Theorem xrge0omnd 33071

Description: The nonnegative extended real numbers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0omnd	⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ oMnd

Proof of Theorem xrge0omnd

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0cmn 21444	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2		cmnmnd 19830	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4		ovex 7464	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ V
5		xrge0base 32999	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
6		xrge0le 33002	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
7		eliccxr 13472	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
8	7	xrleidd 13191	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ≤ 𝑥)
9		eliccxr 13472	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]+∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10		xrletri3 13193	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥)))
11	10	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
12	7, 9, 11	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
13		eliccxr 13472	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
14		xrletr 13197	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
15	7, 9, 13, 14	syl3an 1159	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
16	4, 5, 6, 8, 12, 15	isposi 18382	. . 3 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Poset
17		xrletri 13192	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
18	7, 9, 17	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
19	18	rgen2 3197	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)
20	5, 6	istos 18476	. . 3 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Toset ↔ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
21	16, 19, 20	mpbir2an 711	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Toset
22		xleadd1a 13292	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
23	22	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
24	7, 9, 13, 23	syl3an 1159	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
25	24	rgen3 3202	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
26		xrge0plusg 33001	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
27	5, 26, 6	isomnd 33061	. 2 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ oMnd ↔ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ Toset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 ≤ 𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))))
28	3, 21, 25, 27	mpbir3an 1340	1 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ oMnd

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294   +_𝑒 cxad 13150  [,]cicc 13387   ↾_s cress 17274  ℝ^*_𝑠cxrs 17547  Posetcpo 18365  Tosetctos 18474  Mndcmnd 18760  CMndccmn 19813  oMndcomnd 33057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-icc 13391  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-xrs 17549  df-poset 18371  df-toset 18475  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-cmn 19815  df-omnd 33059

This theorem is referenced by: (None)