MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsnen2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsnen2g 9016
Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
xpsnen2g ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)

Proof of Theorem xpsnen2g
StepHypRef Expression
1 snex 5393 . . 3 {𝐴} ∈ V
2 xpcomeng 9015 . . 3 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
31, 2mpan 689 . 2 (𝐵𝑊 → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
4 xpsneng 9007 . . 3 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
54ancoms 460 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
6 entr 8953 . 2 ((({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}) ∧ (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)
73, 5, 6syl2an2 685 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  Vcvv 3448  {csn 4591   class class class wbr 5110   × cxp 5636  cen 8887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-en 8891
This theorem is referenced by:  unxpwdom2  9531  undjudom  10110  endjudisj  10111  djuen  10112  dju1dif  10115  dju1p1e2  10116  djucomen  10120  djuassen  10121  xpdjuen  10122  mapdjuen  10123  djuxpdom  10128  djufi  10129  djuinf  10131  infdju1  10132  pwdjudom  10159  ackbij1lem8  10170  isfin4p1  10258  pwdjundom  10610  lgsquadlem1  26744  lgsquadlem2  26745
  Copyright terms: Public domain W3C validator