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Theorem xrsxmet 24172
Description: The metric on the extended reals is a proper extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsxmet.1 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsxmet 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)

Proof of Theorem xrsxmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrex 12912 . . . 4 * ∈ V
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℝ* ∈ V)
3 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)
4 xnegcl 13132 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
5 xaddcl 13158 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*)
63, 4, 5syl2anr 597 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*)
7 xnegcl 13132 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ* → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
8 xaddcl 13158 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ∈ ℝ*)
97, 8sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ∈ ℝ*)
106, 9ifcld 4532 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) ∈ ℝ*)
1110rgen2 3194 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) ∈ ℝ*
12 xrsxmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
1312xrsds 20840 . . . . . 6 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
1413fmpo 8000 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) ∈ ℝ*𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*)
1511, 14mpbi 229 . . . 4 𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*
1615a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐷:(ℝ* × ℝ*)⟶ℝ*)
17 breq2 5109 . . . . . 6 ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → (0 ≤ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ↔ 0 ≤ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))))
18 breq2 5109 . . . . . 6 ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → (0 ≤ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ↔ 0 ≤ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))))
19 xsubge0 13180 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ↔ 𝑥𝑦))
2019ancoms 459 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ↔ 𝑥𝑦))
2120biimpar 478 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → 0 ≤ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥))
22 xrletri 13072 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
2322orcanai 1001 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → 𝑦𝑥)
24 xsubge0 13180 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ↔ 𝑦𝑥))
2524biimpar 478 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦𝑥) → 0 ≤ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
2623, 25syldan 591 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝑥𝑦) → 0 ≤ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
2717, 18, 21, 26ifbothda 4524 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 0 ≤ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
2812xrsdsval 20841 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐷𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
2927, 28breqtrrd 5133 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
3029adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
3129biantrud 532 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
3228, 10eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
33 0xr 11202 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
34 xrletri3 13073 . . . . . 6 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
3532, 33, 34sylancl 586 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
36 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
37 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
38 0re 11157 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
3937, 38eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
4012xrsdsreclb 20844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑥𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
4140ad4ant124 1173 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
4239, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
4342simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
4443recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℂ)
4542simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
4645recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
47 rexsub 13152 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = (𝑥𝑦))
4842, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = (𝑥𝑦))
4928eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0))
5049biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0)
52 xneg11 13134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = -𝑒0 ↔ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0))
536, 33, 52sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = -𝑒0 ↔ (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0))
54 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
56 xnegdi 13167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = (-𝑒𝑦 +𝑒 -𝑒-𝑒𝑥))
5754, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = (-𝑒𝑦 +𝑒 -𝑒-𝑒𝑥))
58 xnegneg 13133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥)
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥)
6059oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 +𝑒 -𝑒-𝑒𝑥) = (-𝑒𝑦 +𝑒 𝑥))
617adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
62 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
63 xaddcom 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-𝑒𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
6461, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 +𝑒 𝑥) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
6557, 60, 643eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
66 xneg0 13131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑒0 = 0
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒0 = 0)
6865, 67eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = -𝑒0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
6953, 68bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
7069ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
71 biidd 261 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
72 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0))
7372bibi1d 343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → (((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0) ↔ (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)))
74 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0 ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0))
7574bibi1d 343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) → (((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0) ↔ (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)))
7673, 75ifboth 4525 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0) ∧ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)) → (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
7770, 71, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = 0 ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0))
7851, 77mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)
7948, 78eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦) = 0)
8044, 46, 79subeq0d 11520 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
8136, 80pm2.61dane 3032 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥𝐷𝑦) = 0) → 𝑥 = 𝑦)
8281ex 413 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 → 𝑥 = 𝑦))
8312xrsdsval 20841 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑦) = if(𝑦𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦)))
8483anidms 567 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦𝐷𝑦) = if(𝑦𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦)))
85 xrleid 13070 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦𝑦)
8685iftrued 4494 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → if(𝑦𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦))
87 xnegid 13157 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑦) = 0)
8884, 86, 873eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ* → (𝑦𝐷𝑦) = 0)
8988adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑦) = 0)
90 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑦))
9190eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑦𝐷𝑦) = 0))
9289, 91syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐷𝑦) = 0))
9382, 92impbid 211 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
9431, 35, 933bitr2d 306 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
9594adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
96 simplrr 776 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)
9796leidd 11721 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) ≤ (𝑧𝐷𝑦))
98 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑧 = 𝑥)
9998oveq1d 7372 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑥𝐷𝑦))
10098oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑥𝐷𝑥))
101 simpll1 1212 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
102 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥) → (𝑦𝐷𝑦) = (𝑥𝐷𝑥))
103102anidms 567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷𝑦) = (𝑥𝐷𝑥))
104103eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐷𝑦) = 0 ↔ (𝑥𝐷𝑥) = 0))
105104, 88vtoclga 3534 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
106101, 105syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑥𝐷𝑥) = 0)
107100, 106eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑥) = 0)
108107oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = (0 + (𝑧𝐷𝑦)))
10996recnd 11183 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℂ)
110109addid2d 11356 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (0 + (𝑧𝐷𝑦)) = (𝑧𝐷𝑦))
111108, 110eqtr2d 2777 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐷𝑦) = ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
11297, 99, 1113brtr3d 5136 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
113 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)
114113oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑦𝐷𝑥))
115 simplrl 775 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ)
116114, 115eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℝ)
117116leidd 11721 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ≤ (𝑦𝐷𝑥))
118 simpll1 1212 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
119 simpll2 1213 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
120 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑦𝐷𝑥) = (𝑦𝐷𝑦))
12190, 120eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
122121adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
123 eqeq2 2748 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)) → (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥))))
124 eqeq2 2748 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)) → (if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) ↔ if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥))))
125 xrleloe 13063 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
126125adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
127 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
128127neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
129 biorf 935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 = 𝑦𝑥 < 𝑦)))
130 orcom 868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑦𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦))
131129, 130bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
132128, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
133 xrltnle 11222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
134133adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
135126, 132, 1343bitr2d 306 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
136135con2bid 354 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑦))
137136biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑥𝑦)
138137iffalsed 4497 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) ∧ 𝑦𝑥) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦))
139135biimpar 478 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
140139iftrued 4494 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥))
141123, 124, 138, 140ifbothda 4524 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)))
14228adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = if(𝑥𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
14312xrsdsval 20841 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑥) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)))
144143ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦𝐷𝑥) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)))
145144adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) = if(𝑦𝑥, (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦), (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥)))
146141, 142, 1453eqtr4d 2786 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
147122, 146pm2.61dane 3032 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
148118, 119, 147syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑥))
149113oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑦𝐷𝑦))
150119, 88syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑦) = 0)
151149, 150eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑧𝐷𝑦) = 0)
152114, 151oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑦𝐷𝑥) + 0))
153116recnd 11183 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑦𝐷𝑥) ∈ ℂ)
154153addid1d 11355 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → ((𝑦𝐷𝑥) + 0) = (𝑦𝐷𝑥))
155152, 154eqtrd 2776 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = (𝑦𝐷𝑥))
156117, 148, 1553brtr4d 5137 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
157 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ)
158 simpll3 1214 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
159 simpll1 1212 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
160 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧𝑥)
16112xrsdsreclb 20844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑧𝑥) → ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
162158, 159, 160, 161syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)))
163157, 162mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
164163simprd 496 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
165164recnd 11183 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
166 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)
167 simpll2 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
168 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧𝑦)
16912xrsdsreclb 20844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧𝑦) → ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
170158, 167, 168, 169syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
171166, 170mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ))
172171simprd 496 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
173172recnd 11183 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
174163simpld 495 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ)
175174recnd 11183 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
176165, 173, 175abs3difd 15345 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
17712xrsdsreval 20842 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
178164, 172, 177syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
17912xrsdsreval 20842 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧𝐷𝑥) = (abs‘(𝑧𝑥)))
180163, 179syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) = (abs‘(𝑧𝑥)))
181175, 165abssubd 15338 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (abs‘(𝑧𝑥)) = (abs‘(𝑥𝑧)))
182180, 181eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥𝑧)))
18312xrsdsreval 20842 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧𝐷𝑦) = (abs‘(𝑧𝑦)))
184171, 183syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑧𝐷𝑦) = (abs‘(𝑧𝑦)))
185182, 184oveq12d 7375 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)) = ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
186176, 178, 1853brtr4d 5137 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝑥𝑧𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
187112, 156, 186pm2.61da2ne 3033 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
1881873adant1 1130 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐷𝑦) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) + (𝑧𝐷𝑦)))
1892, 16, 30, 95, 188isxmet2d 23680 . 2 (⊤ → 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*))
190189mptru 1548 1 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  ifcif 4486   class class class wbr 5105   × cxp 5631  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -𝑒cxne 13030   +𝑒 cxad 13031  abscabs 15119  distcds 17142  *𝑠cxrs 17382  ∞Metcxmet 20781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-xrs 17384  df-xmet 20789
This theorem is referenced by:  xrsdsre  24173  xrsblre  24174  xrsmopn  24175  metdcnlem  24199  xmetdcn2  24200  xmetdcn  24201  metdscn  24219  metdscn2  24220
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