lgsquadlem1 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lgsquadlem1		Structured version Visualization version GIF version

Theorem lgsquadlem1 25958

Description: Lemma for lgsquad 25961. Count the members of 𝑆 with odd coordinates. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgseisen.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
lgsquad.4	⊢ 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2)
lgsquad.5	⊢ 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2)
lgsquad.6	⊢ 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquadlem1	⊢ (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,𝑃 𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧 𝑢,𝑀,𝑦,𝑧 𝑢,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧 𝑢,𝑄,𝑥,𝑦,𝑧 𝑢,𝑆,𝑥,𝑧 𝑥,𝑀 𝑦,𝑆

Proof of Theorem lgsquadlem1 Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 11754	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
3		neg1ne0 11756	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ≠ 0)
5		fzfid 13344	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin)
6		lgseisen.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
7	6	gausslemma2dlem0a 25934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
8	7	nnred 11655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
9		lgseisen.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
10	9	gausslemma2dlem0a 25934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
11	8, 10	nndivred 11694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
12	11	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
13		2z 12017	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
14		elfzelz 12911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → 𝑢 ∈ ℤ)
15	14	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℤ)
16		zmulcl 12034	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
17	13, 15, 16	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
18	17	zred 12090	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 10673	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
20	19	flcld 13171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
21	5, 20	fsumzcl 15094	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
22	2, 4, 21	expclzd 13518	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℂ)
23		fzfid 13344	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
24		fzfid 13344	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
25		xpfi 8791	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
26	23, 24, 25	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
27		lgsquad.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}
28		opabssxp 5645	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))
29	27, 28	eqsstri 4003	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))
30		ssfi 8740	. . . . . 6 ⊢ ((((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))) → 𝑆 ∈ Fin)
31	26, 29, 30	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
32		ssrab2 4058	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆
33		ssfi 8740	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin)
34	31, 32, 33	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin)
35		hashcl 13720	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) ∈ ℕ₀)
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) ∈ ℕ₀)
37		expcl 13450	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) ∈ ℕ₀) → (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) ∈ ℂ)
38	1, 36, 37	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) ∈ ℂ)
39	36	nn0zd 12088	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) ∈ ℤ)
40	2, 4, 39	expne0d 13519	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) ≠ 0)
41	38, 40	recidd 11413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) · (1 / (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})))) = 1)
42		1div1e1 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 1) = 1
43	42	negeqi 10881	. . . . . . . 8 ⊢ -(1 / 1) = -1
44		ax-1cn 10597	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
45		ax-1ne0 10608	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
46		divneg2 11366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
47	44, 44, 45, 46	mp3an 1457	. . . . . . . 8 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
48	43, 47	eqtr3i 2848	. . . . . . 7 ⊢ -1 = (1 / -1)
49	48	oveq1i 7168	. . . . . 6 ⊢ (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) = ((1 / -1)↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))
50	2, 4, 39	exprecd 13521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / -1)↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) = (1 / (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))))
51	49, 50	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) = (1 / (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))))
52	51	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = ((-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) · (1 / (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})))))
53	31	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑆 ∈ Fin)
54		ssrab2 4058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆
55		ssfi 8740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ∈ Fin)
56	53, 54, 55	sylancl 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ∈ Fin)
57		fveqeq2 6681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ((1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ (1^st ‘𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
58	57	elrab 3682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ (1^st ‘𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
59	58	simprbi 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} → (1^st ‘𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
60	59	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (1^st ‘𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
61	60	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (1^st ‘𝑣)) = (𝑃 − (𝑃 − (2 · 𝑢))))
62	10	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
63	62	nncnd 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
64	63	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 𝑃 ∈ ℂ)
65	17	zcnd 12091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
66	65	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
67	64, 66	nncand 11004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (𝑃 − (2 · 𝑢))) = (2 · 𝑢))
68	61, 67	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (1^st ‘𝑣)) = (2 · 𝑢))
69	68	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((𝑃 − (1^st ‘𝑣)) / 2) = ((2 · 𝑢) / 2))
70	15	zcnd 12091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℂ)
71	70	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 𝑢 ∈ ℂ)
72		2cnd 11718	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 2 ∈ ℂ)
73		2ne0 11744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ≠ 0
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 2 ≠ 0)
75	71, 72, 74	divcan3d 11423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((2 · 𝑢) / 2) = 𝑢)
76	69, 75	eqtrd 2858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((𝑃 − (1^st ‘𝑣)) / 2) = 𝑢)
77	76	ralrimivva 3193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)∀𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ((𝑃 − (1^st ‘𝑣)) / 2) = 𝑢)
78		invdisj 5052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)∀𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ((𝑃 − (1^st ‘𝑣)) / 2) = 𝑢 → Disj 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})
80	5, 56, 79	hashiun 15179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}))
81		iunrab 4978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}
82		eldifsni 4724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
83	9, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 2)
84	83	necomd 3073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 𝑃)
85	84	neneqd 3023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 = 𝑃)
86	85	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 = 𝑃)
87		uzid 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ_≥‘2))
88	13, 87	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)
89	9	eldifad 3950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
90	89	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℙ)
91		dvdsprm 16049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
92	88, 90, 91	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
93	86, 92	mtbird 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
94	10	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
95	94	nncnd 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
96	17	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
97	96	zcnd 12091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
98	95, 97	npcand 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)) = 𝑃)
99	98	breq2d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)) ↔ 2 ∥ 𝑃))
100	93, 99	mtbird 327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)))
101	14	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℤ)
102		dvdsmul1 15633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑢))
103	13, 101, 102	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∥ (2 · 𝑢))
104	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℤ)
105	94	nnzd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
106	105, 96	zsubcld 12095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
107		dvds2add 15645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℤ) → ((2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑢)) → 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢))))
108	104, 106, 96, 107	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑢)) → 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢))))
109	103, 108	mpan2d 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) → 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢))))
110	100, 109	mtod 200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)))
111		breq2 5072	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ↔ 2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢))))
112	111	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → (¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧) ↔ ¬ 2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢))))
113	110, 112	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)))
114	113	rexlimdva 3286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)))
115		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
116	29, 115	sseldi 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)))
117		xp1st 7723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)) → (1^st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀))
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (1^st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀))
119		elfzelz 12911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1^st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀) → (1^st ‘𝑧) ∈ ℤ)
120		odd2np1 15692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1^st ‘𝑧) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧)))
121	118, 119, 120	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧)))
122		lgsquad.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2)
123	9, 122	gausslemma2dlem0b 25935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
124	123	nnred 11655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
125	124	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑀 ∈ ℝ)
126	125	rehalfcld 11887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
127		reflcl 13169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
129	123	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑀 ∈ ℕ)
130	129	nnzd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑀 ∈ ℤ)
131		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑛 ∈ ℤ)
132	130, 131	zsubcld 12095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ)
133	132	zred 12090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℝ)
134		flle 13172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑀 / 2)) ≤ (𝑀 / 2))
135	126, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ≤ (𝑀 / 2))
136		zre 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
137	136	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑛 ∈ ℝ)
138		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))
139	118	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (1^st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀))
140	138, 139	eqeltrd 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ (1...𝑀))
141		elfzle2 12914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (1...𝑀) → ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀)
142	140, 141	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀)
143		zmulcl 12034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
144	13, 131, 143	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
145		zltp1le 12035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) < 𝑀 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀))
146	144, 130, 145	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑛) < 𝑀 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀))
147	142, 146	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 𝑛) < 𝑀)
148		2re 11714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℝ
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 2 ∈ ℝ)
150		2pos 11743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 < 2
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 0 < 2)
152		ltmuldiv2 11516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑛) < 𝑀 ↔ 𝑛 < (𝑀 / 2)))
153	137, 125, 149, 151, 152	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑛) < 𝑀 ↔ 𝑛 < (𝑀 / 2)))
154	147, 153	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑛 < (𝑀 / 2))
155	126	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
156	123	nncnd 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
157	156	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑀 ∈ ℂ)
158	157	2halvesd 11886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
159	155, 155, 158	mvlraddd 11052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 / 2) = (𝑀 − (𝑀 / 2)))
160	154, 159	breqtrd 5094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑛 < (𝑀 − (𝑀 / 2)))
161	137, 125, 126, 160	ltsub13d 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 / 2) < (𝑀 − 𝑛))
162	128, 126, 133, 135, 161	lelttrd 10800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) < (𝑀 − 𝑛))
163	126	flcld 13171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
164		zltp1le 12035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) < (𝑀 − 𝑛) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀 − 𝑛)))
165	163, 132, 164	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) < (𝑀 − 𝑛) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀 − 𝑛)))
166	162, 165	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀 − 𝑛))
167		2t0e0 11809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 0) = 0
168		2cn 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℂ
169		zcn 11989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
170	169	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑛 ∈ ℂ)
171		mulcl 10623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
172	168, 170, 171	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
173		pncan 10894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
174	172, 44, 173	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
175		elfznn 12939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (1...𝑀) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
176		nnm1nn0 11941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) ∈ ℕ₀)
177	140, 175, 176	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) ∈ ℕ₀)
178	174, 177	eqeltrrd 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
179	178	nn0ge0d 11961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
180	167, 179	eqbrtrid 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 0) ≤ (2 · 𝑛))
181		0red 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 0 ∈ ℝ)
182		lemul2 11495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (0 ≤ 𝑛 ↔ (2 · 0) ≤ (2 · 𝑛)))
183	181, 137, 149, 151, 182	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (0 ≤ 𝑛 ↔ (2 · 0) ≤ (2 · 𝑛)))
184	180, 183	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 0 ≤ 𝑛)
185	125, 137	subge02d 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (0 ≤ 𝑛 ↔ (𝑀 − 𝑛) ≤ 𝑀))
186	184, 185	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 − 𝑛) ≤ 𝑀)
187	163	peano2zd 12093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℤ)
188		elfz 12901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 𝑛) ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ↔ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀 − 𝑛) ∧ (𝑀 − 𝑛) ≤ 𝑀)))
189	132, 187, 130, 188	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((𝑀 − 𝑛) ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ↔ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀 − 𝑛) ∧ (𝑀 − 𝑛) ≤ 𝑀)))
190	166, 186, 189	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 − 𝑛) ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀))
191	89	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑃 ∈ ℙ)
192		prmnn 16020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
193	191, 192	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑃 ∈ ℕ)
194	193	nncnd 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑃 ∈ ℂ)
195		peano2cn 10814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
196	172, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
197	194, 196	nncand 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑃 − (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1))) = ((2 · 𝑛) + 1))
198		1cnd 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 1 ∈ ℂ)
199	194, 172, 198	sub32d 11031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((𝑃 − (2 · 𝑛)) − 1) = ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑛)))
200	194, 172, 198	subsub4d 11030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((𝑃 − (2 · 𝑛)) − 1) = (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1)))
201		2cnd 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 2 ∈ ℂ)
202	201, 157, 170	subdid 11098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · (𝑀 − 𝑛)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 𝑛)))
203	122	oveq2i 7169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 𝑀) = (2 · ((𝑃 − 1) / 2))
204	10	nnzd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
205	204	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑃 ∈ ℤ)
206		peano2zm 12028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
207	205, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
208	207	zcnd 12091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
209	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 2 ≠ 0)
210	208, 201, 209	divcan2d 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
211	203, 210	syl5eq 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 𝑀) = (𝑃 − 1))
212	211	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑀) − (2 · 𝑛)) = ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑛)))
213	202, 212	eqtr2d 2859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑛)) = (2 · (𝑀 − 𝑛)))
214	199, 200, 213	3eqtr3d 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1)) = (2 · (𝑀 − 𝑛)))
215	214	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑃 − (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑃 − (2 · (𝑀 − 𝑛))))
216	197, 215, 138	3eqtr3rd 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · (𝑀 − 𝑛))))
217		oveq2 7166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 = (𝑀 − 𝑛) → (2 · 𝑢) = (2 · (𝑀 − 𝑛)))
218	217	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (𝑀 − 𝑛) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) = (𝑃 − (2 · (𝑀 − 𝑛))))
219	218	rspceeqv 3640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 − 𝑛) ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · (𝑀 − 𝑛)))) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
220	190, 216, 219	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
221	220	rexlimdvaa 3287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
222	121, 221	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
223	114, 222	impbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)))
224	223	rabbidva 3480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})
225	81, 224	syl5eq 2870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})
226	225	fveq2d 6676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))
227	27	relopabi 5696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Rel 𝑆
228		relss 5658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆 → (Rel 𝑆 → Rel {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}))
229	54, 227, 228	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Rel {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}
230		relxp 5575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Rel ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
231	27	eleq2i 2906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))})
232		opabidw 5414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)))
233	231, 232	bitri 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)))
234		anass 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))))
235	20	peano2zd 12093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℤ)
236	235	zred 12090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℝ)
237	236	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℝ)
238	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℝ)
239		nnre 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
240	239	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
241		lesub 11121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))))
242	237, 238, 240, 241	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))))
243	8	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℝ)
244	243	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℂ)
245	63, 244	mulcomd 10664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 · 𝑄) = (𝑄 · 𝑃))
246	65, 244	mulcomd 10664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) · 𝑄) = (𝑄 · (2 · 𝑢)))
247	62	nnne0d 11690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ≠ 0)
248	244, 63, 247	divcan1d 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) = 𝑄)
249	248	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) · (2 · 𝑢)) = (𝑄 · (2 · 𝑢)))
250	12	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℂ)
251	250, 63, 65	mul32d 10852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) · (2 · 𝑢)) = (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃))
252	246, 249, 251	3eqtr2d 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) · 𝑄) = (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃))
253	245, 252	oveq12d 7176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 · 𝑄) − ((2 · 𝑢) · 𝑄)) = ((𝑄 · 𝑃) − (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃)))
254	63, 65, 244	subdird 11099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑃 · 𝑄) − ((2 · 𝑢) · 𝑄)))
255	19	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℂ)
256	244, 255, 63	subdird 11099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃) = ((𝑄 · 𝑃) − (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃)))
257	253, 254, 256	3eqtr4d 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃))
258	257	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃))
259	258	breq2d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃)))
260	19	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
261	238, 260	resubcld 11070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ)
262	62	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
263	262	nnred 11655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
264	262	nngt0d 11689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < 𝑃)
265		ltmul1 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃)))
266	240, 261, 263, 264, 265	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃)))
267		ltsub13 11123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦)))
268	240, 238, 260, 267	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦)))
269	259, 266, 268	3bitr2d 309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦)))
270	7	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℕ)
271	270	nnzd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℤ)
272		nnz 12007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
273		zsubcl 12027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑄 − 𝑦) ∈ ℤ)
274	271, 272, 273	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − 𝑦) ∈ ℤ)
275		fllt 13179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ (𝑄 − 𝑦) ∈ ℤ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦) ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄 − 𝑦)))
276	260, 274, 275	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦) ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄 − 𝑦)))
277	20	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
278		zltp1le 12035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ (𝑄 − 𝑦) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄 − 𝑦) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦)))
279	277, 274, 278	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄 − 𝑦) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦)))
280	269, 276, 279	3bitrd 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦)))
281		lgsquad.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2)
282	281	oveq2i 7169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (2 · 𝑁) = (2 · ((𝑄 − 1) / 2))
283		peano2rem 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 − 1) ∈ ℝ)
284	243, 283	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) ∈ ℝ)
285	284	recnd 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
286		2cnd 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℂ)
287	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ≠ 0)
288	285, 286, 287	divcan2d 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · ((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑄 − 1))
289	282, 288	syl5eq 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) = (𝑄 − 1))
290	289	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = ((𝑄 − 1) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
291		1cnd 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
292	20	zcnd 12091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℂ)
293	244, 291, 292	sub32d 11031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = ((𝑄 − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) − 1))
294	244, 292, 291	subsub4d 11030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) − 1) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))
295	290, 293, 294	3eqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))
296	295	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))
297	296	breq2d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))))
298	242, 280, 297	3bitr4d 313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
299	298	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
300		2nn 11713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 2 ∈ ℕ
301	6, 281	gausslemma2dlem0b 25935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
302		nnmulcl 11664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
303	300, 301, 302	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
304	303	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
305	304	nnred 11655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
306	301	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
307	306	nnred 11655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
308	20	zred 12090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ)
309	301	nncnd 11656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
310	309	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
311	310	2timesd 11883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
312	310, 310, 311	mvrladdd 11055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
313	243	rehalfcld 11887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ∈ ℝ)
314	243	ltm1d 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) < 𝑄)
315	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℝ)
316	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 2)
317		ltdiv1 11506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑄 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑄 − 1) < 𝑄 ↔ ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2)))
318	284, 243, 315, 316, 317	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) < 𝑄 ↔ ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2)))
319	314, 318	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2))
320	281, 319	eqbrtrid 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 < (𝑄 / 2))
321	307, 313, 320	ltled 10790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ (𝑄 / 2))
322	244, 286, 63, 287	div32d 11441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 2) · 𝑃) = (𝑄 · (𝑃 / 2)))
323	124	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
324	323	rehalfcld 11887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
325		peano2re 10815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℝ)
326	324, 127, 325	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℝ)
327	15	zred 12090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℝ)
328		flltp1 13173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑀 / 2) ∈ ℝ → (𝑀 / 2) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1))
329	324, 328	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1))
330		elfzle1 12913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ 𝑢)
331	330	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ 𝑢)
332	324, 326, 327, 329, 331	ltletrd 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) < 𝑢)
333		ltdivmul 11517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑀 / 2) < 𝑢 ↔ 𝑀 < (2 · 𝑢)))
334	323, 327, 315, 316, 333	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 / 2) < 𝑢 ↔ 𝑀 < (2 · 𝑢)))
335	332, 334	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 < (2 · 𝑢))
336	122, 335	eqbrtrrid 5104	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢))
337	62	nnred 11655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℝ)
338		peano2rem 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
339	337, 338	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
340		ltdivmul 11517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
341	339, 18, 315, 316, 340	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
342	336, 341	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢)))
343	204	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
344		zmulcl 12034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℤ) → (2 · (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
345	13, 17, 344	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
346		zlem1lt 12037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · (2 · 𝑢)) ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
347	343, 345, 346	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
348	342, 347	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)))
349		ledivmul 11518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢))))
350	337, 18, 315, 316, 349	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢))))
351	348, 350	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢))
352	337	rehalfcld 11887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
353	270	nngt0d 11689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 𝑄)
354		lemul2 11495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢))))
355	352, 18, 243, 353, 354	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢))))
356	351, 355	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)))
357	322, 356	eqbrtrd 5090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)))
358	243, 18	remulcld 10673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
359	62	nngt0d 11689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 𝑃)
360		lemuldiv 11522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑄 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)))
361	313, 358, 337, 359, 360	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)))
362	357, 361	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃))
363	244, 65, 63, 247	div23d 11455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) = ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
364	362, 363	breqtrd 5094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
365	307, 313, 19, 321, 364	letrd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
366	301	nnzd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
367	366	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
368		flge 13178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
369	19, 367, 368	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
370	365, 369	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
371	312, 370	eqbrtrd 5090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
372	305, 307, 308, 371	subled 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁)
373	372	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁)
374	304	nnzd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
375	374, 20	zsubcld 12095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ)
376	375	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ)
377	376	zred 12090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℝ)
378	301	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
379	378	nnred 11655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
380		letr 10736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∧ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁))
381	240, 377, 379, 380	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∧ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁))
382	373, 381	mpan2d 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) → 𝑦 ≤ 𝑁))
383	382	pm4.71rd 565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
384	299, 383	bitr4d 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
385	384	pm5.32da 581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
386	385	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
387	234, 386	syl5bb 285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
388		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
389	343, 17	zsubcld 12095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
390		elfzle2 12914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → 𝑢 ≤ 𝑀)
391	390	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ≤ 𝑀)
392	391, 122	breqtrdi 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
393		lemuldiv2 11523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
394	327, 339, 315, 316, 393	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
395	392, 394	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1))
396	337	ltm1d 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) < 𝑃)
397	18, 339, 337, 395, 396	lelttrd 10800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) < 𝑃)
398	18, 337	posdifd 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ 0 < (𝑃 − (2 · 𝑢))))
399	397, 398	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < (𝑃 − (2 · 𝑢)))
400		elnnz 11994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃 − (2 · 𝑢))))
401	389, 399, 400	sylanbrc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ)
402	63, 65, 291	sub32d 11031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) = ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑢)))
403	122, 122	oveq12i 7170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑀 + 𝑀) = (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2))
404	62	nnzd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
405	404, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
406	405	zcnd 12091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
407	406	2halvesd 11886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
408	403, 407	syl5eq 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 + 𝑀) = (𝑃 − 1))
409	408	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑀) − 𝑀) = ((𝑃 − 1) − 𝑀))
410	156	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
411	410, 410	pncan2d 11001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑀) − 𝑀) = 𝑀)
412	409, 411	eqtr3d 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − 𝑀) = 𝑀)
413	412, 335	eqbrtrd 5090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − 𝑀) < (2 · 𝑢))
414	339, 323, 18, 413	ltsub23d 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑢)) < 𝑀)
415	402, 414	eqbrtrd 5090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀)
416	123	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
417	416	nnzd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
418		zlem1lt 12037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀 ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀))
419	389, 417, 418	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀 ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀))
420	415, 419	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀)
421		fznn 12978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀) ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀)))
422	417, 421	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀) ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀)))
423	401, 420, 422	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀))
424	423	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀))
425	388, 424	eqeltrd 2915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
426	425	biantrurd 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁))))
427	366	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑁 ∈ ℤ)
428		fznn 12978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
429	427, 428	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
430	426, 429	bitr3d 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
431	388	oveq1d 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑥 · 𝑄) = ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))
432	431	breq2d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)))
433	430, 432	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))))
434	375	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ)
435		fznn 12978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
436	434, 435	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
437	387, 433, 436	3bitr4d 313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
438	233, 437	syl5bb 285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
439	438	pm5.32da 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))))
440		vex 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑥 ∈ V
441		vex 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑦 ∈ V
442	440, 441	op1std 7701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1^st ‘𝑧) = 𝑥)
443	442	eqeq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
444	443	elrab 3682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
445	444	biancomi 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆))
446		opelxp 5593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
447		velsn 4585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
448	447	anbi1i 625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
449	446, 448	bitri 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
450	439, 445, 449	3bitr4g 316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))))
451	229, 230, 450	eqrelrdv 5667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
452	451	fveq2d 6676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = (♯‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))))
453		fzfid 13344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ∈ Fin)
454		xpsnen2g 8612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ∈ Fin) → ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
455	389, 453, 454	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
456		hasheni 13711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) → (♯‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) = (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
457	455, 456	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) = (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
458		ltmul2 11493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄)) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
459	18, 337, 243, 353, 458	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
460	397, 459	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃))
461		ltdivmul2 11519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
462	358, 243, 337, 359, 461	syl112anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
463	460, 462	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄)
464	363, 463	eqbrtrrd 5092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄)
465		fllt 13179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄))
466	19, 271, 465	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄))
467	464, 466	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄)
468		zltlem1 12038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1)))
469	20, 271, 468	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1)))
470	467, 469	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1))
471	470, 289	breqtrrd 5096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (2 · 𝑁))
472		eluz2 12252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (2 · 𝑁)))
473	20, 374, 471, 472	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
474		uznn0sub 12280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℕ₀)
475		hashfz1 13709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
476	473, 474, 475	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
477	452, 457, 476	3eqtrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
478	477	sumeq2dv 15062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
479	80, 226, 478	3eqtr3rd 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))
480	303	nncnd 11656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
481	480	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
482	5, 481, 292	fsumsub 15145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
483	479, 482	eqtr3d 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) = (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
484	483	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) = (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
485	21	zcnd 12091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℂ)
486	5, 374	fsumzcl 15094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) ∈ ℤ)
487	486	zcnd 12091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) ∈ ℂ)
488	485, 487	pncan3d 11002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁))
489		fsumconst 15147	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) = ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁)))
490	5, 480, 489	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) = ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁)))
491		hashcl 13720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℕ₀)
492	5, 491	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℕ₀)
493	492	nn0cnd 11960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℂ)
494		2cnd 11718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
495	493, 494, 309	mul12d 10851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁)) = (2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
496	490, 495	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) = (2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
497	484, 488, 496	3eqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) = (2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
498	497	oveq2d 7174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = (-1↑(2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))))
499	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
500	492	nn0zd 12088	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℤ)
501	500, 366	zmulcld 12096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ)
502		expmulz 13478	. . . . . 6 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) = ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
503	2, 4, 499, 501, 502	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) = ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
504		neg1sqe1 13562	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑2) = 1
505	504	oveq1i 7168	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = (1↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))
506		1exp 13461	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ → (1↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1)
507	501, 506	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1)
508	505, 507	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1)
509	498, 503, 508	3eqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = 1)
510	41, 52, 509	3eqtr4d 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))))
511		expaddz 13476	. . . 4 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) ∈ ℤ)) → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = ((-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))))
512	2, 4, 21, 39, 511	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = ((-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))))
513	510, 512	eqtr2d 2859	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = ((-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))))
514	22, 38, 38, 40, 513	mulcan2ad 11278	1 ⊢ (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ≠ wne 3018 ∀wral 3140 ∃wrex 3141 {crab 3144 ∖ cdif 3935 ⊆ wss 3938 {csn 4569 ⟨cop 4575 ∪ ciun 4921 Disj wdisj 5033 class class class wbr 5068 {copab 5130 × cxp 5555 Rel wrel 5562 ‘cfv 6357 (class class class)co 7158 1^st c1st 7689 ≈ cen 8508 Fincfn 8511 ℂcc 10537 ℝcr 10538 0cc0 10539 1c1 10540 + caddc 10542 · cmul 10544 < clt 10677 ≤ cle 10678 − cmin 10872 -cneg 10873 / cdiv 11299 ℕcn 11640 2c2 11695 ℕ₀cn0 11900 ℤcz 11984 ℤ_≥cuz 12246 ...cfz 12895 ⌊cfl 13163 ↑cexp 13432 ♯chash 13693 Σcsu 15044 ∥ cdvds 15609 ℙcprime 16017

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2795 ax-rep 5192 ax-sep 5205 ax-nul 5212 ax-pow 5268 ax-pr 5332 ax-un 7463 ax-inf2 9106 ax-cnex 10595 ax-resscn 10596 ax-1cn 10597 ax-icn 10598 ax-addcl 10599 ax-addrcl 10600 ax-mulcl 10601 ax-mulrcl 10602 ax-mulcom 10603 ax-addass 10604 ax-mulass 10605 ax-distr 10606 ax-i2m1 10607 ax-1ne0 10608 ax-1rid 10609 ax-rnegex 10610 ax-rrecex 10611 ax-cnre 10612 ax-pre-lttri 10613 ax-pre-lttrn 10614 ax-pre-ltadd 10615 ax-pre-mulgt0 10616 ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2802 df-cleq 2816 df-clel 2895 df-nfc 2965 df-ne 3019 df-nel 3126 df-ral 3145 df-rex 3146 df-reu 3147 df-rmo 3148 df-rab 3149 df-v 3498 df-sbc 3775 df-csb 3886 df-dif 3941 df-un 3943 df-in 3945 df-ss 3954 df-pss 3956 df-nul 4294 df-if 4470 df-pw 4543 df-sn 4570 df-pr 4572 df-tp 4574 df-op 4576 df-uni 4841 df-int 4879 df-iun 4923 df-disj 5034 df-br 5069 df-opab 5131 df-mpt 5149 df-tr 5175 df-id 5462 df-eprel 5467 df-po 5476 df-so 5477 df-fr 5516 df-se 5517 df-we 5518 df-xp 5563 df-rel 5564 df-cnv 5565 df-co 5566 df-dm 5567 df-rn 5568 df-res 5569 df-ima 5570 df-pred 6150 df-ord 6196 df-on 6197 df-lim 6198 df-suc 6199 df-iota 6316 df-fun 6359 df-fn 6360 df-f 6361 df-f1 6362 df-fo 6363 df-f1o 6364 df-fv 6365 df-isom 6366 df-riota 7116 df-ov 7161 df-oprab 7162 df-mpo 7163 df-om 7583 df-1st 7691 df-2nd 7692 df-wrecs 7949 df-recs 8010 df-rdg 8048 df-1o 8104 df-2o 8105 df-oadd 8108 df-er 8291 df-en 8512 df-dom 8513 df-sdom 8514 df-fin 8515 df-sup 8908 df-inf 8909 df-oi 8976 df-card 9370 df-pnf 10679 df-mnf 10680 df-xr 10681 df-ltxr 10682 df-le 10683 df-sub 10874 df-neg 10875 df-div 11300 df-nn 11641 df-2 11703 df-3 11704 df-4 11705 df-n0 11901 df-z 11985 df-uz 12247 df-rp 12393 df-fz 12896 df-fzo 13037 df-fl 13165 df-seq 13373 df-exp 13433 df-hash 13694 df-cj 14460 df-re 14461 df-im 14462 df-sqrt 14596 df-abs 14597 df-clim 14847 df-sum 15045 df-dvds 15610 df-prm 16018

This theorem is referenced by: lgsquadlem2 25959

W3C validator