Theorem xpsnen2g 9011

Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpsnen2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)

Proof of Theorem xpsnen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5386	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
2		xpcomeng 9010	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
3	1, 2	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
4		xpsneng 9003	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
5	4	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
6		entr 8954	. 2 ⊢ ((({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}) ∧ (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)
7	3, 5, 6	syl2an2 686	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  {csn 4585   class class class wbr 5102   × cxp 5629   ≈ cen 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-er 8648  df-en 8896

This theorem is referenced by:  unxpwdom2  9517  undjudom  10097  endjudisj  10098  djuen  10099  dju1dif  10102  dju1p1e2  10103  djucomen  10107  djuassen  10108  xpdjuen  10109  mapdjuen  10110  djuxpdom  10115  djufi  10116  djuinf  10118  infdju1  10119  pwdjudom  10144  ackbij1lem8  10155  isfin4p1  10244  pwdjundom  10596  lgsquadlem1  27267  lgsquadlem2  27268