MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddpnf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddpnf2 13007
Description: Addition of positive infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddpnf2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xaddpnf2
StepHypRef Expression
1 pnfxr 11075 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 xaddval 13003 . . 3 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
31, 2mpan 688 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
4 eqid 2736 . . . 4 +∞ = +∞
54iftruei 4472 . . 3 if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = if(𝐴 = -∞, 0, +∞)
6 ifnefalse 4477 . . 3 (𝐴 ≠ -∞ → if(𝐴 = -∞, 0, +∞) = +∞)
75, 6eqtrid 2788 . 2 (𝐴 ≠ -∞ → if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = +∞)
83, 7sylan9eq 2796 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2941  ifcif 4465  (class class class)co 7307  0cc0 10917   + caddc 10920  +∞cpnf 11052  -∞cmnf 11053  *cxr 11054   +𝑒 cxad 12892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-mulcl 10979  ax-i2m1 10985
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-xadd 12895
This theorem is referenced by:  xnn0xaddcl  13015  xaddnemnf  13016  xaddcom  13020  xaddid1  13021  xnn0xadd0  13027  xnegdi  13028  xaddass  13029  xleadd1a  13033  xadddilem  13074  xadddi2  13077  hashinfxadd  14145  xrsdsreclblem  20689  isxmet2d  23525  xaddeq0  31121  xrge0adddir  31346  xrge0iifhom  31932  infrpge  42938  infleinflem1  42957  ovolsplit  43578  sge0pr  43982  sge0split  43997  sge0xaddlem1  44021  sge0xadd  44023
  Copyright terms: Public domain W3C validator