MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2const2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2const2 25687
Description: When the base set of a constant function has infinite volume, the integral is also infinite and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2const2 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem itg2const2
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ dom vol)
2 simpr 483 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
3 rpre 13012 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
43ad2antlr 725 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5 rpge0 13017 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
65ad2antlr 725 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
7 elrege0 13461 . . . . 5 (๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
84, 6, 7sylanbrc 581 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
9 itg2const 25686 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
101, 2, 8, 9syl3anc 1368 . . 3 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)))
114, 2remulcld 11272 . . 3 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (volโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1210, 11eqeltrd 2825 . 2 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„)
13 mblvol 25475 . . . 4 (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜๐ด) = (vol*โ€˜๐ด))
1413ad2antrr 724 . . 3 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜๐ด) = (vol*โ€˜๐ด))
15 mblss 25476 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ ๐ด โІ โ„)
1615ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) โ†’ ๐ด โІ โ„)
17 peano2re 11415 . . . . . . . 8 ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„ โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โˆˆ โ„)
1817adantl 480 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โˆˆ โ„)
19 simplr 767 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
2018, 19rerpdivcld 13077 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„)
2120adantr 479 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„)
22 simpr 483 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต))
23 ovollecl 25428 . . . . 5 ((๐ด โІ โ„ โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2416, 21, 22, 23syl3anc 1368 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
25 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ dom vol)
2620adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„)
2726rexrd 11292 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„*)
28 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„)
293ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3029rexrd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
315ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
32 elxrge0 13464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โ†” (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค ๐ต))
3330, 31, 32sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
34 0e0iccpnf 13466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)
35 ifcl 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3633, 34, 35sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
3736fmpttd 7119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
39 itg2ge0 25681 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โ†’ 0 โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
4128, 40ge0p1rpd 13076 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โˆˆ โ„+)
4241, 19rpdivcld 13063 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„+)
4342rpge0d 13050 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต))
4443adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต))
4514breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ((((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (volโ€˜๐ด) โ†” (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)))
4645biimpar 476 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (volโ€˜๐ด))
47 0xr 11289 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„*
48 iccssxr 13437 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+โˆž) โІ โ„*
49 volf 25474 . . . . . . . . . . . . 13 vol:dom volโŸถ(0[,]+โˆž)
5049ffvelcdmi 7087 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ (0[,]+โˆž))
5148, 50sselid 3970 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ dom vol โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„*)
5225, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„*)
53 elicc1 13398 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„* โˆง (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„*) โ†’ ((((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ (0[,](volโ€˜๐ด)) โ†” ((((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (volโ€˜๐ด))))
5447, 52, 53sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ ((((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ (0[,](volโ€˜๐ด)) โ†” ((((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„* โˆง 0 โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (volโ€˜๐ด))))
5527, 44, 46, 54mpbir3and 1339 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ (0[,](volโ€˜๐ด)))
56 volivth 25552 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ (0[,](volโ€˜๐ด))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ dom vol(๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))
5725, 55, 56syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ dom vol(๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))
5857ex 411 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ((((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ dom vol(๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต))))
59 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ dom vol)
60 simprrr 780 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต))
6120adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„)
6260, 61eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (volโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„)
633ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
6463adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
6519adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
6665rpge0d 13050 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
6764, 66, 7sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž))
68 itg2const 25686 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (volโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐‘ง)))
6959, 62, 67, 68syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0))) = (๐ต ยท (volโ€˜๐‘ง)))
7060oveq2d 7431 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (๐ต ยท (volโ€˜๐‘ง)) = (๐ต ยท (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))
7118recnd 11270 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โˆˆ โ„‚)
7263recnd 11270 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
73 rpne0 13020 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โ‰  0)
7473ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰  0)
7571, 72, 74divcan2d 12020 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1))
7675adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (๐ต ยท (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1))
7769, 70, 763eqtrd 2769 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0))) = ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1))
783adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
7978rexrd 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
805adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
8179, 80, 32sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž))
82 ifcl 4569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ต โˆˆ (0[,]+โˆž) โˆง 0 โˆˆ (0[,]+โˆž)) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
8381, 34, 82sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
8483adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โˆˆ (0[,]+โˆž))
8584fmpttd 7119 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
8685ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
8738adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž))
88 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+))
89 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต))) โ†’ ๐‘ง โІ ๐ด)
9078ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โІ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
9190leidd 11808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โІ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ต)
92 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) = ๐ต)
9392adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โІ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) = ๐ต)
94 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โІ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ง โІ ๐ด)
9594sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โІ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด)
9695iftrued 4532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โІ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) = ๐ต)
9791, 93, 963brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โІ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
98 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) = 0)
9998adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โІ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) = 0)
100 0le0 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โ‰ค 0
101 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ต = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
102 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 = if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0) โ†’ (0 โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
103101, 102ifboth 4563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 โ‰ค 0) โ†’ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
10480, 100, 103sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
105104ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โІ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ 0 โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
10699, 105eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โІ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โˆง ยฌ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
10797, 106pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โІ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
108107ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โІ ๐ด) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))
109 reex 11227 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ โˆˆ V
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ โ„ โˆˆ V)
111 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)))
112 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
113110, 84, 36, 111, 112ofrfval2 7702 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
114113biimpar 476 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0) โ‰ค if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
115108, 114syldan 589 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘ง โІ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
11688, 89, 115syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))
117 itg2le 25685 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)):โ„โŸถ(0[,]+โˆž) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0)) โˆ˜r โ‰ค (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
11886, 87, 116, 117syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ง, ๐ต, 0))) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
11977, 118eqbrtrrd 5167 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
120 ltp1 12082 . . . . . . . . . 10 ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„ โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) < ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1))
121120ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) < ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1))
122 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„)
12317ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โˆˆ โ„)
124122, 123ltnled 11389 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) < ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โ†” ยฌ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0)))))
125121, 124mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ ยฌ ((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) โ‰ค (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))))
126119, 125pm2.21dd 194 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ง โˆˆ dom vol โˆง (๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)))) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
127126rexlimdvaa 3146 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ dom vol(๐‘ง โІ ๐ด โˆง (volโ€˜๐‘ง) = (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต)) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„))
12858, 127syld 47 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ((((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„))
129128imp 405 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
13051ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„*)
13114, 130eqeltrrd 2826 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„*)
13220rexrd 11292 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„*)
133 xrletri 13162 . . . . 5 (((vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„* โˆง (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆˆ โ„*) โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆจ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)))
134131, 132, 133syl2anc 582 . . . 4 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ ((vol*โ€˜๐ด) โ‰ค (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โˆจ (((โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) + 1) / ๐ต) โ‰ค (vol*โ€˜๐ด)))
13524, 129, 134mpjaodan 956 . . 3 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (vol*โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
13614, 135eqeltrd 2825 . 2 (((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„) โ†’ (volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
13712, 136impbida 799 1 ((๐ด โˆˆ dom vol โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ((volโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†” (โˆซ2โ€˜(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ฅ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 0))) โˆˆ โ„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   โІ wss 3940  ifcif 4524   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  dom cdm 5672  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   โˆ˜r cofr 7680  โ„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   ยท cmul 11141  +โˆžcpnf 11273  โ„*cxr 11275   < clt 11276   โ‰ค cle 11277   / cdiv 11899  โ„+crp 13004  [,)cico 13356  [,]cicc 13357  vol*covol 25407  volcvol 25408  โˆซ2citg2 25561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-rest 17401  df-topgen 17422  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22865  df-cmp 23307  df-cncf 24814  df-ovol 25409  df-vol 25410  df-mbf 25564  df-itg1 25565  df-itg2 25566  df-0p 25615
This theorem is referenced by:  itg2gt0  25706
  Copyright terms: Public domain W3C validator