Theorem xaddass 13225

Description: Associativity of extended real addition. The correct condition here is "it is not the case that both +∞ and -∞ appear as one of 𝐴, 𝐵, 𝐶, i.e. ¬ {+∞, -∞} ⊆ {𝐴, 𝐵, 𝐶}", but this condition is difficult to work with, so we break the theorem into two parts: this one, where -∞ is not present in 𝐴, 𝐵, 𝐶, and xaddass2 13226, where +∞ is not present. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddass	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xaddass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		recn 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addass 11193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
6	5	3expa 1115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
7		readdcl 11189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8		rexadd 13208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
9	7, 8	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
10		readdcl 11189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
11		rexadd 13208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
12	10, 11	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
13	12	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
14	6, 9, 13	3eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)))
15		rexadd 13208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
17	16	oveq1d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶))
18		rexadd 13208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
19	18	adantll 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
20	19	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)))
21	14, 17, 20	3eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
22	21	adantll 711	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
23		oveq2 7409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞))
24		simp1l 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25		simp2l 1196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
26		xaddcl 13215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
27	24, 25, 26	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
28		xaddnemnf 13212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
29	28	3adant3 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
30		xaddpnf1 13202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
31	27, 29, 30	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
32	23, 31	sylan9eqr 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = +∞)
33		xaddpnf1 13202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
34	33	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
36	32, 35	eqtr4d 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
37		oveq2 7409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 +∞))
38		xaddpnf1 13202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
39	38	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
40	37, 39	sylan9eqr 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
41	40	oveq2d 7417	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 +∞))
42	36, 41	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
43	42	adantlr 712	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
44		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
45		xrnemnf 13094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
46	44, 45	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
48	22, 43, 47	mpjaodan 955	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
49	48	anassrs 467	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
50		xaddpnf2 13203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
51	50	3ad2ant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
52	51, 34	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
53	52	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
54		oveq2 7409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
55	54, 34	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
56	55	oveq1d 7416	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
57		oveq1 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
58	57, 51	sylan9eqr 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
59	58	oveq2d 7417	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 +∞))
60	53, 56, 59	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
61	60	adantlr 712	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
62		simpl2 1189	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
63		xrnemnf 13094	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
64	62, 63	sylib 217	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
65	49, 61, 64	mpjaodan 955	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
66		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
67	66, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
68		simpl2l 1223	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
69		simpl3l 1225	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
70		xaddcl 13215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
71	68, 69, 70	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
72		simpl2 1189	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
73		xaddnemnf 13212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞)
74	72, 66, 73	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞)
75		xaddpnf2 13203	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
76	71, 74, 75	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
77	67, 76	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
78		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
79	78	oveq1d 7416	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
80		xaddpnf2 13203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
81	72, 80	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
82	79, 81	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
83	82	oveq1d 7416	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
84	78	oveq1d 7416	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
85	77, 83, 84	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
86		simp1 1133	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
87		xrnemnf 13094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
88	86, 87	sylib 217	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
89	65, 85, 88	mpjaodan 955	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  ℝcr 11105   + caddc 11109  +∞cpnf 11242  -∞cmnf 11243  ℝ^*cxr 11244   +_𝑒 cxad 13087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-addass 11171  ax-i2m1 11174  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-xadd 13090

This theorem is referenced by:  xaddass2  13226  xpncan  13227  xadd4d  13279  xrs1mnd  21267  xlt2addrd  32440  xrge0addass  32656  xrge0npcan  32660  carsgclctunlem2  33807  caragenuncllem  45713