Theorem xaddass 13234

Description: Associativity of extended real addition. The correct condition here is "it is not the case that both +∞ and -∞ appear as one of 𝐴, 𝐵, 𝐶, i.e. ¬ {+∞, -∞} ⊆ {𝐴, 𝐵, 𝐶}", but this condition is difficult to work with, so we break the theorem into two parts: this one, where -∞ is not present in 𝐴, 𝐵, 𝐶, and xaddass2 13235, where +∞ is not present. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xaddass	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xaddass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		recn 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addass 11199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
6	5	3expa 1115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
7		readdcl 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8		rexadd 13217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
9	7, 8	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
10		readdcl 11195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
11		rexadd 13217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
12	10, 11	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
13	12	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
14	6, 9, 13	3eqtr4d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)))
15		rexadd 13217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
17	16	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶))
18		rexadd 13217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
19	18	adantll 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
20	19	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)))
21	14, 17, 20	3eqtr4d 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
22	21	adantll 711	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
23		oveq2 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞))
24		simp1l 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25		simp2l 1196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
26		xaddcl 13224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
27	24, 25, 26	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
28		xaddnemnf 13221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
29	28	3adant3 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
30		xaddpnf1 13211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
31	27, 29, 30	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
32	23, 31	sylan9eqr 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = +∞)
33		xaddpnf1 13211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
34	33	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
36	32, 35	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
37		oveq2 7413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 +∞))
38		xaddpnf1 13211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
39	38	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
40	37, 39	sylan9eqr 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
41	40	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 +∞))
42	36, 41	eqtr4d 2769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
43	42	adantlr 712	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
44		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
45		xrnemnf 13103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
46	44, 45	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
48	22, 43, 47	mpjaodan 955	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
49	48	anassrs 467	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
50		xaddpnf2 13212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
51	50	3ad2ant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
52	51, 34	eqtr4d 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
53	52	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
54		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
55	54, 34	sylan9eqr 2788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
56	55	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
57		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
58	57, 51	sylan9eqr 2788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
59	58	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 +∞))
60	53, 56, 59	3eqtr4d 2776	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
61	60	adantlr 712	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
62		simpl2 1189	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
63		xrnemnf 13103	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
64	62, 63	sylib 217	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
65	49, 61, 64	mpjaodan 955	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
66		simpl3 1190	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
67	66, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
68		simpl2l 1223	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
69		simpl3l 1225	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
70		xaddcl 13224	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
71	68, 69, 70	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
72		simpl2 1189	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
73		xaddnemnf 13221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞)
74	72, 66, 73	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞)
75		xaddpnf2 13212	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
76	71, 74, 75	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
77	67, 76	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
78		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
79	78	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
80		xaddpnf2 13212	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
81	72, 80	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
82	79, 81	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
83	82	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
84	78	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
85	77, 83, 84	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
86		simp1 1133	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
87		xrnemnf 13103	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
88	86, 87	sylib 217	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
89	65, 85, 88	mpjaodan 955	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  ℝ^*cxr 11251   +_𝑒 cxad 13096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-addass 11177  ax-i2m1 11180  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-xadd 13099

This theorem is referenced by:  xaddass2  13235  xpncan  13236  xadd4d  13288  xrs1mnd  21298  xlt2addrd  32478  xrge0addass  32694  xrge0npcan  32698  carsgclctunlem2  33848  caragenuncllem  45797