Theorem xaddpnf2 12621

Description: Addition of positive infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddpnf2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xaddpnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 10695	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		xaddval 12617	. . 3 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
3	1, 2	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
4		eqid 2821	. . . 4 ⊢ +∞ = +∞
5	4	iftruei 4474	. . 3 ⊢ if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = if(𝐴 = -∞, 0, +∞)
6		ifnefalse 4479	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ → if(𝐴 = -∞, 0, +∞) = +∞)
7	5, 6	syl5eq 2868	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ -∞ → if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = +∞)
8	3, 7	sylan9eq 2876	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ifcif 4467  (class class class)co 7156  0cc0 10537   + caddc 10540  +∞cpnf 10672  -∞cmnf 10673  ℝ^*cxr 10674   +_𝑒 cxad 12506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-mulcl 10599  ax-i2m1 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-xadd 12509

This theorem is referenced by:  xnn0xaddcl  12629  xaddnemnf  12630  xaddcom  12634  xaddid1  12635  xnn0xadd0  12641  xnegdi  12642  xaddass  12643  xleadd1a  12647  xadddilem  12688  xadddi2  12691  hashinfxadd  13747  xrsdsreclblem  20591  isxmet2d  22937  xaddeq0  30477  xrge0adddir  30679  xrge0iifhom  31180  infrpge  41668  infleinflem1  41687  ovolsplit  42322  sge0pr  42725  sge0split  42740  sge0xaddlem1  42764  sge0xadd  42766