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Theorem xaddass 13379

Description: Associativity of extended real addition. The correct condition here is "it is not the case that both +∞ and -∞ appear as one of 𝐴, 𝐵, 𝐶, i.e. ¬ {+∞, -∞} ⊆ {𝐴, 𝐵, 𝐶}", but this condition is difficult to work with, so we break the theorem into two parts: this one, where -∞ is not present in 𝐴, 𝐵, 𝐶, and xaddass2 13380, where +∞ is not present. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xaddass	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)))

**Proof of Theorem xaddass**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		recn 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addass 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
6	5	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
7		readdcl 11283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8		rexadd 13362	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +_e 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
9	7, 8	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +_e 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
10		readdcl 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
11		rexadd 13362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 +_e (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
12	10, 11	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 +_e (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
13	12	anassrs 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +_e (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
14	6, 9, 13	3eqtr4d 2806	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +_e 𝐶) = (𝐴 +_e (𝐵 + 𝐶)))
15		rexadd 13362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +_e 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +_e 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
17	16	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) +_e 𝐶))
18		rexadd 13362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +_e 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
19	18	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +_e 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
20	19	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)) = (𝐴 +_e (𝐵 + 𝐶)))
21	14, 17, 20	3eqtr4d 2806	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)))
22	21	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)))
23		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = +∞ → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = ((𝐴 +_e 𝐵) +_e +∞))
24		simp1l 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
25		simp2l 1218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
26		xaddcl 13369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝐴 +_e 𝐵) ∈ ℝ^)
27	24, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +_e 𝐵) ∈ ℝ^*)
28		xaddnemnf 13366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +_e 𝐵) ≠ -∞)
29	28	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +_e 𝐵) ≠ -∞)
30		xaddpnf1 13356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 +_e 𝐵) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 +_e 𝐵) ≠ -∞) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e +∞) = +∞)
31	27, 29, 30	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e +∞) = +∞)
32	23, 31	sylan9eqr 2818	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = +∞)
33		xaddpnf1 13356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +_e +∞) = +∞)
34	33	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +_e +∞) = +∞)
35	34	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +_e +∞) = +∞)
36	32, 35	eqtr4d 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (𝐴 +_e +∞))
37		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = +∞ → (𝐵 +_e 𝐶) = (𝐵 +_e +∞))
38		xaddpnf1 13356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +_e +∞) = +∞)
39	38	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐵 +_e +∞) = +∞)
40	37, 39	sylan9eqr 2818	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +_e 𝐶) = +∞)
41	40	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)) = (𝐴 +_e +∞))
42	36, 41	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)))
43	42	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)))
44		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
45		xrnemnf 13246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
46	44, 45	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
47	46	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
48	22, 43, 47	mpjaodan 973	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)))
49	48	anassrs 473	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)))
50		xaddpnf2 13357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +_e 𝐶) = +∞)
51	50	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (+∞ +_e 𝐶) = +∞)
52	51, 34	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (+∞ +_e 𝐶) = (𝐴 +_e +∞))
53	52	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +_e 𝐶) = (𝐴 +_e +∞))
54		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 +_e 𝐵) = (𝐴 +_e +∞))
55	54, 34	sylan9eqr 2818	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +_e 𝐵) = +∞)
56	55	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (+∞ +_e 𝐶))
57		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 +_e 𝐶) = (+∞ +_e 𝐶))
58	57, 51	sylan9eqr 2818	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +_e 𝐶) = +∞)
59	58	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)) = (𝐴 +_e +∞))
60	53, 56, 59	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)))
61	60	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)))
62		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
63		xrnemnf 13246	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
64	62, 63	sylib 221	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
65	49, 61, 64	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)))
66		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
67	66, 50	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +_e 𝐶) = +∞)
68		simpl2l 1245	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
69		simpl3l 1247	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ^*)
70		xaddcl 13369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (𝐵 +_e 𝐶) ∈ ℝ^)
71	68, 69, 70	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +_e 𝐶) ∈ ℝ^*)
72		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
73		xaddnemnf 13366	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐵 +_e 𝐶) ≠ -∞)
74	72, 66, 73	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +_e 𝐶) ≠ -∞)
75		xaddpnf2 13357	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 +_e 𝐶) ∈ ℝ^* ∧ (𝐵 +_e 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +_e (𝐵 +_e 𝐶)) = +∞)
76	71, 74, 75	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +_e (𝐵 +_e 𝐶)) = +∞)
77	67, 76	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +_e 𝐶) = (+∞ +_e (𝐵 +_e 𝐶)))
78		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
79	78	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +_e 𝐵) = (+∞ +_e 𝐵))
80		xaddpnf2 13357	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +_e 𝐵) = +∞)
81	72, 80	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +_e 𝐵) = +∞)
82	79, 81	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +_e 𝐵) = +∞)
83	82	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (+∞ +_e 𝐶))
84	78	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)) = (+∞ +_e (𝐵 +_e 𝐶)))
85	77, 83, 84	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)))
86		simp1 1154	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
87		xrnemnf 13246	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
88	86, 87	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
89	65, 85, 88	mpjaodan 973	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +_e 𝐵) +_e 𝐶) = (𝐴 +_e (𝐵 +_e 𝐶)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2956 (class class class)co 7420 ℂcc 11198 ℝcr 11199 + caddc 11203 +∞cpnf 11340 -∞cmnf 11341 ℝ^*cxr 11342 +_e cxad 13239

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-addass 11265 ax-i2m1 11268 ax-rnegex 11271 ax-cnre 11273

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-id 5546 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-er 8717 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-xadd 13242

This theorem is used by: xaddass2 13380 xpncan 13381 xadd4d 13433 xrs1mnd 21746 xlt2addrd 33351 xrge0addass 33577 xrge0npcan 33581 carsgclctunlem2 34951 caragenuncllem 47521

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