Theorem xrge0omnd 21380

Description: The nonnegative extended real numbers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0omnd	⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ oMnd

Proof of Theorem xrge0omnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0cmn 21379	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2		cmnmnd 19707	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ V
5		xrge0base 17508	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
6		xrge0le 17506	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
7		eliccxr 13332	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	7	xrleidd 13048	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ≤ 𝑥)
9		eliccxr 13332	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]+∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10		xrletri3 13050	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
11	10	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
12	7, 9, 11	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
13		eliccxr 13332	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
14		xrletr 13054	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
15	7, 9, 13, 14	syl3an 1160	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
16	4, 5, 6, 8, 12, 15	isposi 18226	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Poset
17		xrletri 13049	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
18	7, 9, 17	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
19	18	rgen2 3172	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)
20	5, 6	istos 18319	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Toset ↔ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
21	16, 19, 20	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Toset
22		xleadd1a 13149	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
23	22	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
24	7, 9, 13, 23	syl3an 1160	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
25	24	rgen3 3177	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
26		xrge0plusg 21374	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
27	5, 26, 6	isomnd 20033	. 2 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ oMnd ↔ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Toset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))))
28	3, 21, 25, 27	mpbir3an 1342	1 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ oMnd

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  0cc0 11003  +∞cpnf 11140  ℝ^*cxr 11142   ≤ cle 11144   +_𝑒 cxad 13006  [,]cicc 13245   ↾_s cress 17138  ℝ^*_𝑠cxrs 17401  Posetcpo 18210  Tosetctos 18317  Mndcmnd 18639  CMndccmn 19690  oMndcomnd 20029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-xadd 13009  df-icc 13249  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-0g 17342  df-xrs 17403  df-poset 18216  df-toset 18318  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-cmn 19692  df-omnd 20031

This theorem is referenced by: (None)