Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0omnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0omnd 32836
Description: The nonnegative extended real numbers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrge0omnd (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ oMnd

Proof of Theorem xrge0omnd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0cmn 21345 . . 3 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2 cmnmnd 19756 . . 3 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
31, 2ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4 ovex 7449 . . . 4 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ V
5 xrge0base 32786 . . . 4 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
6 xrge0le 32789 . . . 4 ≀ = (leβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
7 eliccxr 13444 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
87xrleidd 13163 . . . 4 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
9 eliccxr 13444 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]+∞) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
10 xrletri3 13165 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯)))
1110biimprd 247 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))
127, 9, 11syl2an 594 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))
13 eliccxr 13444 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
14 xrletr 13169 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
157, 9, 13, 14syl3an 1157 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
164, 5, 6, 8, 12, 15isposi 18315 . . 3 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Poset
17 xrletri 13164 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
187, 9, 17syl2an 594 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
1918rgen2 3188 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯)
205, 6istos 18409 . . 3 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Toset ↔ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Poset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯)))
2116, 19, 20mpbir2an 709 . 2 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Toset
22 xleadd1a 13264 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧))
2322ex 411 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
247, 9, 13, 23syl3an 1157 . . 3 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2524rgen3 3193 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘§ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧))
26 xrge0plusg 32788 . . 3 +𝑒 = (+gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
275, 26, 6isomnd 32826 . 2 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ oMnd ↔ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Toset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘§ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧))))
283, 21, 25, 27mpbir3an 1338 1 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ oMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  0cc0 11138  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   ≀ cle 11279   +𝑒 cxad 13122  [,]cicc 13359   β†Ύs cress 17208  β„*𝑠cxrs 17481  Posetcpo 18298  Tosetctos 18407  Mndcmnd 18693  CMndccmn 19739  oMndcomnd 32822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-xadd 13125  df-icc 13363  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-0g 17422  df-xrs 17483  df-poset 18304  df-toset 18408  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-cmn 19741  df-omnd 32824
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator