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Theorem xaddass 12637
Description: Associativity of extended real addition. The correct condition here is "it is not the case that both +∞ and -∞ appear as one of 𝐴, 𝐵, 𝐶, i.e. ¬ {+∞, -∞} ⊆ {𝐴, 𝐵, 𝐶}", but this condition is difficult to work with, so we break the theorem into two parts: this one, where -∞ is not present in 𝐴, 𝐵, 𝐶, and xaddass2 12638, where +∞ is not present. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddass (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xaddass
StepHypRef Expression
1 recn 10621 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 recn 10621 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3 recn 10621 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
4 addass 10618 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1154 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
653expa 1112 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
7 readdcl 10614 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8 rexadd 12620 . . . . . . . . 9 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
97, 8sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
10 readdcl 10614 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
11 rexadd 12620 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
1210, 11sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
1312anassrs 468 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
146, 9, 133eqtr4d 2871 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)))
15 rexadd 12620 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
1615adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
1716oveq1d 7165 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶))
18 rexadd 12620 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
1918adantll 710 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
2019oveq2d 7166 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)))
2114, 17, 203eqtr4d 2871 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
2221adantll 710 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
23 oveq2 7158 . . . . . . . . 9 (𝐶 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞))
24 simp1l 1191 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25 simp2l 1193 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
26 xaddcl 12627 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
2724, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
28 xaddnemnf 12624 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
29283adant3 1126 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
30 xaddpnf1 12614 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
3127, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
3223, 31sylan9eqr 2883 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = +∞)
33 xaddpnf1 12614 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
34333ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
3534adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
3632, 35eqtr4d 2864 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
37 oveq2 7158 . . . . . . . . 9 (𝐶 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 +∞))
38 xaddpnf1 12614 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
39383ad2ant2 1128 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
4037, 39sylan9eqr 2883 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
4140oveq2d 7166 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 +∞))
4236, 41eqtr4d 2864 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
4342adantlr 711 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
44 simp3 1132 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
45 xrnemnf 12507 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
4644, 45sylib 219 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
4746adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
4822, 43, 47mpjaodan 954 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
4948anassrs 468 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
50 xaddpnf2 12615 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
51503ad2ant3 1129 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
5251, 34eqtr4d 2864 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
5352adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
54 oveq2 7158 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
5554, 34sylan9eqr 2883 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
5655oveq1d 7165 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
57 oveq1 7157 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
5857, 51sylan9eqr 2883 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
5958oveq2d 7166 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 +∞))
6053, 56, 593eqtr4d 2871 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
6160adantlr 711 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
62 simpl2 1186 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
63 xrnemnf 12507 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
6462, 63sylib 219 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
6549, 61, 64mpjaodan 954 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
66 simpl3 1187 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
6766, 50syl 17 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
68 simpl2l 1220 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
69 simpl3l 1222 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
70 xaddcl 12627 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
7168, 69, 70syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
72 simpl2 1186 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
73 xaddnemnf 12624 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞)
7472, 66, 73syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞)
75 xaddpnf2 12615 . . . . 5 (((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
7671, 74, 75syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
7767, 76eqtr4d 2864 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
78 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
7978oveq1d 7165 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
80 xaddpnf2 12615 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
8172, 80syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
8279, 81eqtrd 2861 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
8382oveq1d 7165 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
8478oveq1d 7165 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
8577, 83, 843eqtr4d 2871 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
86 simp1 1130 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
87 xrnemnf 12507 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
8886, 87sylib 219 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
8965, 85, 88mpjaodan 954 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530   + caddc 10534  +∞cpnf 10666  -∞cmnf 10667  *cxr 10668   +𝑒 cxad 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-addass 10596  ax-i2m1 10599  ax-rnegex 10602  ax-cnre 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-xadd 12503
This theorem is referenced by:  xaddass2  12638  xpncan  12639  xadd4d  12691  xrs1mnd  20518  xlt2addrd  30414  xrge0addass  30610  xrge0npcan  30614  carsgclctunlem2  31482  caragenuncllem  42679
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