Theorem pcgcd 16898

Description: The prime count of a GCD is the minimum of the prime counts of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcgcd	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵), (𝑃 pCnt 𝐴), (𝑃 pCnt 𝐵)))

Proof of Theorem pcgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcgcd1 16897	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
2		iftrue 4511	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) → if((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵), (𝑃 pCnt 𝐴), (𝑃 pCnt 𝐵)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → if((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵), (𝑃 pCnt 𝐴), (𝑃 pCnt 𝐵)) = (𝑃 pCnt 𝐴))
4	1, 3	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵), (𝑃 pCnt 𝐴), (𝑃 pCnt 𝐵)))
5		gcdcom 16532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐵 gcd 𝐴))
6	5	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐵 gcd 𝐴))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐵 gcd 𝐴))
8	7	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑃 pCnt (𝐵 gcd 𝐴)))
9		iffalse 4514	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) → if((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵), (𝑃 pCnt 𝐴), (𝑃 pCnt 𝐵)) = (𝑃 pCnt 𝐵))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → if((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵), (𝑃 pCnt 𝐴), (𝑃 pCnt 𝐵)) = (𝑃 pCnt 𝐵))
11		zq 12978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
12		pcxcl 16881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ*)
13	11, 12	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ*)
14	13	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ*)
15		zq 12978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℚ)
16		pcxcl 16881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*)
17	15, 16	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*)
18		xrletri 13177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑃 pCnt 𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∨ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴)))
19	14, 17, 18	3imp3i2an 1345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ∨ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴)))
20	19	orcanai 1004	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴))
21		3ancomb 1098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
22		pcgcd1 16897	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐵 gcd 𝐴)) = (𝑃 pCnt 𝐵))
23	21, 22	sylanb 581	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 pCnt 𝐵) ≤ (𝑃 pCnt 𝐴)) → (𝑃 pCnt (𝐵 gcd 𝐴)) = (𝑃 pCnt 𝐵))
24	20, 23	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → (𝑃 pCnt (𝐵 gcd 𝐴)) = (𝑃 pCnt 𝐵))
25	10, 24	eqtr4d 2772	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → if((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵), (𝑃 pCnt 𝐴), (𝑃 pCnt 𝐵)) = (𝑃 pCnt (𝐵 gcd 𝐴)))
26	8, 25	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵)) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵), (𝑃 pCnt 𝐴), (𝑃 pCnt 𝐵)))
27	4, 26	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝐴 gcd 𝐵)) = if((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵), (𝑃 pCnt 𝐴), (𝑃 pCnt 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ifcif 4505   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413  ℝ^*cxr 11276   ≤ cle 11278  ℤcz 12596  ℚcq 12972   gcd cgcd 16513  ℙcprime 16690   pCnt cpc 16856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691  df-pc 16857

This theorem is referenced by:  pc2dvds  16899  mumullem2  27159