Theorem xaddpnf2 13235

Description: Addition of positive infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddpnf2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xaddpnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 11281	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		xaddval 13231	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
3	1, 2	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
5	4	iftruei 4505	. . 3 ⊢ if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = if(𝐴 = -∞, 0, +∞)
6		ifnefalse 4510	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ → if(𝐴 = -∞, 0, +∞) = +∞)
7	5, 6	eqtrid 2781	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ → if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = +∞)
8	3, 7	sylan9eq 2789	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ifcif 4498  (class class class)co 7399  0cc0 11121   + caddc 11124  +∞cpnf 11258  -∞cmnf 11259  ℝ^*cxr 11260   +_𝑒 cxad 13118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-mulcl 11183  ax-i2m1 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-dif 3927  df-un 3929  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-br 5117  df-opab 5179  df-id 5545  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fv 6535  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-xadd 13121

This theorem is referenced by:  xnn0xaddcl  13243  xaddnemnf  13244  xaddcom  13248  xaddrid  13249  xnn0xadd0  13255  xnegdi  13256  xaddass  13257  xleadd1a  13261  xadddilem  13302  xadddi2  13305  hashinfxadd  14391  xrsdsreclblem  21365  isxmet2d  24251  xaddeq0  32663  xrge0adddir  32932  xrge0iifhom  33876  infrpge  45306  infleinflem1  45325  ovolsplit  45947  sge0pr  46353  sge0split  46368  sge0xaddlem1  46392  sge0xadd  46394