Theorem xrsdsreclb 21439

Description: The metric of the extended real number structure is only real when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsdsreclb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xrsdsreclb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsds.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
2	1	xrsdsval 21436	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐷𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
3	2	3adant3 1141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴𝐷𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
4	3	eleq1d 2841	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ↔ if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) ∈ ℝ))
5		eleq1 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) ∈ ℝ))
6	5	imbi1d 343	. . . 4 ⊢ ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) → (((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
7		eleq1 2844	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ ↔ if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) ∈ ℝ))
8	7	imbi1d 343	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) → (((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
9	1	xrsdsreclblem 21438	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
10		xrletri 13145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
11	10	3adant3 1141	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
12	11	orcanai 1013	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13		necom 3004	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
14	13	3anbi3i 1168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
15		3ancoma 1106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
16	14, 15	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
17	1	xrsdsreclblem 21438	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
18	16, 17	sylanb 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
19		ancom 463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
20	18, 19	imbitrdi 253	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
21	12, 20	syldan 599	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
22	6, 8, 9, 21	ifbothda 4513	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
23	4, 22	sylbid 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
24	1	xrsdsreval 21437	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
25		recn 11153	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
26		recn 11153	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
27		subcl 11419	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	syl2an 604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
29	28	abscld 15442	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
30	24, 29	eqeltrd 2856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
31	23, 30	impbid1 227	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 856   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ifcif 4474   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  ℝcr 11062  ℝ^*cxr 11205   ≤ cle 11207   − cmin 11404  -_𝑒cxne 13101   +_𝑒 cxad 13102  abscabs 15237  distcds 17271  ℝ^*_𝑠cxrs 17506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-fz 13503  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-struct 17159  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-xrs 17508

This theorem is referenced by:  xrsxmet  24843  xrsblre  24845  xrsmopn  24846