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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xadd4d | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition, analogous to add4d 10857. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
xadd4d.1 | ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞)) |
xadd4d.2 | ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) |
xadd4d.3 | ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) |
xadd4d.4 | ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) |
Ref | Expression |
---|---|
xadd4d | ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | xadd4d.3 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) | |
2 | xadd4d.2 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) | |
3 | xadd4d.4 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) | |
4 | xaddass 12630 | . . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) | |
5 | 1, 2, 3, 4 | syl3anc 1368 | . . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
6 | 5 | oveq2d 7151 | . 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) |
7 | xadd4d.1 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞)) | |
8 | 1 | simpld 498 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*) |
9 | 3 | simpld 498 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*) |
10 | 8, 9 | xaddcld 12682 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*) |
11 | xaddnemnf 12617 | . . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) | |
12 | 1, 3, 11 | syl2anc 587 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) |
13 | xaddass 12630 | . . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))) | |
14 | 7, 2, 10, 12, 13 | syl112anc 1371 | . . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)))) |
15 | 2 | simpld 498 | . . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*) |
16 | xaddcom 12621 | . . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶)) | |
17 | 8, 15, 16 | syl2anc 587 | . . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +𝑒 𝐵) = (𝐵 +𝑒 𝐶)) |
18 | 17 | oveq1d 7150 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷) = ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷)) |
19 | xaddass 12630 | . . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) | |
20 | 2, 1, 3, 19 | syl3anc 1368 | . . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 +𝑒 𝐶) +𝑒 𝐷) = (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) |
21 | 18, 20 | eqtr2d 2834 | . . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷)) |
22 | 21 | oveq2d 7151 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷))) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))) |
23 | 14, 22 | eqtrd 2833 | . 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 ((𝐶 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐷))) |
24 | 15, 9 | xaddcld 12682 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ*) |
25 | xaddnemnf 12617 | . . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) | |
26 | 2, 3, 25 | syl2anc 587 | . . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞) |
27 | xaddass 12630 | . . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐷) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) | |
28 | 7, 1, 24, 26, 27 | syl112anc 1371 | . 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)) = (𝐴 +𝑒 (𝐶 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))) |
29 | 6, 23, 28 | 3eqtr4d 2843 | 1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 (class class class)co 7135 -∞cmnf 10662 ℝ*cxr 10663 +𝑒 cxad 12493 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-op 4532 df-uni 4801 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-id 5425 df-po 5438 df-so 5439 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-xadd 12496 |
This theorem is referenced by: xnn0add4d 12685 |
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