MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadd4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xadd4d 13279
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 11439. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xadd4d.1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
xadd4d.2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
xadd4d.3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
xadd4d.4 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
Assertion
Ref Expression
xadd4d (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xadd4d
StepHypRef Expression
1 xadd4d.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
2 xadd4d.2 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
3 xadd4d.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
4 xaddass 13225 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
65oveq2d 7417 . 2 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
7 xadd4d.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
81simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
93simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
108, 9xaddcld 13277 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
11 xaddnemnf 13212 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
121, 3, 11syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
13 xaddass 13225 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))))
147, 2, 10, 12, 13syl112anc 1371 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))))
152simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
16 xaddcom 13216 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
178, 15, 16syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
1817oveq1d 7416 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷))
19 xaddass 13225 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))
202, 1, 3, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))
2118, 20eqtr2d 2765 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))
2221oveq2d 7417 . . 3 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)))
2314, 22eqtrd 2764 . 2 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)))
2415, 9xaddcld 13277 . . 3 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
25 xaddnemnf 13212 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
262, 3, 25syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
27 xaddass 13225 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
287, 1, 24, 26, 27syl112anc 1371 . 2 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
296, 23, 283eqtr4d 2774 1 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  (class class class)co 7401  -∞cmnf 11243  *cxr 11244   +𝑒 cxad 13087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-xadd 13090
This theorem is referenced by:  xnn0add4d  13280
  Copyright terms: Public domain W3C validator