MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsnen2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsnen2g 8341
Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
xpsnen2g ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)

Proof of Theorem xpsnen2g
StepHypRef Expression
1 snex 5140 . . 3 {𝐴} ∈ V
2 xpcomeng 8340 . . 3 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
31, 2mpan 680 . 2 (𝐵𝑊 → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
4 xpsneng 8333 . . 3 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
54ancoms 452 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
6 entr 8293 . 2 ((({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}) ∧ (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)
73, 5, 6syl2an2 676 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2107  Vcvv 3398  {csn 4398   class class class wbr 4886   × cxp 5353  cen 8238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-en 8242
This theorem is referenced by:  unxpwdom2  8782  ackbij1lem8  9384  lgsquadlem1  25557  lgsquadlem2  25558
  Copyright terms: Public domain W3C validator