Theorem itg2const2 25626

Description: When the base set of a constant function has infinite volume, the integral is also infinite and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2const2	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem itg2const2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 764	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
3		rpre 12988	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		rpge0 12993	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐵)
6	5	ad2antlr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐵)
7		elrege0 13437	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
8	4, 6, 7	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
9		itg2const 25625	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
10	1, 2, 8, 9	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝐴)))
11	4, 2	remulcld 11248	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (vol‘𝐴)) ∈ ℝ)
12	10, 11	eqeltrd 2827	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
13		mblvol 25414	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
14	13	ad2antrr 723	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) = (vol*‘𝐴))
15		mblss 25415	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
16	15	ad3antrrr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
17		peano2re 11391	. . . . . . . 8 ⊢ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
19		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
20	18, 19	rerpdivcld 13053	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
23		ovollecl 25367	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
24	16, 21, 22, 23	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
25		simplll 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom vol)
26	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
27	26	rexrd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*)
28		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
29	3	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
30	29	rexrd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31	5	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐵)
32		elxrge0 13440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
33	30, 31, 32	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
34		0e0iccpnf 13442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
35		ifcl 4568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
36	33, 34, 35	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
37	36	fmpttd 7110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
39		itg2ge0 25620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 0 ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
41	28, 40	ge0p1rpd 13052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ+)
42	41, 19	rpdivcld 13039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ+)
43	42	rpge0d 13026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
45	14	breq2d 5153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴) ↔ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
46	45	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))
47		0xr 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
48		iccssxr 13413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
49		volf 25413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
50	49	ffvelcdmi 7079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
51	48, 50	sselid 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
52	25, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
53		elicc1 13374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)) ↔ ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))))
54	47, 52, 53	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)) ↔ ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol‘𝐴))))
55	27, 44, 46, 54	mpbir3and 1339	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴)))
56		volivth 25491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ (0[,](vol‘𝐴))) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
57	25, 55, 56	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
58	57	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴) → ∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))))
59		simprl 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝑧 ∈ dom vol)
60		simprrr 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))
61	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ)
62	60, 61	eqeltrd 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol‘𝑧) ∈ ℝ)
63	3	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
65	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
66	65	rpge0d 13026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 0 ≤ 𝐵)
67	64, 66, 7	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
68		itg2const 25625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝑧)))
69	59, 62, 67, 68	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0))) = (𝐵 · (vol‘𝑧)))
70	60	oveq2d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝐵 · (vol‘𝑧)) = (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))
71	18	recnd 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℂ)
72	63	recnd 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
73		rpne0 12996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
74	73	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
75	71, 72, 74	divcan2d 11996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝐵 · (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
77	69, 70, 76	3eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
78	3	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
79	78	rexrd 11268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
80	5	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
81	79, 80, 32	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
82		ifcl 4568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
83	81, 34, 82	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
84	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ∈ (0[,]+∞))
85	84	fmpttd 7110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
86	85	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
87	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
88		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+))
89		simprl 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵))) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
90	78	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝐵 ∈ ℝ)
91	90	leidd 11784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝐵 ≤ 𝐵)
92		iftrue 4529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑧 → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) = 𝐵)
93	92	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) = 𝐵)
94		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
95	94	sselda 3977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝐴)
96	95	iftrued 4531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
97	91, 93, 96	3brtr4d 5173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
98		iffalse 4532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝑧 → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) = 0)
99	98	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) = 0)
100		0le0 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 0
101		breq2 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
102		breq2 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 = if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
103	101, 102	ifboth 4562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ≤ 𝐵 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
104	80, 100, 103	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
105	104	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
106	99, 105	eqbrtrd 5163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝑧) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
107	97, 106	pm2.61dan 810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
108	107	ralrimiva 3140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
109		reex 11203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ∈ V
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ℝ ∈ V)
111		eqidd 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)))
112		eqidd 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
113	110, 84, 36, 111, 112	ofrfval2 7688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
114	113	biimpar 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
115	108, 114	syldan 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
116	88, 89, 115	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))
117		itg2le 25624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
118	86, 87, 116, 117	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑧, 𝐵, 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
119	77, 118	eqbrtrrd 5165	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
120		ltp1 12058	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
121	120	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1))
122		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
123	17	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ∈ ℝ)
124	122, 123	ltnled 11365	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) < ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ↔ ¬ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))))
125	121, 124	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → ¬ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
126	119, 125	pm2.21dd 194	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom vol ∧ (𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)))) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
127	126	rexlimdvaa 3150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ dom vol(𝑧 ⊆ 𝐴 ∧ (vol‘𝑧) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
128	58, 127	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ))
129	128	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
130	51	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ*)
131	14, 130	eqeltrrd 2828	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ*)
132	20	rexrd 11268	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*)
133		xrletri 13138	. . . . 5 ⊢ (((vol*‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∈ ℝ*) → ((vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∨ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
134	131, 132, 133	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → ((vol*‘𝐴) ≤ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ∨ (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) + 1) / 𝐵) ≤ (vol*‘𝐴)))
135	24, 129, 134	mpjaodan 955	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐴) ∈ ℝ)
136	14, 135	eqeltrd 2827	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
137	12, 136	impbida 798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((vol‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ∈ ℝ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘_r cofr 7666  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  +∞cpnf 11249  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253   / cdiv 11875  ℝ⁺crp 12980  [,)cico 13332  [,]cicc 13333  vol*covol 25346  volcvol 25347  ∫₂citg2 25500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-cncf 24753  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-0p 25554

This theorem is referenced by:  itg2gt0  25645