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Theorem xrsxmet 24832
Description: The metric on the extended reals is a proper extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsxmet 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)

Proof of Theorem xrsxmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrex 13030 . . . 4 * ∈ V
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ* ∈ V)
3 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)
4 xnegcl 13256 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
5 xaddcl 13282 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*)
63, 4, 5syl2anr 597 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*)
7 xnegcl 13256 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ* → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
8 xaddcl 13282 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ∈ ℝ*)
97, 8sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ∈ ℝ*)
106, 9ifcld 4571 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) ∈ ℝ*)
1110rgen2 3198 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) ∈ ℝ*
12 xrsxmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
1312xrsds 21428 . . . . . 6 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
1413fmpo 8094 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) ∈ ℝ*𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*)
1511, 14mpbi 230 . . . 4 𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
1615a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*)
17 breq2 5146 . . . . . 6 ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → (0 ≤ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ↔ 0 ≤ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))))
18 breq2 5146 . . . . . 6 ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → (0 ≤ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ↔ 0 ≤ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))))
19 xsubge0 13304 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ↔ 𝑥𝑦))
2019ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ↔ 𝑥𝑦))
2120biimpar 477 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → 0 ≤ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥))
22 xrletri 13196 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
2322orcanai 1004 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → 𝑦𝑥)
24 xsubge0 13304 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ↔ 𝑦𝑥))
2524biimpar 477 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦𝑥) → 0 ≤ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
2623, 25syldan 591 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → 0 ≤ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
2717, 18, 21, 26ifbothda 4563 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 0 ≤ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
2812xrsdsval 21429 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐷𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
2927, 28breqtrrd 5170 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
3029adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
3129biantrud 531 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
3228, 10eqeltrd 2840 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
33 0xr 11309 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
34 xrletri3 13197 . . . . . 6 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
3532, 33, 34sylancl 586 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
36 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
37 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
38 0re 11264 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
3937, 38eqeltrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
4012xrsdsreclb 21432 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑥𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
4140ad4ant124 1173 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
4239, 41mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
4342simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
4443recnd 11290 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℂ)
4542simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
4645recnd 11290 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
47 rexsub 13276 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = (𝑥𝑦))
4842, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = (𝑥𝑦))
4928eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0))
5049biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0)
52 xneg11 13258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = -𝑒0 ↔ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0))
536, 33, 52sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = -𝑒0 ↔ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0))
54 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
56 xnegdi 13291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = (-𝑒𝑦 +𝑒 -𝑒-𝑒𝑥))
5754, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = (-𝑒𝑦 +𝑒 -𝑒-𝑒𝑥))
58 xnegneg 13257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥)
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥)
6059oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 +𝑒 -𝑒-𝑒𝑥) = (-𝑒𝑦 +𝑒 𝑥))
617adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
62 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
63 xaddcom 13283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-𝑒𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
6461, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
6557, 60, 643eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
66 xneg0 13255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑒0 = 0
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒0 = 0)
6865, 67eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = -𝑒0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
6953, 68bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
7069ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
71 biidd 262 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
72 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0))
7372bibi1d 343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → (((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0) ↔ (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)))
74 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0 ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0))
7574bibi1d 343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → (((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0) ↔ (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)))
7673, 75ifboth 4564 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0) ∧ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)) → (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
7770, 71, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
7851, 77mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)
7948, 78eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦) = 0)
8044, 46, 79subeq0d 11629 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
8136, 80pm2.61dane 3028 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) → 𝑥 = 𝑦)
8281ex 412 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
8312xrsdsval 21429 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑦) = if(𝑦𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦)))
8483anidms 566 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦𝐷𝑦) = if(𝑦𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦)))
85 xrleid 13194 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦𝑦)
8685iftrued 4532 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → if(𝑦𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦))
87 xnegid 13281 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)
8884, 86, 873eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦𝐷𝑦) = 0)
8988adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑦) = 0)
90 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑦))
9190eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑦𝐷𝑦) = 0))
9289, 91syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐷𝑦) = 0))
9382, 92impbid 212 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
9431, 35, 933bitr2d 307 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
9594adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
96 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)
9796leidd 11830 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) ≤ (𝑧𝐷𝑦))
98 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑧 = 𝑥)
9998oveq1d 7447 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
10098oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑥𝐷𝑥))
101 simpll1 1212 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
102 oveq12 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥) → (𝑦𝐷𝑦) = (𝑥𝐷𝑥))
103102anidms 566 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷𝑦) = (𝑥𝐷𝑥))
104103eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
105104, 88vtoclga 3576 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
106101, 105syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
107100, 106eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑥) = 0)
108107oveq1d 7447 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = (0 + (𝑧𝐷𝑦)))
10996recnd 11290 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℂ)
110109addlidd 11463 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (0 + (𝑧𝐷𝑦)) = (𝑧𝐷𝑦))
111108, 110eqtr2d 2777 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
11297, 99, 1113brtr3d 5173 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
113 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)
114113oveq1d 7447 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑦𝐷𝑥))
115 simplrl 776 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ)
116114, 115eqeltrrd 2841 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)
117116leidd 11830 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ≤ (𝑦𝐷𝑥))
118 simpll1 1212 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
119 simpll2 1213 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
120 oveq2 7440 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑦𝐷𝑥) = (𝑦𝐷𝑦))
12190, 120eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
122121adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
123 eqeq2 2748 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)) → (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥))))
124 eqeq2 2748 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)) → (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥))))
125 xrleloe 13187 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
126125adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
127 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
128127neneqd 2944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
129 biorf 936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 = 𝑦𝑥 < 𝑦)))
130 orcom 870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑦𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦))
131129, 130bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
132128, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
133 xrltnle 11329 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
134133adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
135126, 132, 1343bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
136135con2bid 354 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
137136biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑥𝑦)
138137iffalsed 4535 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑦𝑥) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
139135biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
140139iftrued 4532 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥))
141123, 124, 138, 140ifbothda 4563 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)))
14228adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
14312xrsdsval 21429 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑥) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)))
144143ancoms 458 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑥) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)))
145144adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)))
146141, 142, 1453eqtr4d 2786 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
147122, 146pm2.61dane 3028 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
148118, 119, 147syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
149113oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑦))
150119, 88syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑦) = 0)
151149, 150eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑦) = 0)
152114, 151oveq12d 7450 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑦𝐷𝑥) + 0))
153116recnd 11290 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℂ)
154153addridd 11462 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → ((𝑦𝐷𝑥) + 0) = (𝑦𝐷𝑥))
155152, 154eqtrd 2776 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = (𝑦𝐷𝑥))
156117, 148, 1553brtr4d 5174 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
157 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ)
158 simpll3 1214 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
159 simpll1 1212 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
160 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧𝑥)
16112xrsdsreclb 21432 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑧𝑥) → ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
162158, 159, 160, 161syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
163157, 162mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
164163simprd 495 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
165164recnd 11290 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
166 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)
167 simpll2 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
168 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧𝑦)
16912xrsdsreclb 21432 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧𝑦) → ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
170158, 167, 168, 169syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
171166, 170mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
172171simprd 495 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
173172recnd 11290 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
174163simpld 494 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ)
175174recnd 11290 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
176165, 173, 175abs3difd 15500 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
17712xrsdsreval 21430 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
178164, 172, 177syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
17912xrsdsreval 21430 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧𝐷𝑥) = (abs‘(𝑧𝑥)))
180163, 179syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) = (abs‘(𝑧𝑥)))
181175, 165abssubd 15493 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (abs‘(𝑧𝑥)) = (abs‘(𝑥𝑧)))
182180, 181eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥𝑧)))
18312xrsdsreval 21430 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧𝐷𝑦) = (abs‘(𝑧𝑦)))
184171, 183syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑦) = (abs‘(𝑧𝑦)))
185182, 184oveq12d 7450 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
186176, 178, 1853brtr4d 5174 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
187112, 156, 186pm2.61da2ne 3029 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
1881873adant1 1130 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
1892, 16, 30, 95, 188isxmet2d 24338 . 2 (⊤ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*))
190189mptru 1546 1 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wtru 1540  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  Vcvv 3479  ifcif 4524   class class class wbr 5142   × cxp 5682  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  -𝑒cxne 13152   +𝑒 cxad 13153  abscabs 15274  distcds 17307  *𝑠cxrs 17546  ∞Metcxmet 21350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-icc 13395  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-xrs 17548  df-xmet 21358
This theorem is referenced by:  xrsdsre  24833  xrsblre  24834  xrsmopn  24835  metdcnlem  24859  xmetdcn2  24860  xmetdcn  24861  metdscn  24879  metdscn2  24880
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