Theorem xpsnen2g 9010

Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpsnen2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)

Proof of Theorem xpsnen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5385	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
2		xpcomeng 9009	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
3	1, 2	mpan 691	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
4		xpsneng 9002	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
5	4	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
6		entr 8955	. 2 ⊢ ((({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}) ∧ (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)
7	3, 5, 6	syl2an2 687	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5630   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-en 8896

This theorem is referenced by:  unxpwdom2  9505  undjudom  10090  endjudisj  10091  djuen  10092  dju1dif  10095  dju1p1e2  10096  djucomen  10100  djuassen  10101  xpdjuen  10102  mapdjuen  10103  djuxpdom  10108  djufi  10109  djuinf  10111  infdju1  10112  pwdjudom  10137  ackbij1lem8  10148  isfin4p1  10237  pwdjundom  10590  lgsquadlem1  27359  lgsquadlem2  27360