MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem8 10171
Description: Lemma for ackbij1 10182. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem8 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝐴}) = (cardβ€˜π’« 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem8
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 4600 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ {π‘Ž} = {𝐴})
21fveq2d 6850 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜{π‘Ž}) = (πΉβ€˜{𝐴}))
3 pweq 4578 . . . 4 (π‘Ž = 𝐴 β†’ 𝒫 π‘Ž = 𝒫 𝐴)
43fveq2d 6850 . . 3 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (cardβ€˜π’« π‘Ž) = (cardβ€˜π’« 𝐴))
52, 4eqeq12d 2749 . 2 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜{π‘Ž}) = (cardβ€˜π’« π‘Ž) ↔ (πΉβ€˜{𝐴}) = (cardβ€˜π’« 𝐴)))
6 ackbij1lem4 10167 . . . 4 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ {π‘Ž} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
7 ackbij.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
87ackbij1lem7 10170 . . . 4 ({π‘Ž} ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜{π‘Ž}) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘Ž} ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
96, 8syl 17 . . 3 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{π‘Ž}) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘Ž} ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
10 vex 3451 . . . . . 6 π‘Ž ∈ V
11 sneq 4600 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Ž β†’ {𝑦} = {π‘Ž})
12 pweq 4578 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Ž β†’ 𝒫 𝑦 = 𝒫 π‘Ž)
1311, 12xpeq12d 5668 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Ž β†’ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) = ({π‘Ž} Γ— 𝒫 π‘Ž))
1410, 13iunxsn 5055 . . . . 5 βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘Ž} ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) = ({π‘Ž} Γ— 𝒫 π‘Ž)
1514fveq2i 6849 . . . 4 (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘Ž} ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) = (cardβ€˜({π‘Ž} Γ— 𝒫 π‘Ž))
16 vpwex 5336 . . . . . 6 𝒫 π‘Ž ∈ V
17 xpsnen2g 9015 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ V ∧ 𝒫 π‘Ž ∈ V) β†’ ({π‘Ž} Γ— 𝒫 π‘Ž) β‰ˆ 𝒫 π‘Ž)
1810, 16, 17mp2an 691 . . . . 5 ({π‘Ž} Γ— 𝒫 π‘Ž) β‰ˆ 𝒫 π‘Ž
19 carden2b 9911 . . . . 5 (({π‘Ž} Γ— 𝒫 π‘Ž) β‰ˆ 𝒫 π‘Ž β†’ (cardβ€˜({π‘Ž} Γ— 𝒫 π‘Ž)) = (cardβ€˜π’« π‘Ž))
2018, 19ax-mp 5 . . . 4 (cardβ€˜({π‘Ž} Γ— 𝒫 π‘Ž)) = (cardβ€˜π’« π‘Ž)
2115, 20eqtri 2761 . . 3 (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ {π‘Ž} ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)) = (cardβ€˜π’« π‘Ž)
229, 21eqtrdi 2789 . 2 (π‘Ž ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{π‘Ž}) = (cardβ€˜π’« π‘Ž))
235, 22vtoclga 3536 1 (𝐴 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝐴}) = (cardβ€˜π’« 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   ∩ cin 3913  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ ciun 4958   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  Ο‰com 7806   β‰ˆ cen 8886  Fincfn 8889  cardccrd 9879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-fin 8893  df-card 9883
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  10177  ackbij1b  10183
  Copyright terms: Public domain W3C validator