Theorem xadd4d 13473

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 11578. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xadd4d.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
xadd4d.2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
xadd4d.3	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
xadd4d.4	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))

Assertion

Ref	Expression
xadd4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)))

Proof of Theorem xadd4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xadd4d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
2		xadd4d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
3		xadd4d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))
4		xaddass 13419	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷) = (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷) = (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷)))
6	5	oveq2d 7467	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +e ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷))))
7		xadd4d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
8	1	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
9	3	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
10	8, 9	xaddcld 13471	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +e 𝐷) ∈ ℝ*)
11		xaddnemnf 13406	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +e 𝐷) ≠ -∞)
12	1, 3, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +e 𝐷) ≠ -∞)
13		xaddass 13419	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +e 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +e 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷))))
14	7, 2, 10, 12, 13	syl112anc 1402	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷))))
15	2	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
16		xaddcom 13410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐶))
17	8, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +e 𝐵) = (𝐵 +e 𝐶))
18	17	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷) = ((𝐵 +e 𝐶) +e 𝐷))
19		xaddass 13419	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +e 𝐶) +e 𝐷) = (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷)))
20	2, 1, 3, 19	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +e 𝐶) +e 𝐷) = (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷)))
21	18, 20	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷)) = ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷))
22	21	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +e (𝐵 +e (𝐶 +e 𝐷))) = (𝐴 +e ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷)))
23	14, 22	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = (𝐴 +e ((𝐶 +e 𝐵) +e 𝐷)))
24	15, 9	xaddcld 13471	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +e 𝐷) ∈ ℝ*)
25		xaddnemnf 13406	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +e 𝐷) ≠ -∞)
26	2, 3, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +e 𝐷) ≠ -∞)
27		xaddass 13419	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +e 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +e 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷))))
28	7, 1, 24, 26, 27	syl112anc 1402	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)) = (𝐴 +e (𝐶 +e (𝐵 +e 𝐷))))
29	6, 23, 28	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +e 𝐵) +e (𝐶 +e 𝐷)) = ((𝐴 +e 𝐶) +e (𝐵 +e 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7451  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   +_e cxad 13279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-xadd 13282

This theorem is used by:  xnn0add4d  13474