MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadd4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xadd4d 12693
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 10866. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xadd4d.1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
xadd4d.2 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
xadd4d.3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
xadd4d.4 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
Assertion
Ref Expression
xadd4d (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xadd4d
StepHypRef Expression
1 xadd4d.3 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
2 xadd4d.2 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
3 xadd4d.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞))
4 xaddass 12639 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
65oveq2d 7165 . 2 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
7 xadd4d.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
81simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
93simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
108, 9xaddcld 12691 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
11 xaddnemnf 12626 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
121, 3, 11syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
13 xaddass 12639 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))))
147, 2, 10, 12, 13syl112anc 1371 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))))
152simpld 498 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
16 xaddcom 12630 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
178, 15, 16syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶))
1817oveq1d 7164 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷))
19 xaddass 12639 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))
202, 1, 3, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))
2118, 20eqtr2d 2860 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))
2221oveq2d 7165 . . 3 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)))
2314, 22eqtrd 2859 . 2 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)))
2415, 9xaddcld 12691 . . 3 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*)
25 xaddnemnf 12626 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ*𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
262, 3, 25syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)
27 xaddass 12639 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
287, 1, 24, 26, 27syl112anc 1371 . 2 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))))
296, 23, 283eqtr4d 2869 1 (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  (class class class)co 7149  -∞cmnf 10671  *cxr 10672   +𝑒 cxad 12502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-xadd 12505
This theorem is referenced by:  xnn0add4d  12694
  Copyright terms: Public domain W3C validator