227 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))
202, 1, 3, 19syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))
2118, 20eqtr2d 2773 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))
2221oveq2d 7424 . . 3 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)))
2314, 22eqtrd 2772 . 2 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)))
2415, 9xaddcld 13279 . . 3 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
25 xaddnemnf 13214 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
262, 3, 25syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
27 xaddass 13227 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
287, 1, 24, 26, 27syl112anc 1374 . 2 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
296, 23, 283eqtr4d 2782 1 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  (class class class)co 7408  -∞cmnf 11245  *cxr 11246   +𝑒 cxad 13089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-xadd 13092
This theorem is referenced by:  xnn0add4d  13282
  Copyright terms: Public domain W3C validator