Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0omnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0omnd 32923
Description: The nonnegative extended real numbers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrge0omnd (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd

Proof of Theorem xrge0omnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0cmn 21397 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2 cmnmnd 19790 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
31, 2ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4 ovex 7456 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V
5 xrge0base 32872 . . . 4 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
6 xrge0le 32875 . . . 4 ≤ = (le‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
7 eliccxr 13461 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87xrleidd 13180 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥𝑥)
9 eliccxr 13461 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]+∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 xrletri3 13182 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥)))
1110biimprd 247 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
127, 9, 11syl2an 594 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
13 eliccxr 13461 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
14 xrletr 13186 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
157, 9, 13, 14syl3an 1157 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
164, 5, 6, 8, 12, 15isposi 18344 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Poset
17 xrletri 13181 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
187, 9, 17syl2an 594 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
1918rgen2 3187 . . 3 𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦𝑦𝑥)
205, 6istos 18438 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦𝑦𝑥)))
2116, 19, 20mpbir2an 709 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset
22 xleadd1a 13281 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
2322ex 411 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
247, 9, 13, 23syl3an 1157 . . 3 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2524rgen3 3192 . 2 𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
26 xrge0plusg 32874 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
275, 26, 6isomnd 32913 . 2 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))))
283, 21, 25, 27mpbir3an 1338 1 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050   class class class wbr 5152  (class class class)co 7423  0cc0 11154  +∞cpnf 11291  *cxr 11293  cle 11295   +𝑒 cxad 13139  [,]cicc 13376  s cress 17237  *𝑠cxrs 17510  Posetcpo 18327  Tosetctos 18436  Mndcmnd 18722  CMndccmn 19773  oMndcomnd 32909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-uz 12870  df-xadd 13142  df-icc 13380  df-fz 13534  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-0g 17451  df-xrs 17512  df-poset 18333  df-toset 18437  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-cmn 19775  df-omnd 32911
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator