MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsquadlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsquadlem1 27438
Description: Lemma for lgsquad 27441. Count the members of 𝑆 with odd coordinates. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
lgsquad.4 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2)
lgsquad.5 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2)
lgsquad.6 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}
Assertion
Ref Expression
lgsquadlem1 (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,𝑃   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑀,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑄,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑆,𝑥,𝑧   𝑥,𝑀   𝑦,𝑆

Proof of Theorem lgsquadlem1
Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12377 . . . 4 -1 ∈ ℂ
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
3 neg1ne0 12379 . . . 4 -1 ≠ 0
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → -1 ≠ 0)
5 fzfid 14010 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin)
6 lgseisen.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
76gausslemma2dlem0a 27414 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
87nnred 12278 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
9 lgseisen.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
109gausslemma2dlem0a 27414 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
118, 10nndivred 12317 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
13 2z 12646 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
14 elfzelz 13560 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → 𝑢 ∈ ℤ)
1514adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℤ)
16 zmulcl 12663 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
1713, 15, 16sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
1817zred 12719 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℝ)
1912, 18remulcld 11288 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
2019flcld 13834 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
215, 20fsumzcl 15767 . . 3 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
222, 4, 21expclzd 14187 . 2 (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℂ)
23 fzfid 14010 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
24 fzfid 14010 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
25 xpfi 9355 . . . . . . 7 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
2623, 24, 25syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
27 lgsquad.6 . . . . . . 7 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}
28 opabssxp 5780 . . . . . . 7 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))
2927, 28eqsstri 4029 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))
30 ssfi 9211 . . . . . 6 ((((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))) → 𝑆 ∈ Fin)
3126, 29, 30sylancl 586 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
32 ssrab2 4089 . . . . 5 {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ⊆ 𝑆
33 ssfi 9211 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ⊆ 𝑆) → {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ∈ Fin)
3431, 32, 33sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ∈ Fin)
35 hashcl 14391 . . . 4 ({𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ∈ Fin → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) ∈ ℕ0)
3634, 35syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) ∈ ℕ0)
37 expcl 14116 . . 3 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) ∈ ℕ0) → (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) ∈ ℂ)
381, 36, 37sylancr 587 . 2 (𝜑 → (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) ∈ ℂ)
3936nn0zd 12636 . . 3 (𝜑 → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) ∈ ℤ)
402, 4, 39expne0d 14188 . 2 (𝜑 → (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) ≠ 0)
4138, 40recidd 12035 . . . 4 (𝜑 → ((-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) · (1 / (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})))) = 1)
42 1div1e1 11955 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
4342negeqi 11498 . . . . . . . 8 -(1 / 1) = -1
44 ax-1cn 11210 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
45 ax-1ne0 11221 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
46 divneg2 11988 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
4744, 44, 45, 46mp3an 1460 . . . . . . . 8 -(1 / 1) = (1 / -1)
4843, 47eqtr3i 2764 . . . . . . 7 -1 = (1 / -1)
4948oveq1i 7440 . . . . . 6 (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) = ((1 / -1)↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))
502, 4, 39exprecd 14190 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / -1)↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) = (1 / (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))))
5149, 50eqtrid 2786 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) = (1 / (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))))
5251oveq2d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = ((-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) · (1 / (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})))))
5331adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑆 ∈ Fin)
54 ssrab2 4089 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆
55 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆) → {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ∈ Fin)
5653, 54, 55sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ∈ Fin)
57 fveqeq2 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑣 → ((1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ (1st𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
5857elrab 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (𝑣𝑆 ∧ (1st𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
5958simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} → (1st𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
6059ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (1st𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
6160oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (1st𝑣)) = (𝑃 − (𝑃 − (2 · 𝑢))))
6210adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
6362nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
6463adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 𝑃 ∈ ℂ)
6517zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
6665adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
6764, 66nncand 11622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (𝑃 − (2 · 𝑢))) = (2 · 𝑢))
6861, 67eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (1st𝑣)) = (2 · 𝑢))
6968oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((𝑃 − (1st𝑣)) / 2) = ((2 · 𝑢) / 2))
7015zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℂ)
7170adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 𝑢 ∈ ℂ)
72 2cnd 12341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 2 ∈ ℂ)
73 2ne0 12367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ≠ 0
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 2 ≠ 0)
7571, 72, 74divcan3d 12045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((2 · 𝑢) / 2) = 𝑢)
7669, 75eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((𝑃 − (1st𝑣)) / 2) = 𝑢)
7776ralrimivva 3199 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)∀𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ((𝑃 − (1st𝑣)) / 2) = 𝑢)
78 invdisj 5133 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)∀𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ((𝑃 − (1st𝑣)) / 2) = 𝑢Disj 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑Disj 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})
805, 56, 79hashiun 15854 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(♯‘{𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}))
81 iunrab 5056 . . . . . . . . . . . 12 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}
82 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
839, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ≠ 2)
8483necomd 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ≠ 𝑃)
8584neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ 2 = 𝑃)
8685ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 = 𝑃)
87 uzid 12890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
8813, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ (ℤ‘2)
899eldifad 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9089ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℙ)
91 dvdsprm 16736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
9288, 90, 91sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
9386, 92mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
9410ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
9594nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
9617adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
9796zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
9895, 97npcand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)) = 𝑃)
9998breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)) ↔ 2 ∥ 𝑃))
10093, 99mtbird 325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)))
10114adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℤ)
102 dvdsmul1 16311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑢))
10313, 101, 102sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∥ (2 · 𝑢))
10413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℤ)
10594nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
106105, 96zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
107 dvds2add 16323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℤ) → ((2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑢)) → 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢))))
108104, 106, 96, 107syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑢)) → 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢))))
109103, 108mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) → 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢))))
110100, 109mtod 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)))
111 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → (2 ∥ (1st𝑧) ↔ 2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢))))
112111notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → (¬ 2 ∥ (1st𝑧) ↔ ¬ 2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢))))
113110, 112syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → ¬ 2 ∥ (1st𝑧)))
114113rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝑆) → (∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → ¬ 2 ∥ (1st𝑧)))
115 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
11629, 115sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)))
117 xp1st 8044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)) → (1st𝑧) ∈ (1...𝑀))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝑆) → (1st𝑧) ∈ (1...𝑀))
119 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1st𝑧) ∈ (1...𝑀) → (1st𝑧) ∈ ℤ)
120 odd2np1 16374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1st𝑧) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (1st𝑧) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧)))
121118, 119, 1203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑆) → (¬ 2 ∥ (1st𝑧) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧)))
122 lgsquad.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2)
1239, 122gausslemma2dlem0b 27415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
124123nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
125124ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑀 ∈ ℝ)
126125rehalfcld 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
127126flcld 13834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
128127peano2zd 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℤ)
129123ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑀 ∈ ℕ)
130129nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑀 ∈ ℤ)
131 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑛 ∈ ℤ)
132130, 131zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀𝑛) ∈ ℤ)
133 reflcl 13832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
134126, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
135132zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀𝑛) ∈ ℝ)
136 flle 13835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑀 / 2)) ≤ (𝑀 / 2))
137126, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ≤ (𝑀 / 2))
138 zre 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
139138ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑛 ∈ ℝ)
140 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))
141118adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (1st𝑧) ∈ (1...𝑀))
142140, 141eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ (1...𝑀))
143 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (1...𝑀) → ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀)
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀)
145 zmulcl 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
14613, 131, 145sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
147 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 · 𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) < 𝑀 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀))
148146, 130, 147syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑛) < 𝑀 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀))
149144, 148mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · 𝑛) < 𝑀)
150 2re 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℝ
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 2 ∈ ℝ)
152 2pos 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 < 2
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 0 < 2)
154 ltmuldiv2 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑛) < 𝑀𝑛 < (𝑀 / 2)))
155139, 125, 151, 153, 154syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑛) < 𝑀𝑛 < (𝑀 / 2)))
156149, 155mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑛 < (𝑀 / 2))
157126recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
158123nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
159158ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑀 ∈ ℂ)
1601592halvesd 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
161157, 157, 160mvlraddd 11670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀 / 2) = (𝑀 − (𝑀 / 2)))
162156, 161breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑛 < (𝑀 − (𝑀 / 2)))
163139, 125, 126, 162ltsub13d 11866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀 / 2) < (𝑀𝑛))
164134, 126, 135, 137, 163lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) < (𝑀𝑛))
165 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) < (𝑀𝑛) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀𝑛)))
166127, 132, 165syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) < (𝑀𝑛) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀𝑛)))
167164, 166mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀𝑛))
168 2t0e0 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 0) = 0
169 2cn 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℂ
170 zcn 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
171170ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑛 ∈ ℂ)
172 mulcl 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
173169, 171, 172sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
174 pncan 11511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
175173, 44, 174sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
176 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (1...𝑀) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
177 nnm1nn0 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) ∈ ℕ0)
178142, 176, 1773syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) ∈ ℕ0)
179175, 178eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
180179nn0ge0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
181168, 180eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · 0) ≤ (2 · 𝑛))
182 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 0 ∈ ℝ)
183 lemul2 12117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (0 ≤ 𝑛 ↔ (2 · 0) ≤ (2 · 𝑛)))
184182, 139, 151, 153, 183syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (0 ≤ 𝑛 ↔ (2 · 0) ≤ (2 · 𝑛)))
185181, 184mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 0 ≤ 𝑛)
186125, 139subge02d 11852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (0 ≤ 𝑛 ↔ (𝑀𝑛) ≤ 𝑀))
187185, 186mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀𝑛) ≤ 𝑀)
188128, 130, 132, 167, 187elfzd 13551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀𝑛) ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀))
18989ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑃 ∈ ℙ)
190 prmnn 16707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑃 ∈ ℕ)
192191nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑃 ∈ ℂ)
193 peano2cn 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
194173, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
195192, 194nncand 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑃 − (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1))) = ((2 · 𝑛) + 1))
196 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 1 ∈ ℂ)
197192, 173, 196sub32d 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((𝑃 − (2 · 𝑛)) − 1) = ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑛)))
198192, 173, 196subsub4d 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((𝑃 − (2 · 𝑛)) − 1) = (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1)))
199 2cnd 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 2 ∈ ℂ)
200199, 159, 171subdid 11716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · (𝑀𝑛)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 𝑛)))
201122oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 𝑀) = (2 · ((𝑃 − 1) / 2))
20210nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
203202ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑃 ∈ ℤ)
204 peano2zm 12657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
205203, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
206205zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
20773a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 2 ≠ 0)
208206, 199, 207divcan2d 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
209201, 208eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · 𝑀) = (𝑃 − 1))
210209oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑀) − (2 · 𝑛)) = ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑛)))
211200, 210eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑛)) = (2 · (𝑀𝑛)))
212197, 198, 2113eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1)) = (2 · (𝑀𝑛)))
213212oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑃 − (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑃 − (2 · (𝑀𝑛))))
214195, 213, 1403eqtr3rd 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · (𝑀𝑛))))
215 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝑀𝑛) → (2 · 𝑢) = (2 · (𝑀𝑛)))
216215oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑀𝑛) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) = (𝑃 − (2 · (𝑀𝑛))))
217216rspceeqv 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝑛) ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · (𝑀𝑛)))) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
218188, 214, 217syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
219218rexlimdvaa 3153 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
220121, 219sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝑆) → (¬ 2 ∥ (1st𝑧) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
221114, 220impbid 212 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝑆) → (∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)))
222221rabbidva 3439 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑧𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})
22381, 222eqtrid 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})
224223fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))
22527relopabiv 5832 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel 𝑆
226 relss 5793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆 → (Rel 𝑆 → Rel {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}))
22754, 225, 226mp2 9 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}
228 relxp 5706 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
22927eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))})
230 opabidw 5533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)))
231229, 230bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)))
232 anass 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))))
23320peano2zd 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℤ)
234233zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℝ)
235234adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℝ)
2368ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℝ)
237 nnre 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
238237adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
239 lesub 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))))
240235, 236, 238, 239syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))))
2418adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℝ)
242241recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℂ)
24363, 242mulcomd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 · 𝑄) = (𝑄 · 𝑃))
24465, 242mulcomd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) · 𝑄) = (𝑄 · (2 · 𝑢)))
24562nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ≠ 0)
246242, 63, 245divcan1d 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) = 𝑄)
247246oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) · (2 · 𝑢)) = (𝑄 · (2 · 𝑢)))
24812recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℂ)
249248, 63, 65mul32d 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) · (2 · 𝑢)) = (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃))
250244, 247, 2493eqtr2d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) · 𝑄) = (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃))
251243, 250oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 · 𝑄) − ((2 · 𝑢) · 𝑄)) = ((𝑄 · 𝑃) − (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃)))
25263, 65, 242subdird 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑃 · 𝑄) − ((2 · 𝑢) · 𝑄)))
25319recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℂ)
254242, 253, 63subdird 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃) = ((𝑄 · 𝑃) − (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃)))
255251, 252, 2543eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃))
256255adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃))
257256breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃)))
25819adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
259236, 258resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ)
26062adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
261260nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
262260nngt0d 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < 𝑃)
263 ltmul1 12114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃)))
264238, 259, 261, 262, 263syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃)))
265 ltsub13 11741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄𝑦)))
266238, 236, 258, 265syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄𝑦)))
267257, 264, 2663bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄𝑦)))
2687adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℕ)
269268nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℤ)
270 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
271 zsubcl 12656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑄𝑦) ∈ ℤ)
272269, 270, 271syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄𝑦) ∈ ℤ)
273 fllt 13842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ (𝑄𝑦) ∈ ℤ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄𝑦) ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄𝑦)))
274258, 272, 273syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄𝑦) ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄𝑦)))
27520adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
276 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ (𝑄𝑦) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄𝑦) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄𝑦)))
277275, 272, 276syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄𝑦) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄𝑦)))
278267, 274, 2773bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄𝑦)))
279 lgsquad.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2)
280279oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (2 · 𝑁) = (2 · ((𝑄 − 1) / 2))
281 peano2rem 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 − 1) ∈ ℝ)
282241, 281syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) ∈ ℝ)
283282recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
284 2cnd 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℂ)
28573a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ≠ 0)
286283, 284, 285divcan2d 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · ((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑄 − 1))
287280, 286eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) = (𝑄 − 1))
288287oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = ((𝑄 − 1) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
289 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
29020zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℂ)
291242, 289, 290sub32d 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = ((𝑄 − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) − 1))
292242, 290, 289subsub4d 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) − 1) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))
293288, 291, 2923eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))
294293adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))
295294breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))))
296240, 278, 2953bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
297296anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦𝑁𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
298 2nn 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℕ
2996, 279gausslemma2dlem0b 27415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
300 nnmulcl 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
301298, 299, 300sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
302301adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
303302nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
304299adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
305304nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
30620zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ)
307299nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
308307adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3093082timesd 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
310308, 308, 309mvrladdd 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
311241rehalfcld 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ∈ ℝ)
312241ltm1d 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) < 𝑄)
313150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℝ)
314152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 2)
315 ltdiv1 12129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑄 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑄 − 1) < 𝑄 ↔ ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2)))
316282, 241, 313, 314, 315syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) < 𝑄 ↔ ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2)))
317312, 316mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2))
318279, 317eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 < (𝑄 / 2))
319305, 311, 318ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ (𝑄 / 2))
320242, 284, 63, 285div32d 12063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 2) · 𝑃) = (𝑄 · (𝑃 / 2)))
321124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
322321rehalfcld 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
323 peano2re 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℝ)
324322, 133, 3233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℝ)
32515zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℝ)
326 flltp1 13836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑀 / 2) ∈ ℝ → (𝑀 / 2) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1))
327322, 326syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1))
328 elfzle1 13563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ 𝑢)
329328adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ 𝑢)
330322, 324, 325, 327, 329ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) < 𝑢)
331 ltdivmul 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑀 / 2) < 𝑢𝑀 < (2 · 𝑢)))
332321, 325, 313, 314, 331syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 / 2) < 𝑢𝑀 < (2 · 𝑢)))
333330, 332mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 < (2 · 𝑢))
334122, 333eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢))
33562nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℝ)
336 peano2rem 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
337335, 336syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
338 ltdivmul 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
339337, 18, 313, 314, 338syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
340334, 339mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢)))
341202adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
342 zmulcl 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℤ) → (2 · (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
34313, 17, 342sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
344 zlem1lt 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · (2 · 𝑢)) ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
345341, 343, 344syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
346340, 345mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)))
347 ledivmul 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢))))
348335, 18, 313, 314, 347syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢))))
349346, 348mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢))
350335rehalfcld 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
351268nngt0d 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 𝑄)
352 lemul2 12117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢))))
353350, 18, 241, 351, 352syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢))))
354349, 353mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)))
355320, 354eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)))
356241, 18remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
35762nngt0d 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 𝑃)
358 lemuldiv 12145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑄 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)))
359311, 356, 335, 357, 358syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)))
360355, 359mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃))
361242, 65, 63, 245div23d 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) = ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
362360, 361breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
363305, 311, 19, 319, 362letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
364299nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
365364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
366 flge 13841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
36719, 365, 366syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
368363, 367mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
369310, 368eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
370303, 305, 306, 369subled 11863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁)
371370adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁)
372302nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
373372, 20zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ)
374373adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ)
375374zred 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℝ)
376299ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
377376nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
378 letr 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∧ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁) → 𝑦𝑁))
379238, 375, 377, 378syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∧ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁) → 𝑦𝑁))
380371, 379mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) → 𝑦𝑁))
381380pm4.71rd 562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦𝑁𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
382297, 381bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
383382pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
384383adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
385232, 384bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
386 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
387341, 17zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
388 elfzle2 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → 𝑢𝑀)
389388adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢𝑀)
390389, 122breqtrdi 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
391 lemuldiv2 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
392325, 337, 313, 314, 391syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
393390, 392mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1))
394335ltm1d 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) < 𝑃)
39518, 337, 335, 393, 394lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) < 𝑃)
39618, 335posdifd 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ 0 < (𝑃 − (2 · 𝑢))))
397395, 396mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < (𝑃 − (2 · 𝑢)))
398 elnnz 12620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃 − (2 · 𝑢))))
399387, 397, 398sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ)
40063, 65, 289sub32d 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) = ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑢)))
401122, 122oveq12i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 + 𝑀) = (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2))
40262nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
403402, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
404403zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
4054042halvesd 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
406401, 405eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 + 𝑀) = (𝑃 − 1))
407406oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑀) − 𝑀) = ((𝑃 − 1) − 𝑀))
408158adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
409408, 408pncan2d 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑀) − 𝑀) = 𝑀)
410407, 409eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − 𝑀) = 𝑀)
411410, 333eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − 𝑀) < (2 · 𝑢))
412337, 321, 18, 411ltsub23d 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑢)) < 𝑀)
413400, 412eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀)
414123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
415414nnzd 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
416 zlem1lt 12666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀 ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀))
417387, 415, 416syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀 ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀))
418413, 417mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀)
419 fznn 13628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀) ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀)))
420415, 419syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀) ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀)))
421399, 418, 420mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀))
422421adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀))
423386, 422eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
424423biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁))))
425364ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑁 ∈ ℤ)
426 fznn 13628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)))
427425, 426syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)))
428424, 427bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)))
429386oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑥 · 𝑄) = ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))
430429breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)))
431428, 430anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))))
432373adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ)
433 fznn 13628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
434432, 433syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
435385, 431, 4343bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
436231, 435bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
437436pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))))
438 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ∈ V
439 vex 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 ∈ V
440438, 439op1std 8022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st𝑧) = 𝑥)
441440eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
442441elrab 3694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
443442biancomi 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆))
444 opelxp 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
445 velsn 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
446445anbi1i 624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
447444, 446bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
448437, 443, 4473bitr4g 314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))))
449227, 228, 448eqrelrdv 5804 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
450449fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = (♯‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))))
451 fzfid 14010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ∈ Fin)
452 xpsnen2g 9103 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ∈ Fin) → ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
453387, 451, 452syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
454 hasheni 14383 . . . . . . . . . . . . 13 (({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) → (♯‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) = (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
455453, 454syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) = (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
456 ltmul2 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄)) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
45718, 335, 241, 351, 456syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
458395, 457mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃))
459 ltdivmul2 12142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
460356, 241, 335, 357, 459syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
461458, 460mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄)
462361, 461eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄)
463 fllt 13842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄))
46419, 269, 463syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄))
465462, 464mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄)
466 zltlem1 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1)))
46720, 269, 466syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1)))
468465, 467mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1))
469468, 287breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (2 · 𝑁))
470 eluz2 12881 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (2 · 𝑁)))
47120, 372, 469, 470syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
472 uznn0sub 12914 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℕ0)
473 hashfz1 14381 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
474471, 472, 4733syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
475450, 455, 4743eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
476475sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(♯‘{𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
47780, 224, 4763eqtr3rd 2783 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))
478301nncnd 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
479478adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
4805, 479, 290fsumsub 15820 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
481477, 480eqtr3d 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) = (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
482481oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) = (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
48321zcnd 12720 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℂ)
4845, 372fsumzcl 15767 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) ∈ ℤ)
485484zcnd 12720 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) ∈ ℂ)
486483, 485pncan3d 11620 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁))
487 fsumconst 15822 . . . . . . . . 9 (((((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) = ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁)))
4885, 478, 487syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) = ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁)))
489 hashcl 14391 . . . . . . . . . . 11 ((((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℕ0)
4905, 489syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℕ0)
491490nn0cnd 12586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℂ)
492 2cnd 12341 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
493491, 492, 307mul12d 11467 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁)) = (2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
494488, 493eqtrd 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) = (2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
495482, 486, 4943eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) = (2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
496495oveq2d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = (-1↑(2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))))
49713a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
498490nn0zd 12636 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℤ)
499498, 364zmulcld 12725 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ)
500 expmulz 14145 . . . . . 6 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) = ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
5012, 4, 497, 499, 500syl22anc 839 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑(2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) = ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
502 neg1sqe1 14231 . . . . . . 7 (-1↑2) = 1
503502oveq1i 7440 . . . . . 6 ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = (1↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))
504 1exp 14128 . . . . . . 7 (((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ → (1↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1)
505499, 504syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1)
506503, 505eqtrid 2786 . . . . 5 (𝜑 → ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1)
507496, 501, 5063eqtrd 2778 . . . 4 (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = 1)
50841, 52, 5073eqtr4d 2784 . . 3 (𝜑 → ((-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))))
509 expaddz 14143 . . . 4 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) ∈ ℤ)) → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = ((-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))))
5102, 4, 21, 39, 509syl22anc 839 . . 3 (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = ((-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))))
511508, 510eqtr2d 2775 . 2 (𝜑 → ((-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = ((-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))))
51222, 38, 38, 40, 511mulcan2ad 11896 1 (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  cdif 3959  wss 3962  {csn 4630  cop 4636   ciun 4995  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5147  {copab 5209   × cxp 5686  Rel wrel 5693  cfv 6562  (class class class)co 7430  1st c1st 8010  cen 8980  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  ...cfz 13543  cfl 13826  cexp 14098  chash 14365  Σcsu 15718  cdvds 16286  cprime 16704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-dvds 16287  df-prm 16705
This theorem is referenced by:  lgsquadlem2  27439
  Copyright terms: Public domain W3C validator