MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xaddpnf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xaddpnf2 12612
Description: Addition of positive infinity on the left. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddpnf2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)

Proof of Theorem xaddpnf2
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10688 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 xaddval 12608 . . 3 ((+∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
31, 2mpan 689 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (+∞ +𝑒 𝐴) = if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))))
4 eqid 2801 . . . 4 +∞ = +∞
54iftruei 4435 . . 3 if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = if(𝐴 = -∞, 0, +∞)
6 ifnefalse 4440 . . 3 (𝐴 ≠ -∞ → if(𝐴 = -∞, 0, +∞) = +∞)
75, 6syl5eq 2848 . 2 (𝐴 ≠ -∞ → if(+∞ = +∞, if(𝐴 = -∞, 0, +∞), if(+∞ = -∞, if(𝐴 = +∞, 0, -∞), if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, -∞, (+∞ + 𝐴))))) = +∞)
83, 7sylan9eq 2856 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐴) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  ifcif 4428  (class class class)co 7139  0cc0 10530   + caddc 10533  +∞cpnf 10665  -∞cmnf 10666  *cxr 10667   +𝑒 cxad 12497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-mulcl 10592  ax-i2m1 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-xadd 12500
This theorem is referenced by:  xnn0xaddcl  12620  xaddnemnf  12621  xaddcom  12625  xaddid1  12626  xnn0xadd0  12632  xnegdi  12633  xaddass  12634  xleadd1a  12638  xadddilem  12679  xadddi2  12682  hashinfxadd  13746  xrsdsreclblem  20140  isxmet2d  22937  xaddeq0  30506  xrge0adddir  30729  xrge0iifhom  31288  infrpge  41970  infleinflem1  41989  ovolsplit  42617  sge0pr  43020  sge0split  43035  sge0xaddlem1  43059  sge0xadd  43061
  Copyright terms: Public domain W3C validator