MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsdsreclb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xrsdsreclb 21192
Description: The metric of the extended real number structure is only real when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrsds.d 𝐷 = (distβ€˜β„*𝑠)
Assertion
Ref Expression
xrsdsreclb ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)))
Proof of Theorem xrsdsreclb
StepHypRef Expression
1 xrsds.d . . . . . 6 𝐷 = (distβ€˜β„*𝑠)
21xrsdsval 21189 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = if(𝐴 ≀ 𝐡, (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡)))
323adant3 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = if(𝐴 ≀ 𝐡, (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡)))
43eleq1d 2816 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ↔ if(𝐴 ≀ 𝐡, (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡)) ∈ ℝ))
5 eleq1 2819 . . . . 5 ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) = if(𝐴 ≀ 𝐡, (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡)) β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ if(𝐴 ≀ 𝐡, (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡)) ∈ ℝ))
65imbi1d 340 . . . 4 ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) = if(𝐴 ≀ 𝐡, (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡)) β†’ (((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)) ↔ (if(𝐴 ≀ 𝐡, (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡)) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))))
7 eleq1 2819 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡) = if(𝐴 ≀ 𝐡, (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡)) β†’ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡) ∈ ℝ ↔ if(𝐴 ≀ 𝐡, (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡)) ∈ ℝ))
87imbi1d 340 . . . 4 ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡) = if(𝐴 ≀ 𝐡, (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡)) β†’ (((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)) ↔ (if(𝐴 ≀ 𝐡, (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡)) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))))
91xrsdsreclblem 21191 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)))
10 xrletri 13136 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 ∨ 𝐡 ≀ 𝐴))
11103adant3 1130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 ∨ 𝐡 ≀ 𝐴))
1211orcanai 999 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ≀ 𝐴)
13 necom 2992 . . . . . . . . 9 (𝐴 β‰  𝐡 ↔ 𝐡 β‰  𝐴)
14133anbi3i 1157 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 β‰  𝐴))
15 3ancoma 1096 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 β‰  𝐴) ↔ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 β‰  𝐴))
1614, 15bitri 274 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ↔ (𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 β‰  𝐴))
171xrsdsreclblem 21191 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 β‰  𝐴) ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡) ∈ ℝ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
1816, 17sylanb 579 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡) ∈ ℝ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
19 ancom 459 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ))
2018, 19imbitrdi 250 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ 𝐡 ≀ 𝐴) β†’ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)))
2112, 20syldan 589 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ Β¬ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)))
226, 8, 9, 21ifbothda 4565 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (if(𝐴 ≀ 𝐡, (𝐡 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐡)) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)))
234, 22sylbid 239 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)))
241xrsdsreval 21190 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)))
25 recn 11202 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
26 recn 11202 . . . . 5 (𝐡 ∈ ℝ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
27 subcl 11463 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
2825, 26, 27syl2an 594 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
2928abscld 15387 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
3024, 29eqeltrd 2831 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)
3123, 30impbid1 224 1 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  ifcif 4527   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -𝑒cxne 13093   +𝑒 cxad 13094  abscabs 15185  distcds 17210  β„*𝑠cxrs 17450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-xrs 17452
This theorem is referenced by:  xrsxmet  24545  xrsblre  24547  xrsmopn  24548
  Copyright terms: Public domain W3C validator