Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0omnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0omnd 33088
Description: The nonnegative extended real numbers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrge0omnd (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd

Proof of Theorem xrge0omnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0cmn 21426 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2 cmnmnd 19815 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
31, 2ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4 ovex 7464 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V
5 xrge0base 33016 . . . 4 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
6 xrge0le 33019 . . . 4 ≤ = (le‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
7 eliccxr 13475 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87xrleidd 13194 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥𝑥)
9 eliccxr 13475 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]+∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 xrletri3 13196 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥)))
1110biimprd 248 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
127, 9, 11syl2an 596 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
13 eliccxr 13475 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
14 xrletr 13200 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
157, 9, 13, 14syl3an 1161 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
164, 5, 6, 8, 12, 15isposi 18369 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Poset
17 xrletri 13195 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
187, 9, 17syl2an 596 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
1918rgen2 3199 . . 3 𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦𝑦𝑥)
205, 6istos 18463 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦𝑦𝑥)))
2116, 19, 20mpbir2an 711 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset
22 xleadd1a 13295 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
2322ex 412 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
247, 9, 13, 23syl3an 1161 . . 3 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2524rgen3 3204 . 2 𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
26 xrge0plusg 33018 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
275, 26, 6isomnd 33078 . 2 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))))
283, 21, 25, 27mpbir3an 1342 1 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296   +𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  s cress 17274  *𝑠cxrs 17545  Posetcpo 18353  Tosetctos 18461  Mndcmnd 18747  CMndccmn 19798  oMndcomnd 33074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-icc 13394  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-xrs 17547  df-poset 18359  df-toset 18462  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-cmn 19800  df-omnd 33076
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator