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Theorem lgsquadlem1 26116
Description: Lemma for lgsquad 26119. Count the members of 𝑆 with odd coordinates. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
lgsquad.4 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2)
lgsquad.5 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2)
lgsquad.6 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}
Assertion
Ref Expression
lgsquadlem1 (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,𝑃   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑀,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑄,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑆,𝑥,𝑧   𝑥,𝑀   𝑦,𝑆

Proof of Theorem lgsquadlem1
Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11830 . . . 4 -1 ∈ ℂ
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
3 neg1ne0 11832 . . . 4 -1 ≠ 0
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → -1 ≠ 0)
5 fzfid 13432 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin)
6 lgseisen.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
76gausslemma2dlem0a 26092 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
87nnred 11731 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
9 lgseisen.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
109gausslemma2dlem0a 26092 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
118, 10nndivred 11770 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
1211adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
13 2z 12095 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
14 elfzelz 12998 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → 𝑢 ∈ ℤ)
1514adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℤ)
16 zmulcl 12112 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
1713, 15, 16sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
1817zred 12168 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℝ)
1912, 18remulcld 10749 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
2019flcld 13259 . . . 4 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
215, 20fsumzcl 15185 . . 3 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
222, 4, 21expclzd 13607 . 2 (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℂ)
23 fzfid 13432 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
24 fzfid 13432 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
25 xpfi 8863 . . . . . . 7 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
2623, 24, 25syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
27 lgsquad.6 . . . . . . 7 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}
28 opabssxp 5614 . . . . . . 7 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))
2927, 28eqsstri 3911 . . . . . 6 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))
30 ssfi 8772 . . . . . 6 ((((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))) → 𝑆 ∈ Fin)
3126, 29, 30sylancl 589 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
32 ssrab2 3969 . . . . 5 {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ⊆ 𝑆
33 ssfi 8772 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ⊆ 𝑆) → {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ∈ Fin)
3431, 32, 33sylancl 589 . . . 4 (𝜑 → {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ∈ Fin)
35 hashcl 13809 . . . 4 ({𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)} ∈ Fin → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) ∈ ℕ0)
3634, 35syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) ∈ ℕ0)
37 expcl 13539 . . 3 ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) ∈ ℕ0) → (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) ∈ ℂ)
381, 36, 37sylancr 590 . 2 (𝜑 → (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) ∈ ℂ)
3936nn0zd 12166 . . 3 (𝜑 → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) ∈ ℤ)
402, 4, 39expne0d 13608 . 2 (𝜑 → (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) ≠ 0)
4138, 40recidd 11489 . . . 4 (𝜑 → ((-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) · (1 / (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})))) = 1)
42 1div1e1 11408 . . . . . . . . 9 (1 / 1) = 1
4342negeqi 10957 . . . . . . . 8 -(1 / 1) = -1
44 ax-1cn 10673 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
45 ax-1ne0 10684 . . . . . . . . 9 1 ≠ 0
46 divneg2 11442 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
4744, 44, 45, 46mp3an 1462 . . . . . . . 8 -(1 / 1) = (1 / -1)
4843, 47eqtr3i 2763 . . . . . . 7 -1 = (1 / -1)
4948oveq1i 7180 . . . . . 6 (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) = ((1 / -1)↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))
502, 4, 39exprecd 13610 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / -1)↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) = (1 / (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))))
5149, 50syl5eq 2785 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) = (1 / (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))))
5251oveq2d 7186 . . . 4 (𝜑 → ((-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = ((-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) · (1 / (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})))))
5331adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑆 ∈ Fin)
54 ssrab2 3969 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆
55 ssfi 8772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆) → {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ∈ Fin)
5653, 54, 55sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ∈ Fin)
57 fveqeq2 6683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑣 → ((1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ (1st𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
5857elrab 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (𝑣𝑆 ∧ (1st𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
5958simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} → (1st𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
6059ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (1st𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
6160oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (1st𝑣)) = (𝑃 − (𝑃 − (2 · 𝑢))))
6210adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
6362nncnd 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
6463adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 𝑃 ∈ ℂ)
6517zcnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
6665adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
6764, 66nncand 11080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (𝑃 − (2 · 𝑢))) = (2 · 𝑢))
6861, 67eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (1st𝑣)) = (2 · 𝑢))
6968oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((𝑃 − (1st𝑣)) / 2) = ((2 · 𝑢) / 2))
7015zcnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℂ)
7170adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 𝑢 ∈ ℂ)
72 2cnd 11794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 2 ∈ ℂ)
73 2ne0 11820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ≠ 0
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 2 ≠ 0)
7571, 72, 74divcan3d 11499 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((2 · 𝑢) / 2) = 𝑢)
7669, 75eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((𝑃 − (1st𝑣)) / 2) = 𝑢)
7776ralrimivva 3103 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)∀𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ((𝑃 − (1st𝑣)) / 2) = 𝑢)
78 invdisj 5014 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)∀𝑣 ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ((𝑃 − (1st𝑣)) / 2) = 𝑢Disj 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑Disj 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})
805, 56, 79hashiun 15270 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(♯‘{𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}))
81 iunrab 4938 . . . . . . . . . . . 12 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}
82 eldifsni 4678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
839, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑃 ≠ 2)
8483necomd 2989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 2 ≠ 𝑃)
8584neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ 2 = 𝑃)
8685ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 = 𝑃)
87 uzid 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
8813, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ (ℤ‘2)
899eldifad 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9089ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℙ)
91 dvdsprm 16144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
9288, 90, 91sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
9386, 92mtbird 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
9410ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
9594nncnd 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
9617adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
9796zcnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
9895, 97npcand 11079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)) = 𝑃)
9998breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)) ↔ 2 ∥ 𝑃))
10093, 99mtbird 328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)))
10114adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℤ)
102 dvdsmul1 15723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑢))
10313, 101, 102sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∥ (2 · 𝑢))
10413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℤ)
10594nnzd 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
106105, 96zsubcld 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
107 dvds2add 15735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℤ) → ((2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑢)) → 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢))))
108104, 106, 96, 107syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑢)) → 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢))))
109103, 108mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) → 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢))))
110100, 109mtod 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)))
111 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → (2 ∥ (1st𝑧) ↔ 2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢))))
112111notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → (¬ 2 ∥ (1st𝑧) ↔ ¬ 2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢))))
113110, 112syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → ¬ 2 ∥ (1st𝑧)))
114113rexlimdva 3194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝑆) → (∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → ¬ 2 ∥ (1st𝑧)))
115 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
11629, 115sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)))
117 xp1st 7746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)) → (1st𝑧) ∈ (1...𝑀))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝑆) → (1st𝑧) ∈ (1...𝑀))
119 elfzelz 12998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1st𝑧) ∈ (1...𝑀) → (1st𝑧) ∈ ℤ)
120 odd2np1 15786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1st𝑧) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (1st𝑧) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧)))
121118, 119, 1203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑆) → (¬ 2 ∥ (1st𝑧) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧)))
122 lgsquad.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2)
1239, 122gausslemma2dlem0b 26093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
124123nnred 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
125124ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑀 ∈ ℝ)
126125rehalfcld 11963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
127126flcld 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
128127peano2zd 12171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℤ)
129123ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑀 ∈ ℕ)
130129nnzd 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑀 ∈ ℤ)
131 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑛 ∈ ℤ)
132130, 131zsubcld 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀𝑛) ∈ ℤ)
133 reflcl 13257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
134126, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
135132zred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀𝑛) ∈ ℝ)
136 flle 13260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑀 / 2)) ≤ (𝑀 / 2))
137126, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ≤ (𝑀 / 2))
138 zre 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
139138ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑛 ∈ ℝ)
140 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))
141118adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (1st𝑧) ∈ (1...𝑀))
142140, 141eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ (1...𝑀))
143 elfzle2 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (1...𝑀) → ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀)
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀)
145 zmulcl 12112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
14613, 131, 145sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
147 zltp1le 12113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((2 · 𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) < 𝑀 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀))
148146, 130, 147syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑛) < 𝑀 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀))
149144, 148mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · 𝑛) < 𝑀)
150 2re 11790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℝ
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 2 ∈ ℝ)
152 2pos 11819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 < 2
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 0 < 2)
154 ltmuldiv2 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑛) < 𝑀𝑛 < (𝑀 / 2)))
155139, 125, 151, 153, 154syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑛) < 𝑀𝑛 < (𝑀 / 2)))
156149, 155mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑛 < (𝑀 / 2))
157126recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
158123nncnd 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
159158ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑀 ∈ ℂ)
1601592halvesd 11962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
161157, 157, 160mvlraddd 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀 / 2) = (𝑀 − (𝑀 / 2)))
162156, 161breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑛 < (𝑀 − (𝑀 / 2)))
163139, 125, 126, 162ltsub13d 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀 / 2) < (𝑀𝑛))
164134, 126, 135, 137, 163lelttrd 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) < (𝑀𝑛))
165 zltp1le 12113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) < (𝑀𝑛) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀𝑛)))
166127, 132, 165syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) < (𝑀𝑛) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀𝑛)))
167164, 166mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀𝑛))
168 2t0e0 11885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 0) = 0
169 2cn 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℂ
170 zcn 12067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
171170ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑛 ∈ ℂ)
172 mulcl 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
173169, 171, 172sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
174 pncan 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
175173, 44, 174sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
176 elfznn 13027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (1...𝑀) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
177 nnm1nn0 12017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) ∈ ℕ0)
178142, 176, 1773syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) ∈ ℕ0)
179175, 178eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
180179nn0ge0d 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
181168, 180eqbrtrid 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · 0) ≤ (2 · 𝑛))
182 0red 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 0 ∈ ℝ)
183 lemul2 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (0 ≤ 𝑛 ↔ (2 · 0) ≤ (2 · 𝑛)))
184182, 139, 151, 153, 183syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (0 ≤ 𝑛 ↔ (2 · 0) ≤ (2 · 𝑛)))
185181, 184mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 0 ≤ 𝑛)
186125, 139subge02d 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (0 ≤ 𝑛 ↔ (𝑀𝑛) ≤ 𝑀))
187185, 186mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀𝑛) ≤ 𝑀)
188128, 130, 132, 167, 187elfzd 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑀𝑛) ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀))
18989ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑃 ∈ ℙ)
190 prmnn 16115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑃 ∈ ℕ)
192191nncnd 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑃 ∈ ℂ)
193 peano2cn 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
194173, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
195192, 194nncand 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑃 − (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1))) = ((2 · 𝑛) + 1))
196 1cnd 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 1 ∈ ℂ)
197192, 173, 196sub32d 11107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((𝑃 − (2 · 𝑛)) − 1) = ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑛)))
198192, 173, 196subsub4d 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((𝑃 − (2 · 𝑛)) − 1) = (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1)))
199 2cnd 11794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 2 ∈ ℂ)
200199, 159, 171subdid 11174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · (𝑀𝑛)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 𝑛)))
201122oveq2i 7181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 𝑀) = (2 · ((𝑃 − 1) / 2))
20210nnzd 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
203202ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 𝑃 ∈ ℤ)
204 peano2zm 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
205203, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
206205zcnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
20773a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → 2 ≠ 0)
208206, 199, 207divcan2d 11496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
209201, 208syl5eq 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (2 · 𝑀) = (𝑃 − 1))
210209oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((2 · 𝑀) − (2 · 𝑛)) = ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑛)))
211200, 210eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑛)) = (2 · (𝑀𝑛)))
212197, 198, 2113eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1)) = (2 · (𝑀𝑛)))
213212oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (𝑃 − (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑃 − (2 · (𝑀𝑛))))
214195, 213, 1403eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · (𝑀𝑛))))
215 oveq2 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝑀𝑛) → (2 · 𝑢) = (2 · (𝑀𝑛)))
216215oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝑀𝑛) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) = (𝑃 − (2 · (𝑀𝑛))))
217216rspceeqv 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀𝑛) ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · (𝑀𝑛)))) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
218188, 214, 217syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧))) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
219218rexlimdvaa 3195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st𝑧) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
220121, 219sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝑆) → (¬ 2 ∥ (1st𝑧) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
221114, 220impbid 215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝑆) → (∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)))
222221rabbidva 3379 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑧𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})
22381, 222syl5eq 2785 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})
224223fveq2d 6678 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))
22527relopabiv 5664 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel 𝑆
226 relss 5627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆 → (Rel 𝑆 → Rel {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}))
22754, 225, 226mp2 9 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}
228 relxp 5543 . . . . . . . . . . . . . 14 Rel ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
22927eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))})
230 opabidw 5380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)))
231229, 230bitri 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)))
232 anass 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))))
23320peano2zd 12171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℤ)
234233zred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℝ)
235234adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℝ)
2368ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℝ)
237 nnre 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
238237adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
239 lesub 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))))
240235, 236, 238, 239syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))))
2418adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℝ)
242241recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℂ)
24363, 242mulcomd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 · 𝑄) = (𝑄 · 𝑃))
24465, 242mulcomd 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) · 𝑄) = (𝑄 · (2 · 𝑢)))
24562nnne0d 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ≠ 0)
246242, 63, 245divcan1d 11495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) = 𝑄)
247246oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) · (2 · 𝑢)) = (𝑄 · (2 · 𝑢)))
24812recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℂ)
249248, 63, 65mul32d 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) · (2 · 𝑢)) = (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃))
250244, 247, 2493eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) · 𝑄) = (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃))
251243, 250oveq12d 7188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 · 𝑄) − ((2 · 𝑢) · 𝑄)) = ((𝑄 · 𝑃) − (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃)))
25263, 65, 242subdird 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑃 · 𝑄) − ((2 · 𝑢) · 𝑄)))
25319recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℂ)
254242, 253, 63subdird 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃) = ((𝑄 · 𝑃) − (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃)))
255251, 252, 2543eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃))
256255adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃))
257256breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃)))
25819adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
259236, 258resubcld 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ)
26062adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
261260nnred 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
262260nngt0d 11765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < 𝑃)
263 ltmul1 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃)))
264238, 259, 261, 262, 263syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃)))
265 ltsub13 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄𝑦)))
266238, 236, 258, 265syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄𝑦)))
267257, 264, 2663bitr2d 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄𝑦)))
2687adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℕ)
269268nnzd 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℤ)
270 nnz 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
271 zsubcl 12105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑄𝑦) ∈ ℤ)
272269, 270, 271syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄𝑦) ∈ ℤ)
273 fllt 13267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ (𝑄𝑦) ∈ ℤ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄𝑦) ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄𝑦)))
274258, 272, 273syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄𝑦) ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄𝑦)))
27520adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
276 zltp1le 12113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ (𝑄𝑦) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄𝑦) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄𝑦)))
277275, 272, 276syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄𝑦) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄𝑦)))
278267, 274, 2773bitrd 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄𝑦)))
279 lgsquad.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2)
280279oveq2i 7181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (2 · 𝑁) = (2 · ((𝑄 − 1) / 2))
281 peano2rem 11031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 − 1) ∈ ℝ)
282241, 281syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) ∈ ℝ)
283282recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
284 2cnd 11794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℂ)
28573a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ≠ 0)
286283, 284, 285divcan2d 11496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · ((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑄 − 1))
287280, 286syl5eq 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) = (𝑄 − 1))
288287oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = ((𝑄 − 1) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
289 1cnd 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
29020zcnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℂ)
291242, 289, 290sub32d 11107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = ((𝑄 − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) − 1))
292242, 290, 289subsub4d 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) − 1) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))
293288, 291, 2923eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))
294293adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))
295294breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))))
296240, 278, 2953bitr4d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
297296anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦𝑁𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
298 2nn 11789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℕ
2996, 279gausslemma2dlem0b 26093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
300 nnmulcl 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
301298, 299, 300sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
302301adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
303302nnred 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
304299adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
305304nnred 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
30620zred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ)
307299nncnd 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
308307adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3093082timesd 11959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
310308, 308, 309mvrladdd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
311241rehalfcld 11963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ∈ ℝ)
312241ltm1d 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) < 𝑄)
313150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℝ)
314152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 2)
315 ltdiv1 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑄 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑄 − 1) < 𝑄 ↔ ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2)))
316282, 241, 313, 314, 315syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) < 𝑄 ↔ ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2)))
317312, 316mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2))
318279, 317eqbrtrid 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 < (𝑄 / 2))
319305, 311, 318ltled 10866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ (𝑄 / 2))
320242, 284, 63, 285div32d 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 2) · 𝑃) = (𝑄 · (𝑃 / 2)))
321124adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
322321rehalfcld 11963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
323 peano2re 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℝ)
324322, 133, 3233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℝ)
32515zred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℝ)
326 flltp1 13261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑀 / 2) ∈ ℝ → (𝑀 / 2) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1))
327322, 326syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1))
328 elfzle1 13001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ 𝑢)
329328adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ 𝑢)
330322, 324, 325, 327, 329ltletrd 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) < 𝑢)
331 ltdivmul 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑀 / 2) < 𝑢𝑀 < (2 · 𝑢)))
332321, 325, 313, 314, 331syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 / 2) < 𝑢𝑀 < (2 · 𝑢)))
333330, 332mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 < (2 · 𝑢))
334122, 333eqbrtrrid 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢))
33562nnred 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℝ)
336 peano2rem 11031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
337335, 336syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
338 ltdivmul 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
339337, 18, 313, 314, 338syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
340334, 339mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢)))
341202adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
342 zmulcl 12112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℤ) → (2 · (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
34313, 17, 342sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
344 zlem1lt 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · (2 · 𝑢)) ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
345341, 343, 344syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
346340, 345mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)))
347 ledivmul 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢))))
348335, 18, 313, 314, 347syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢))))
349346, 348mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢))
350335rehalfcld 11963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
351268nngt0d 11765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 𝑄)
352 lemul2 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢))))
353350, 18, 241, 351, 352syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢))))
354349, 353mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)))
355320, 354eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)))
356241, 18remulcld 10749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
35762nngt0d 11765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 𝑃)
358 lemuldiv 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑄 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)))
359311, 356, 335, 357, 358syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)))
360355, 359mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃))
361242, 65, 63, 245div23d 11531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) = ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
362360, 361breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
363305, 311, 19, 319, 362letrd 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
364299nnzd 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
365364adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
366 flge 13266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
36719, 365, 366syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
368363, 367mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
369310, 368eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
370303, 305, 306, 369subled 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁)
371370adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁)
372302nnzd 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
373372, 20zsubcld 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ)
374373adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ)
375374zred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℝ)
376299ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
377376nnred 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
378 letr 10812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∧ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁) → 𝑦𝑁))
379238, 375, 377, 378syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∧ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁) → 𝑦𝑁))
380371, 379mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) → 𝑦𝑁))
381380pm4.71rd 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦𝑁𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
382297, 381bitr4d 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
383382pm5.32da 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
384383adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
385232, 384syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
386 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
387341, 17zsubcld 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
388 elfzle2 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → 𝑢𝑀)
389388adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢𝑀)
390389, 122breqtrdi 5071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
391 lemuldiv2 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑢 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
392325, 337, 313, 314, 391syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
393390, 392mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1))
394335ltm1d 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) < 𝑃)
39518, 337, 335, 393, 394lelttrd 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) < 𝑃)
39618, 335posdifd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ 0 < (𝑃 − (2 · 𝑢))))
397395, 396mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < (𝑃 − (2 · 𝑢)))
398 elnnz 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃 − (2 · 𝑢))))
399387, 397, 398sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ)
40063, 65, 289sub32d 11107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) = ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑢)))
401122, 122oveq12i 7182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 + 𝑀) = (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2))
40262nnzd 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
403402, 204syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
404403zcnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
4054042halvesd 11962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
406401, 405syl5eq 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 + 𝑀) = (𝑃 − 1))
407406oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑀) − 𝑀) = ((𝑃 − 1) − 𝑀))
408158adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
409408, 408pncan2d 11077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑀) − 𝑀) = 𝑀)
410407, 409eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − 𝑀) = 𝑀)
411410, 333eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − 𝑀) < (2 · 𝑢))
412337, 321, 18, 411ltsub23d 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑢)) < 𝑀)
413400, 412eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀)
414123adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
415414nnzd 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
416 zlem1lt 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀 ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀))
417387, 415, 416syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀 ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀))
418413, 417mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀)
419 fznn 13066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀) ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀)))
420415, 419syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀) ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀)))
421399, 418, 420mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀))
422421adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀))
423386, 422eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
424423biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁))))
425364ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑁 ∈ ℤ)
426 fznn 13066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)))
427425, 426syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)))
428424, 427bitr3d 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁)))
429386oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑥 · 𝑄) = ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))
430429breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)))
431428, 430anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))))
432373adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ)
433 fznn 13066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
434432, 433syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
435385, 431, 4343bitr4d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
436231, 435syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
437436pm5.32da 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))))
438 vex 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ∈ V
439 vex 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 ∈ V
440438, 439op1std 7724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st𝑧) = 𝑥)
441440eqeq1d 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
442441elrab 3588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
443442biancomi 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆))
444 opelxp 5561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
445 velsn 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
446445anbi1i 627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
447444, 446bitri 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
448437, 443, 4473bitr4g 317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))))
449227, 228, 448eqrelrdv 5636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → {𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
450449fveq2d 6678 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = (♯‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))))
451 fzfid 13432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ∈ Fin)
452 xpsnen2g 8659 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ∈ Fin) → ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
453387, 451, 452syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
454 hasheni 13800 . . . . . . . . . . . . 13 (({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) → (♯‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) = (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
455453, 454syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) = (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
456 ltmul2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄)) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
45718, 335, 241, 351, 456syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
458395, 457mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃))
459 ltdivmul2 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
460356, 241, 335, 357, 459syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
461458, 460mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄)
462361, 461eqbrtrrd 5054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄)
463 fllt 13267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄))
46419, 269, 463syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄))
465462, 464mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄)
466 zltlem1 12116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1)))
46720, 269, 466syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1)))
468465, 467mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1))
469468, 287breqtrrd 5058 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (2 · 𝑁))
470 eluz2 12330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (2 · 𝑁)))
47120, 372, 469, 470syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
472 uznn0sub 12359 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℕ0)
473 hashfz1 13798 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
474471, 472, 4733syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
475450, 455, 4743eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
476475sumeq2dv 15153 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(♯‘{𝑧𝑆 ∣ (1st𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
47780, 224, 4763eqtr3rd 2782 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))
478301nncnd 11732 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
479478adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
4805, 479, 290fsumsub 15236 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
481477, 480eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) = (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
482481oveq2d 7186 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) = (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
48321zcnd 12169 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℂ)
4845, 372fsumzcl 15185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) ∈ ℤ)
485484zcnd 12169 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) ∈ ℂ)
486483, 485pncan3d 11078 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁))
487 fsumconst 15238 . . . . . . . . 9 (((((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) = ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁)))
4885, 478, 487syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) = ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁)))
489 hashcl 13809 . . . . . . . . . . 11 ((((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℕ0)
4905, 489syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℕ0)
491490nn0cnd 12038 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℂ)
492 2cnd 11794 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
493491, 492, 307mul12d 10927 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁)) = (2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
494488, 493eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) = (2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
495482, 486, 4943eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) = (2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
496495oveq2d 7186 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = (-1↑(2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))))
49713a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
498490nn0zd 12166 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℤ)
499498, 364zmulcld 12174 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ)
500 expmulz 13567 . . . . . 6 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) = ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
5012, 4, 497, 499, 500syl22anc 838 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑(2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) = ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
502 neg1sqe1 13651 . . . . . . 7 (-1↑2) = 1
503502oveq1i 7180 . . . . . 6 ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = (1↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))
504 1exp 13550 . . . . . . 7 (((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ → (1↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1)
505499, 504syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1)
506503, 505syl5eq 2785 . . . . 5 (𝜑 → ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1)
507496, 501, 5063eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = 1)
50841, 52, 5073eqtr4d 2783 . . 3 (𝜑 → ((-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))))
509 expaddz 13565 . . . 4 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}) ∈ ℤ)) → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = ((-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))))
5102, 4, 21, 39, 509syl22anc 838 . . 3 (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = ((-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))))
511508, 510eqtr2d 2774 . 2 (𝜑 → ((-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))) = ((-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)}))))
51222, 38, 38, 40, 511mulcan2ad 11354 1 (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(♯‘{𝑧𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st𝑧)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  cdif 3840  wss 3843  {csn 4516  cop 4522   ciun 4881  Disj wdisj 4995   class class class wbr 5030  {copab 5092   × cxp 5523  Rel wrel 5530  cfv 6339  (class class class)co 7170  1st c1st 7712  cen 8552  Fincfn 8555  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620   < clt 10753  cle 10754  cmin 10948  -cneg 10949   / cdiv 11375  cn 11716  2c2 11771  0cn0 11976  cz 12062  cuz 12324  ...cfz 12981  cfl 13251  cexp 13521  chash 13782  Σcsu 15135  cdvds 15699  cprime 16112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-sum 15136  df-dvds 15700  df-prm 16113
This theorem is referenced by:  lgsquadlem2  26117
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