Theorem xpsnen2g 8996

Description: A set is equinumerous to its Cartesian product with a singleton on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
xpsnen2g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)

Proof of Theorem xpsnen2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5379	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
2		xpcomeng 8995	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
3	1, 2	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}))
4		xpsneng 8988	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
5	4	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵)
6		entr 8941	. 2 ⊢ ((({𝐴} × 𝐵) ≈ (𝐵 × {𝐴}) ∧ (𝐵 × {𝐴}) ≈ 𝐵) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)
7	3, 5, 6	syl2an2 686	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × 𝐵) ≈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  {csn 4578   class class class wbr 5096   × cxp 5620   ≈ cen 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8882

This theorem is referenced by:  unxpwdom2  9491  undjudom  10076  endjudisj  10077  djuen  10078  dju1dif  10081  dju1p1e2  10082  djucomen  10086  djuassen  10087  xpdjuen  10088  mapdjuen  10089  djuxpdom  10094  djufi  10095  djuinf  10097  infdju1  10098  pwdjudom  10123  ackbij1lem8  10134  isfin4p1  10223  pwdjundom  10576  lgsquadlem1  27345  lgsquadlem2  27346