Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0omnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0omnd 31968
Description: The nonnegative extended real numbers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrge0omnd (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ oMnd

Proof of Theorem xrge0omnd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0cmn 20855 . . 3 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2 cmnmnd 19584 . . 3 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
31, 2ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4 ovex 7391 . . . 4 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ V
5 xrge0base 31925 . . . 4 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
6 xrge0le 31928 . . . 4 ≀ = (leβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
7 eliccxr 13358 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
87xrleidd 13077 . . . 4 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
9 eliccxr 13358 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]+∞) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
10 xrletri3 13079 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯)))
1110biimprd 248 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))
127, 9, 11syl2an 597 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))
13 eliccxr 13358 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
14 xrletr 13083 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
157, 9, 13, 14syl3an 1161 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
164, 5, 6, 8, 12, 15isposi 18218 . . 3 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Poset
17 xrletri 13078 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
187, 9, 17syl2an 597 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
1918rgen2 3191 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯)
205, 6istos 18312 . . 3 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Toset ↔ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Poset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯)))
2116, 19, 20mpbir2an 710 . 2 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Toset
22 xleadd1a 13178 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧))
2322ex 414 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
247, 9, 13, 23syl3an 1161 . . 3 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2524rgen3 3196 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘§ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧))
26 xrge0plusg 31927 . . 3 +𝑒 = (+gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
275, 26, 6isomnd 31958 . 2 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ oMnd ↔ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Toset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘§ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧))))
283, 21, 25, 27mpbir3an 1342 1 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ oMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  0cc0 11056  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   ≀ cle 11195   +𝑒 cxad 13036  [,]cicc 13273   β†Ύs cress 17117  β„*𝑠cxrs 17387  Posetcpo 18201  Tosetctos 18310  Mndcmnd 18561  CMndccmn 19567  oMndcomnd 31954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-xadd 13039  df-icc 13277  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-0g 17328  df-xrs 17389  df-poset 18207  df-toset 18311  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-cmn 19569  df-omnd 31956
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator