MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2const2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2const2 25028
Description: When the base set of a constant function has infinite volume, the integral is also infinite and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2const2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem itg2const2
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ dom vol)
2 simpr 486 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3 rpre 12852 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
43ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5 rpge0 12857 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
65ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
7 elrege0 13300 . . . . 5 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
84, 6, 7sylanbrc 584 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
9 itg2const 25027 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
101, 2, 8, 9syl3anc 1372 . . 3 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
114, 2remulcld 11119 . . 3 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1210, 11eqeltrd 2839 . 2 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„)
13 mblvol 24816 . . . 4 (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜๐ด) = (vol*โ€˜๐ด))
1413ad2antrr 725 . . 3 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜๐ด) = (vol*โ€˜๐ด))
15 mblss 24817 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
1615ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
17 peano2re 11262 . . . . . . . 8 ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„ โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โˆˆ โ„)
1817adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โˆˆ โ„)
19 simplr 768 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
2018, 19rerpdivcld 12917 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„)
2120adantr 482 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„)
22 simpr 486 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต))
23 ovollecl 24769 . . . . 5 ((๐ด โŠ† โ„ โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2416, 21, 22, 23syl3anc 1372 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
25 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ dom vol)
2620adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„)
2726rexrd 11139 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„*)
28 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„)
293ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3029rexrd 11139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
315ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
32 elxrge0 13303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
3330, 31, 32sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
34 0e0iccpnf 13305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)
35 ifcl 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3633, 34, 35sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3736fmpttd 7058 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
39 itg2ge0 25022 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โ†’ 0 โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
4128, 40ge0p1rpd 12916 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โˆˆ โ„+)
4241, 19rpdivcld 12903 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„+)
4342rpge0d 12890 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต))
4443adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต))
4514breq2d 5116 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ((((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (volโ€˜๐ด) โ†” (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)))
4645biimpar 479 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (volโ€˜๐ด))
47 0xr 11136 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„*
48 iccssxr 13276 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+โˆž) โŠ† โ„*
49 volf 24815 . . . . . . . . . . . . 13 vol:dom volโŸถ(0[,]+โˆž)
5049ffvelcdmi 7029 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ (0[,]+โˆž))
5148, 50sselid 3941 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„*)
5225, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„*)
53 elicc1 13237 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„* โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„*) โ†’ ((((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ (0[,](volโ€˜๐ด)) โ†” ((((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (volโ€˜๐ด))))
5447, 52, 53sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ ((((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ (0[,](volโ€˜๐ด)) โ†” ((((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (volโ€˜๐ด))))
5527, 44, 46, 54mpbir3and 1343 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ (0[,](volโ€˜๐ด)))
56 volivth 24893 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ (0[,](volโ€˜๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ dom vol(๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))
5725, 55, 56syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ dom vol(๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))
5857ex 414 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ((((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ dom vol(๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต))))
59 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ dom vol)
60 simprrr 781 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต))
6120adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„)
6260, 61eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (volโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
633ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
6519adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
6665rpge0d 12890 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
6764, 66, 7sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
68 itg2const 25027 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐‘ง)))
6959, 62, 67, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐‘ง)))
7060oveq2d 7366 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (๐ต ยท (volโ€˜๐‘ง)) = (๐ต ยท (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))
7118recnd 11117 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โˆˆ โ„‚)
7263recnd 11117 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
73 rpne0 12860 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โ‰  0)
7473ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰  0)
7571, 72, 74divcan2d 11867 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1))
7675adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (๐ต ยท (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1))
7769, 70, 763eqtrd 2782 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0))) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1))
783adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
7978rexrd 11139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
805adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
8179, 80, 32sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
82 ifcl 4530 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
8381, 34, 82sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
8483adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
8584fmpttd 7058 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
8738adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
88 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+))
89 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต))) โ†’ ๐‘ง โŠ† ๐ด)
9078ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
9190leidd 11655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ต)
92 iftrue 4491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) = ๐ต)
9392adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) = ๐ต)
94 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ง โŠ† ๐ด)
9594sselda 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
9695iftrued 4493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) = ๐ต)
9791, 93, 963brtr4d 5136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
98 iffalse 4494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) = 0)
9998adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) = 0)
100 0le0 12188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โ‰ค 0
101 breq2 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
102 breq2 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โ†’ (0 โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
103101, 102ifboth 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
10480, 100, 103sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
105104ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
10699, 105eqbrtrd 5126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
10797, 106pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
108107ralrimiva 3142 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
109 reex 11076 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ โˆˆ V
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โ„ โˆˆ V)
111 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)))
112 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
113110, 84, 36, 111, 112ofrfval2 7629 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
114113biimpar 479 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
115108, 114syldan 592 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โŠ† ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
11688, 89, 115syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
117 itg2le 25026 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
11886, 87, 116, 117syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
11977, 118eqbrtrrd 5128 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
120 ltp1 11929 . . . . . . . . . 10 ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) < ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1))
121120ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) < ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1))
122 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„)
12317ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โˆˆ โ„)
124122, 123ltnled 11236 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) < ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โ†” ยฌ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))))
125121, 124mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ยฌ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
126119, 125pm2.21dd 194 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
127126rexlimdvaa 3152 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ dom vol(๐‘ง โŠ† ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„))
12858, 127syld 47 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ((((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„))
129128imp 408 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
13051ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„*)
13114, 130eqeltrrd 2840 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„*)
13220rexrd 11139 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„*)
133 xrletri 13001 . . . . 5 (((vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„* โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„*) โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆจ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)))
134131, 132, 133syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆจ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)))
13524, 129, 134mpjaodan 958 . . 3 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
13614, 135eqeltrd 2839 . 2 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
13712, 136impbida 800 1 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942  โˆ€wral 3063  โˆƒwrex 3072  Vcvv 3444   โŠ† wss 3909  ifcif 4485   class class class wbr 5104   โ†ฆ cmpt 5187  dom cdm 5631  โŸถwf 6488  โ€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   โˆ˜r cofr 7607  โ„cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990  +โˆžcpnf 11120  โ„*cxr 11122   < clt 11123   โ‰ค cle 11124   / cdiv 11746  โ„+crp 12844  [,)cico 13195  [,]cicc 13196  vol*covol 24748  volcvol 24749  โˆซ2citg2 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cc 10305  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-ofr 7609  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-dju 9771  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-ioo 13197  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-fl 13626  df-seq 13836  df-exp 13897  df-hash 14159  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-clim 15305  df-rlim 15306  df-sum 15506  df-rest 17239  df-topgen 17260  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-top 22165  df-topon 22182  df-bases 22218  df-cmp 22660  df-cncf 24163  df-ovol 24750  df-vol 24751  df-mbf 24905  df-itg1 24906  df-itg2 24907  df-0p 24956
This theorem is referenced by:  itg2gt0  25047
  Copyright terms: Public domain W3C validator