lgsquadlem1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem lgsquadlem1 27347

Description: Lemma for lgsquad 27350. Count the members of 𝑆 with odd coordinates. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgseisen.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
lgsquad.4	⊢ 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2)
lgsquad.5	⊢ 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2)
lgsquad.6	⊢ 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}

**Assertion**
Ref	Expression
lgsquadlem1	⊢ (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,𝑃 𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧 𝑢,𝑀,𝑦,𝑧 𝑢,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧 𝑢,𝑄,𝑥,𝑦,𝑧 𝑢,𝑆,𝑥,𝑧 𝑥,𝑀 𝑦,𝑆

Proof of Theorem lgsquadlem1 Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12130	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
3		neg1ne0 12132	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ≠ 0)
5		fzfid 13896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin)
6		lgseisen.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
7	6	gausslemma2dlem0a 27323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
8	7	nnred 12160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
9		lgseisen.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
10	9	gausslemma2dlem0a 27323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
11	8, 10	nndivred 12199	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
13		2z 12523	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
14		elfzelz 13440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → 𝑢 ∈ ℤ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℤ)
16		zmulcl 12540	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
17	13, 15, 16	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
18	17	zred 12596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 11162	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
20	19	flcld 13718	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
21	5, 20	fsumzcl 15658	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
22	2, 4, 21	expclzd 14074	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℂ)
23		fzfid 13896	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
24		fzfid 13896	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
25		xpfi 9220	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ (1...𝑁) ∈ Fin) → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
26	23, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin)
27		lgsquad.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}
28		opabssxp 5716	. . . . . . 7 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))
29	27, 28	eqsstri 3980	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))
30		ssfi 9097	. . . . . 6 ⊢ ((((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))) → 𝑆 ∈ Fin)
31	26, 29, 30	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
32		ssrab2 4032	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆
33		ssfi 9097	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ⊆ 𝑆) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin)
34	31, 32, 33	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin)
35		hashcl 14279	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)} ∈ Fin → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) ∈ ℕ₀)
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) ∈ ℕ₀)
37		expcl 14002	. . 3 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) ∈ ℕ₀) → (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) ∈ ℂ)
38	1, 36, 37	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) ∈ ℂ)
39	36	nn0zd 12513	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) ∈ ℤ)
40	2, 4, 39	expne0d 14075	. 2 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) ≠ 0)
41	38, 40	recidd 11912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) · (1 / (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})))) = 1)
42		1div1e1 11832	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 1) = 1
43	42	negeqi 11373	. . . . . . . 8 ⊢ -(1 / 1) = -1
44		ax-1cn 11084	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
45		ax-1ne0 11095	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
46		divneg2 11865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
47	44, 44, 45, 46	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
48	43, 47	eqtr3i 2761	. . . . . . 7 ⊢ -1 = (1 / -1)
49	48	oveq1i 7368	. . . . . 6 ⊢ (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) = ((1 / -1)↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))
50	2, 4, 39	exprecd 14077	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / -1)↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) = (1 / (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))))
51	49, 50	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) = (1 / (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))))
52	51	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = ((-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) · (1 / (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})))))
53	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑆 ∈ Fin)
54		ssrab2 4032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆
55		ssfi 9097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ∈ Fin)
56	53, 54, 55	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ∈ Fin)
57		fveqeq2 6843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ((1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ (1^st ‘𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
58	57	elrab 3646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ (1^st ‘𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
59	58	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} → (1^st ‘𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
60	59	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (1^st ‘𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
61	60	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (1^st ‘𝑣)) = (𝑃 − (𝑃 − (2 · 𝑢))))
62	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
63	62	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
64	63	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 𝑃 ∈ ℂ)
65	17	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
66	65	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
67	64, 66	nncand 11497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (𝑃 − (2 · 𝑢))) = (2 · 𝑢))
68	61, 67	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (1^st ‘𝑣)) = (2 · 𝑢))
69	68	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((𝑃 − (1^st ‘𝑣)) / 2) = ((2 · 𝑢) / 2))
70	15	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℂ)
71	70	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 𝑢 ∈ ℂ)
72		2cnd 12223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 2 ∈ ℂ)
73		2ne0 12249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ≠ 0
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 2 ≠ 0)
75	71, 72, 74	divcan3d 11922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((2 · 𝑢) / 2) = 𝑢)
76	69, 75	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((𝑃 − (1^st ‘𝑣)) / 2) = 𝑢)
77	76	ralrimivva 3179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)∀𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ((𝑃 − (1^st ‘𝑣)) / 2) = 𝑢)
78		invdisj 5084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)∀𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ((𝑃 − (1^st ‘𝑣)) / 2) = 𝑢 → Disj 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})
80	5, 56, 79	hashiun 15745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}))
81		iunrab 5008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}
82		eldifsni 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
83	9, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 2)
84	83	necomd 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 𝑃)
85	84	neneqd 2937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ¬ 2 = 𝑃)
86	85	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 = 𝑃)
87		uzid 12766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ_≥‘2))
88	13, 87	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ (ℤ_≥‘2)
89	9	eldifad 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
90	89	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℙ)
91		dvdsprm 16630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
92	88, 90, 91	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
93	86, 92	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
94	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
95	94	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ)
96	17	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ)
97	96	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
98	95, 97	npcand 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)) = 𝑃)
99	98	breq2d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)) ↔ 2 ∥ 𝑃))
100	93, 99	mtbird 325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)))
101	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℤ)
102		dvdsmul1 16204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑢 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑢))
103	13, 101, 102	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∥ (2 · 𝑢))
104	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℤ)
105	94	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
106	105, 96	zsubcld 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
107		dvds2add 16217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℤ) → ((2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑢)) → 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢))))
108	104, 106, 96, 107	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑢)) → 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢))))
109	103, 108	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) → 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢))))
110	100, 109	mtod 198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)))
111		breq2 5102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → (2 ∥ (1^st ‘𝑧) ↔ 2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢))))
112	111	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → (¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧) ↔ ¬ 2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢))))
113	110, 112	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)))
114	113	rexlimdva 3137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)))
115		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
116	29, 115	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)))
117		xp1st 7965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)) → (1^st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀))
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (1^st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀))
119		elfzelz 13440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1^st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀) → (1^st ‘𝑧) ∈ ℤ)
120		odd2np1 16268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1^st ‘𝑧) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧)))
121	118, 119, 120	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧)))
122		lgsquad.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2)
123	9, 122	gausslemma2dlem0b 27324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
124	123	nnred 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
125	124	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑀 ∈ ℝ)
126	125	rehalfcld 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
127	126	flcld 13718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ)
128	127	peano2zd 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℤ)
129	123	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑀 ∈ ℕ)
130	129	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑀 ∈ ℤ)
131		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑛 ∈ ℤ)
132	130, 131	zsubcld 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ)
133		reflcl 13716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
134	126, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ)
135	132	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℝ)
136		flle 13719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑀 / 2)) ≤ (𝑀 / 2))
137	126, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) ≤ (𝑀 / 2))
138		zre 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
139	138	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑛 ∈ ℝ)
140		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))
141	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (1^st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀))
142	140, 141	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ (1...𝑀))
143		elfzle2 13444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (1...𝑀) → ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀)
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀)
145		zmulcl 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
146	13, 131, 145	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
147		zltp1le 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) < 𝑀 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀))
148	146, 130, 147	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑛) < 𝑀 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀))
149	144, 148	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 𝑛) < 𝑀)
150		2re 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℝ
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 2 ∈ ℝ)
152		2pos 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 < 2
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 0 < 2)
154		ltmuldiv2 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑛) < 𝑀 ↔ 𝑛 < (𝑀 / 2)))
155	139, 125, 151, 153, 154	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑛) < 𝑀 ↔ 𝑛 < (𝑀 / 2)))
156	149, 155	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑛 < (𝑀 / 2))
157	126	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
158	123	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
159	158	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑀 ∈ ℂ)
160	159	2halvesd 12387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
161	157, 157, 160	mvlraddd 11547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 / 2) = (𝑀 − (𝑀 / 2)))
162	156, 161	breqtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑛 < (𝑀 − (𝑀 / 2)))
163	139, 125, 126, 162	ltsub13d 11743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 / 2) < (𝑀 − 𝑛))
164	134, 126, 135, 137, 163	lelttrd 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (⌊‘(𝑀 / 2)) < (𝑀 − 𝑛))
165		zltp1le 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) < (𝑀 − 𝑛) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀 − 𝑛)))
166	127, 132, 165	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) < (𝑀 − 𝑛) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀 − 𝑛)))
167	164, 166	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀 − 𝑛))
168		2t0e0 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 0) = 0
169		2cn 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℂ
170		zcn 12493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
171	170	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑛 ∈ ℂ)
172		mulcl 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
173	169, 171, 172	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
174		pncan 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
175	173, 44, 174	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
176		elfznn 13469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (1...𝑀) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
177		nnm1nn0 12442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) ∈ ℕ₀)
178	142, 176, 177	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) ∈ ℕ₀)
179	175, 178	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ₀)
180	179	nn0ge0d 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 0 ≤ (2 · 𝑛))
181	168, 180	eqbrtrid 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 0) ≤ (2 · 𝑛))
182		0red 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 0 ∈ ℝ)
183		lemul2 11994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (0 ≤ 𝑛 ↔ (2 · 0) ≤ (2 · 𝑛)))
184	182, 139, 151, 153, 183	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (0 ≤ 𝑛 ↔ (2 · 0) ≤ (2 · 𝑛)))
185	181, 184	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 0 ≤ 𝑛)
186	125, 139	subge02d 11729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (0 ≤ 𝑛 ↔ (𝑀 − 𝑛) ≤ 𝑀))
187	185, 186	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 − 𝑛) ≤ 𝑀)
188	128, 130, 132, 167, 187	elfzd 13431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑀 − 𝑛) ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀))
189	89	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑃 ∈ ℙ)
190		prmnn 16601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
191	189, 190	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑃 ∈ ℕ)
192	191	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑃 ∈ ℂ)
193		peano2cn 11305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
194	173, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
195	192, 194	nncand 11497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑃 − (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1))) = ((2 · 𝑛) + 1))
196		1cnd 11127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 1 ∈ ℂ)
197	192, 173, 196	sub32d 11524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((𝑃 − (2 · 𝑛)) − 1) = ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑛)))
198	192, 173, 196	subsub4d 11523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((𝑃 − (2 · 𝑛)) − 1) = (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1)))
199		2cnd 12223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 2 ∈ ℂ)
200	199, 159, 171	subdid 11593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · (𝑀 − 𝑛)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 𝑛)))
201	122	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 · 𝑀) = (2 · ((𝑃 − 1) / 2))
202	10	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
203	202	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 𝑃 ∈ ℤ)
204		peano2zm 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
205	203, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
206	205	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
207	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → 2 ≠ 0)
208	206, 199, 207	divcan2d 11919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
209	201, 208	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (2 · 𝑀) = (𝑃 − 1))
210	209	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((2 · 𝑀) − (2 · 𝑛)) = ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑛)))
211	200, 210	eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑛)) = (2 · (𝑀 − 𝑛)))
212	197, 198, 211	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1)) = (2 · (𝑀 − 𝑛)))
213	212	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (𝑃 − (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑃 − (2 · (𝑀 − 𝑛))))
214	195, 213, 140	3eqtr3rd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · (𝑀 − 𝑛))))
215		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 = (𝑀 − 𝑛) → (2 · 𝑢) = (2 · (𝑀 − 𝑛)))
216	215	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 = (𝑀 − 𝑛) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) = (𝑃 − (2 · (𝑀 − 𝑛))))
217	216	rspceeqv 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 − 𝑛) ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · (𝑀 − 𝑛)))) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
218	188, 214, 217	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧))) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
219	218	rexlimdvaa 3138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (1^st ‘𝑧) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
220	121, 219	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
221	114, 220	impbid 212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)))
222	221	rabbidva 3405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})
223	81, 222	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})
224	223	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘∪ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))
225	27	relopabiv 5769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Rel 𝑆
226		relss 5731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆 → (Rel 𝑆 → Rel {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}))
227	54, 225, 226	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Rel {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}
228		relxp 5642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Rel ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
229	27	eleq2i 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))})
230		opabidw 5472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)))
231	229, 230	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)))
232		anass 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))))
233	20	peano2zd 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℤ)
234	233	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℝ)
235	234	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℝ)
236	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℝ)
237		nnre 12152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
238	237	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
239		lesub 11616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))))
240	235, 236, 238, 239	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))))
241	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℝ)
242	241	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℂ)
243	63, 242	mulcomd 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 · 𝑄) = (𝑄 · 𝑃))
244	65, 242	mulcomd 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) · 𝑄) = (𝑄 · (2 · 𝑢)))
245	62	nnne0d 12195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ≠ 0)
246	242, 63, 245	divcan1d 11918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) = 𝑄)
247	246	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) · (2 · 𝑢)) = (𝑄 · (2 · 𝑢)))
248	12	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℂ)
249	248, 63, 65	mul32d 11343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) · (2 · 𝑢)) = (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃))
250	244, 247, 249	3eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) · 𝑄) = (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃))
251	243, 250	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 · 𝑄) − ((2 · 𝑢) · 𝑄)) = ((𝑄 · 𝑃) − (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃)))
252	63, 65, 242	subdird 11594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑃 · 𝑄) − ((2 · 𝑢) · 𝑄)))
253	19	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℂ)
254	242, 253, 63	subdird 11594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃) = ((𝑄 · 𝑃) − (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃)))
255	251, 252, 254	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃))
256	255	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃))
257	256	breq2d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃)))
258	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
259	236, 258	resubcld 11565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ)
260	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
261	260	nnred 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ)
262	260	nngt0d 12194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < 𝑃)
263		ltmul1 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃)))
264	238, 259, 261, 262, 263	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃)))
265		ltsub13 11618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦)))
266	238, 236, 258, 265	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦)))
267	257, 264, 266	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦)))
268	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℕ)
269	268	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℤ)
270		nnz 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
271		zsubcl 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑄 − 𝑦) ∈ ℤ)
272	269, 270, 271	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − 𝑦) ∈ ℤ)
273		fllt 13726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ (𝑄 − 𝑦) ∈ ℤ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦) ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄 − 𝑦)))
274	258, 272, 273	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦) ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄 − 𝑦)))
275	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ)
276		zltp1le 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ (𝑄 − 𝑦) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄 − 𝑦) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦)))
277	275, 272, 276	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄 − 𝑦) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦)))
278	267, 274, 277	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦)))
279		lgsquad.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2)
280	279	oveq2i 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (2 · 𝑁) = (2 · ((𝑄 − 1) / 2))
281		peano2rem 11448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 − 1) ∈ ℝ)
282	241, 281	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) ∈ ℝ)
283	282	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) ∈ ℂ)
284		2cnd 12223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℂ)
285	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ≠ 0)
286	283, 284, 285	divcan2d 11919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · ((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑄 − 1))
287	280, 286	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) = (𝑄 − 1))
288	287	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = ((𝑄 − 1) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
289		1cnd 11127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
290	20	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℂ)
291	242, 289, 290	sub32d 11524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = ((𝑄 − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) − 1))
292	242, 290, 289	subsub4d 11523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) − 1) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))
293	288, 291, 292	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))
294	293	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))
295	294	breq2d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))))
296	240, 278, 295	3bitr4d 311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
297	296	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
298		2nn 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 2 ∈ ℕ
299	6, 279	gausslemma2dlem0b 27324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
300		nnmulcl 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
301	298, 299, 300	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
302	301	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
303	302	nnred 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
304	299	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
305	304	nnred 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
306	20	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ)
307	299	nncnd 12161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
308	307	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
309	308	2timesd 12384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
310	308, 308, 309	mvrladdd 11550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
311	241	rehalfcld 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ∈ ℝ)
312	241	ltm1d 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) < 𝑄)
313	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℝ)
314	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 2)
315		ltdiv1 12006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑄 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑄 − 1) < 𝑄 ↔ ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2)))
316	282, 241, 313, 314, 315	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) < 𝑄 ↔ ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2)))
317	312, 316	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2))
318	279, 317	eqbrtrid 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 < (𝑄 / 2))
319	305, 311, 318	ltled 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ (𝑄 / 2))
320	242, 284, 63, 285	div32d 11940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 2) · 𝑃) = (𝑄 · (𝑃 / 2)))
321	124	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
322	321	rehalfcld 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
323		peano2re 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((⌊‘(𝑀 / 2)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℝ)
324	322, 133, 323	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℝ)
325	15	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℝ)
326		flltp1 13720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑀 / 2) ∈ ℝ → (𝑀 / 2) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1))
327	322, 326	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1))
328		elfzle1 13443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ 𝑢)
329	328	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ 𝑢)
330	322, 324, 325, 327, 329	ltletrd 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) < 𝑢)
331		ltdivmul 12017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑀 / 2) < 𝑢 ↔ 𝑀 < (2 · 𝑢)))
332	321, 325, 313, 314, 331	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 / 2) < 𝑢 ↔ 𝑀 < (2 · 𝑢)))
333	330, 332	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 < (2 · 𝑢))
334	122, 333	eqbrtrrid 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢))
335	62	nnred 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℝ)
336		peano2rem 11448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
337	335, 336	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
338		ltdivmul 12017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
339	337, 18, 313, 314, 338	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
340	334, 339	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢)))
341	202	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
342		zmulcl 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℤ) → (2 · (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
343	13, 17, 342	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
344		zlem1lt 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · (2 · 𝑢)) ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
345	341, 343, 344	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 · 𝑢))))
346	340, 345	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)))
347		ledivmul 12018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢))))
348	335, 18, 313, 314, 347	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢))))
349	346, 348	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢))
350	335	rehalfcld 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
351	268	nngt0d 12194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 𝑄)
352		lemul2 11994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢))))
353	350, 18, 241, 351, 352	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢))))
354	349, 353	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)))
355	320, 354	eqbrtrd 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)))
356	241, 18	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ)
357	62	nngt0d 12194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 𝑃)
358		lemuldiv 12022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑄 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)))
359	311, 356, 335, 357, 358	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)))
360	355, 359	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃))
361	242, 65, 63, 245	div23d 11954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) = ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
362	360, 361	breqtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
363	305, 311, 19, 319, 362	letrd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))
364	299	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
365	364	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
366		flge 13725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
367	19, 365, 366	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
368	363, 367	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
369	310, 368	eqbrtrd 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))
370	303, 305, 306, 369	subled 11740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁)
371	370	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁)
372	302	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
373	372, 20	zsubcld 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ)
374	373	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ)
375	374	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℝ)
376	299	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
377	376	nnred 12160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
378		letr 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∧ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁))
379	238, 375, 377, 378	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∧ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁))
380	371, 379	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) → 𝑦 ≤ 𝑁))
381	380	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
382	297, 381	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
383	382	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
384	383	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
385	232, 384	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
386		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
387	341, 17	zsubcld 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ)
388		elfzle2 13444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → 𝑢 ≤ 𝑀)
389	388	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ≤ 𝑀)
390	389, 122	breqtrdi 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
391		lemuldiv2 12023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
392	325, 337, 313, 314, 391	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
393	390, 392	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1))
394	335	ltm1d 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) < 𝑃)
395	18, 337, 335, 393, 394	lelttrd 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) < 𝑃)
396	18, 335	posdifd 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ 0 < (𝑃 − (2 · 𝑢))))
397	395, 396	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < (𝑃 − (2 · 𝑢)))
398		elnnz 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃 − (2 · 𝑢))))
399	387, 397, 398	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ)
400	63, 65, 289	sub32d 11524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) = ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑢)))
401	122, 122	oveq12i 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑀 + 𝑀) = (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2))
402	62	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ)
403	402, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
404	403	zcnd 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
405	404	2halvesd 12387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
406	401, 405	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 + 𝑀) = (𝑃 − 1))
407	406	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑀) − 𝑀) = ((𝑃 − 1) − 𝑀))
408	158	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
409	408, 408	pncan2d 11494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑀) − 𝑀) = 𝑀)
410	407, 409	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − 𝑀) = 𝑀)
411	410, 333	eqbrtrd 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − 𝑀) < (2 · 𝑢))
412	337, 321, 18, 411	ltsub23d 11742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑢)) < 𝑀)
413	400, 412	eqbrtrd 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀)
414	123	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
415	414	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
416		zlem1lt 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀 ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀))
417	387, 415, 416	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀 ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀))
418	413, 417	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀)
419		fznn 13508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀) ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀)))
420	415, 419	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀) ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀)))
421	399, 418, 420	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀))
422	421	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀))
423	386, 422	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑥 ∈ (1...𝑀))
424	423	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁))))
425	364	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑁 ∈ ℤ)
426		fznn 13508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
427	425, 426	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
428	424, 427	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁)))
429	386	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑥 · 𝑄) = ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))
430	429	breq2d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)))
431	428, 430	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))))
432	373	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ)
433		fznn 13508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
434	432, 433	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
435	385, 431, 434	3bitr4d 311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
436	231, 435	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
437	436	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))))
438		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑥 ∈ V
439		vex 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑦 ∈ V
440	438, 439	op1std 7943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1^st ‘𝑧) = 𝑥)
441	440	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
442	441	elrab 3646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))))
443	442	biancomi 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑆))
444		opelxp 5660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
445		velsn 4596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)))
446	445	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
447	444, 446	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
448	437, 443, 447	3bitr4g 314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))))
449	227, 228, 448	eqrelrdv 5741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
450	449	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = (♯‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))))
451		fzfid 13896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ∈ Fin)
452		xpsnen2g 8998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ∈ Fin) → ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
453	387, 451, 452	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
454		hasheni 14271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) → (♯‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) = (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
455	453, 454	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) = (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))
456		ltmul2 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((2 · 𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄)) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
457	18, 335, 241, 351, 456	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
458	395, 457	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃))
459		ltdivmul2 12019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
460	356, 241, 335, 357, 459	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)))
461	458, 460	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄)
462	361, 461	eqbrtrrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄)
463		fllt 13726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄))
464	19, 269, 463	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄))
465	462, 464	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄)
466		zltlem1 12544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1)))
467	20, 269, 466	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1)))
468	465, 467	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1))
469	468, 287	breqtrrd 5126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (2 · 𝑁))
470		eluz2 12757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (2 · 𝑁)))
471	20, 372, 469, 470	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
472		uznn0sub 12786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℕ₀)
473		hashfz1 14269	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
474	471, 472, 473	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
475	450, 455, 474	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
476	475	sumeq2dv 15625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1^st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
477	80, 224, 476	3eqtr3rd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))
478	301	nncnd 12161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
479	478	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
480	5, 479, 290	fsumsub 15711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
481	477, 480	eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) = (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))
482	481	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) = (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))
483	21	zcnd 12597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℂ)
484	5, 372	fsumzcl 15658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) ∈ ℤ)
485	484	zcnd 12597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) ∈ ℂ)
486	483, 485	pncan3d 11495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁))
487		fsumconst 15713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ) → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) = ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁)))
488	5, 478, 487	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) = ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁)))
489		hashcl 14279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℕ₀)
490	5, 489	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℕ₀)
491	490	nn0cnd 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℂ)
492		2cnd 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
493	491, 492, 307	mul12d 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁)) = (2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
494	488, 493	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) = (2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
495	482, 486, 494	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) = (2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
496	495	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = (-1↑(2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))))
497	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
498	490	nn0zd 12513	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℤ)
499	498, 364	zmulcld 12602	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ)
500		expmulz 14031	. . . . . 6 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) = ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
501	2, 4, 497, 499, 500	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-1↑(2 · ((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) = ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))
502		neg1sqe1 14119	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑2) = 1
503	502	oveq1i 7368	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = (1↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))
504		1exp 14014	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ → (1↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1)
505	499, 504	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1)
506	503, 505	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑2)↑((♯‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1)
507	496, 501, 506	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = 1)
508	41, 52, 507	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))))
509		expaddz 14029	. . . 4 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}) ∈ ℤ)) → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = ((-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))))
510	2, 4, 21, 39, 509	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = ((-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))))
511	508, 510	eqtr2d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))) = ((-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})) · (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)}))))
512	22, 38, 38, 40, 511	mulcan2ad 11773	1 ⊢ (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(♯‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1^st ‘𝑧)})))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2932 ∀wral 3051 ∃wrex 3060 {crab 3399 ∖ cdif 3898 ⊆ wss 3901 {csn 4580 ⟨cop 4586 ∪ ciun 4946 Disj wdisj 5065 class class class wbr 5098 {copab 5160 × cxp 5622 Rel wrel 5629 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 1^st c1st 7931 ≈ cen 8880 Fincfn 8883 ℂcc 11024 ℝcr 11025 0cc0 11026 1c1 11027 + caddc 11029 · cmul 11031 < clt 11166 ≤ cle 11167 − cmin 11364 -cneg 11365 / cdiv 11794 ℕcn 12145 2c2 12200 ℕ₀cn0 12401 ℤcz 12488 ℤ_≥cuz 12751 ...cfz 13423 ⌊cfl 13710 ↑cexp 13984 ♯chash 14253 Σcsu 15609 ∥ cdvds 16179 ℙcprime 16598

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-inf2 9550 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103 ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-disj 5066 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-2o 8398 df-er 8635 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9345 df-inf 9346 df-oi 9415 df-card 9851 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-4 12210 df-n0 12402 df-z 12489 df-uz 12752 df-rp 12906 df-fz 13424 df-fzo 13571 df-fl 13712 df-seq 13925 df-exp 13985 df-hash 14254 df-cj 15022 df-re 15023 df-im 15024 df-sqrt 15158 df-abs 15159 df-clim 15411 df-sum 15610 df-dvds 16180 df-prm 16599

This theorem is referenced by: lgsquadlem2 27348

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