Theorem xrge0omnd 21661

Description: The nonnegative extended real numbers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0omnd	⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ oMnd

Proof of Theorem xrge0omnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0cmn 21660	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2		cmnmnd 19927	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4		ovex 7447	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ V
5		xrge0base 17696	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
6		xrge0le 17694	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
7		eliccxr 13491	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	7	xrleidd 13206	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ≤ 𝑥)
9		eliccxr 13491	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]+∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10		xrletri3 13208	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
11	10	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
12	7, 9, 11	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
13		eliccxr 13491	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
14		xrletr 13212	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
15	7, 9, 13, 14	syl3an 1178	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
16	4, 5, 6, 8, 12, 15	isposi 18414	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Poset
17		xrletri 13207	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
18	7, 9, 17	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
19	18	rgen2 3202	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)
20	5, 6	istos 18507	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Toset ↔ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
21	16, 19, 20	mpbir2an 724	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Toset
22		xleadd1a 13308	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
23	22	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
24	7, 9, 13, 23	syl3an 1178	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
25	24	rgen3 3207	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
26		xrge0plusg 21655	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
27	5, 26, 6	isomnd 20253	. 2 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ oMnd ↔ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Toset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))))
28	3, 21, 25, 27	mpbir3an 1360	1 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ oMnd

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  0cc0 11127  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   ≤ cle 11271   +_𝑒 cxad 13164  [,]cicc 13404   ↾_s cress 17325  ℝ^*_𝑠cxrs 17589  Posetcpo 18398  Tosetctos 18505  Mndcmnd 18839  CMndccmn 19910  oMndcomnd 20249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-xadd 13167  df-icc 13408  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-0g 17529  df-xrs 17591  df-poset 18404  df-toset 18506  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-cmn 19912  df-omnd 20251

This theorem is used by: (None)