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Theorem xaddass 13168
Description: Associativity of extended real addition. The correct condition here is "it is not the case that both +∞ and -∞ appear as one of 𝐴, 𝐵, 𝐶, i.e. ¬ {+∞, -∞} ⊆ {𝐴, 𝐵, 𝐶}", but this condition is difficult to work with, so we break the theorem into two parts: this one, where -∞ is not present in 𝐴, 𝐵, 𝐶, and xaddass2 13169, where +∞ is not present. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xaddass (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))

Proof of Theorem xaddass
StepHypRef Expression
1 recn 11141 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 recn 11141 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3 recn 11141 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
4 addass 11138 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3an 1160 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
653expa 1118 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
7 readdcl 11134 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8 rexadd 13151 . . . . . . . . 9 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
97, 8sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶))
10 readdcl 11134 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
11 rexadd 13151 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
1210, 11sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
1312anassrs 468 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴 + (𝐵 + 𝐶)))
146, 9, 133eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)))
15 rexadd 13151 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
1615adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
1716oveq1d 7372 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) +𝑒 𝐶))
18 rexadd 13151 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
1918adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
2019oveq2d 7373 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 + 𝐶)))
2114, 17, 203eqtr4d 2786 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
2221adantll 712 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
23 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝐶 = +∞ → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞))
24 simp1l 1197 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
25 simp2l 1199 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
26 xaddcl 13158 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
2724, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
28 xaddnemnf 13155 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
29283adant3 1132 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞)
30 xaddpnf1 13145 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 𝐵) ≠ -∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
3127, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 +∞) = +∞)
3223, 31sylan9eqr 2798 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = +∞)
33 xaddpnf1 13145 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
34333ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
3534adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 +∞) = +∞)
3632, 35eqtr4d 2779 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
37 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝐶 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 +𝑒 +∞))
38 xaddpnf1 13145 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
39383ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 +∞) = +∞)
4037, 39sylan9eqr 2798 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
4140oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 +∞))
4236, 41eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
4342adantlr 713 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
44 simp3 1138 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
45 xrnemnf 13038 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
4644, 45sylib 217 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
4746adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞))
4822, 43, 47mpjaodan 957 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
4948anassrs 468 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
50 xaddpnf2 13146 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
51503ad2ant3 1135 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
5251, 34eqtr4d 2779 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
5352adantr 481 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 +∞))
54 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 +𝑒 +∞))
5554, 34sylan9eqr 2798 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
5655oveq1d 7372 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
57 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
5857, 51sylan9eqr 2798 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = +∞)
5958oveq2d 7373 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (𝐴 +𝑒 +∞))
6053, 56, 593eqtr4d 2786 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
6160adantlr 713 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
62 simpl2 1192 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
63 xrnemnf 13038 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
6462, 63sylib 217 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
6549, 61, 64mpjaodan 957 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
66 simpl3 1193 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞))
6766, 50syl 17 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = +∞)
68 simpl2l 1226 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
69 simpl3l 1228 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
70 xaddcl 13158 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
7168, 69, 70syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
72 simpl2 1192 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞))
73 xaddnemnf 13155 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞)
7472, 66, 73syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞)
75 xaddpnf2 13146 . . . . 5 (((𝐵 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 𝐶) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
7671, 74, 75syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = +∞)
7767, 76eqtr4d 2779 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
78 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
7978oveq1d 7372 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (+∞ +𝑒 𝐵))
80 xaddpnf2 13146 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
8172, 80syl 17 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (+∞ +𝑒 𝐵) = +∞)
8279, 81eqtrd 2776 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = +∞)
8382oveq1d 7372 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (+∞ +𝑒 𝐶))
8478oveq1d 7372 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)) = (+∞ +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
8577, 83, 843eqtr4d 2786 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) ∧ 𝐴 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
86 simp1 1136 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
87 xrnemnf 13038 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
8886, 87sylib 217 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
8965, 85, 88mpjaodan 957 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≠ -∞) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 𝐶) = (𝐴 +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   +𝑒 cxad 13031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-addass 11116  ax-i2m1 11119  ax-rnegex 11122  ax-cnre 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-xadd 13034
This theorem is referenced by:  xaddass2  13169  xpncan  13170  xadd4d  13222  xrs1mnd  20835  xlt2addrd  31663  xrge0addass  31881  xrge0npcan  31885  carsgclctunlem2  32919  caragenuncllem  44743
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