Theorem xrsdsreclb 20594

Description: The metric of the extended real number structure is only real when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsdsreclb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xrsdsreclb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsds.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
2	1	xrsdsval 20591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐷𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
3	2	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴𝐷𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
4	3	eleq1d 2899	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ↔ if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) ∈ ℝ))
5		eleq1 2902	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ ↔ if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) ∈ ℝ))
6	5	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) → (((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
7		eleq1 2902	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ ↔ if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) ∈ ℝ))
8	7	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) → (((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ↔ (if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))))
9	1	xrsdsreclblem 20593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
10		xrletri 12549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
11	10	3adant3 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
12	11	orcanai 999	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13		necom 3071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
14	13	3anbi3i 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
15		3ancoma 1094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
16	14, 15	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
17	1	xrsdsreclblem 20593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
18	16, 17	sylanb 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)))
19		ancom 463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
20	18, 19	syl6ib 253	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
21	12, 20	syldan 593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
22	6, 8, 9, 21	ifbothda 4506	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
23	4, 22	sylbid 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
24	1	xrsdsreval 20592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
25		recn 10629	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
26		recn 10629	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
27		subcl 10887	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
29	28	abscld 14798	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
30	24, 29	eqeltrd 2915	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
31	23, 30	impbid1 227	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ifcif 4469   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  ℝ^*cxr 10676   ≤ cle 10678   − cmin 10872  -_𝑒cxne 12507   +_𝑒 cxad 12508  abscabs 14595  distcds 16576  ℝ^*_𝑠cxrs 16775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-xrs 16777

This theorem is referenced by:  xrsxmet  23419  xrsblre  23421  xrsmopn  23422