Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0omnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0omnd 32735
Description: The nonnegative extended real numbers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrge0omnd (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ oMnd

Proof of Theorem xrge0omnd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0cmn 21302 . . 3 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2 cmnmnd 19717 . . 3 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ CMnd β†’ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
31, 2ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4 ovex 7438 . . . 4 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ V
5 xrge0base 32689 . . . 4 (0[,]+∞) = (Baseβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
6 xrge0le 32692 . . . 4 ≀ = (leβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
7 eliccxr 13418 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
87xrleidd 13137 . . . 4 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘₯ ≀ π‘₯)
9 eliccxr 13418 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]+∞) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
10 xrletri3 13139 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯)))
1110biimprd 247 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))
127, 9, 11syl2an 595 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦))
13 eliccxr 13418 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
14 xrletr 13143 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
157, 9, 13, 14syl3an 1157 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) β†’ ((π‘₯ ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))
164, 5, 6, 8, 12, 15isposi 18289 . . 3 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Poset
17 xrletri 13138 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
187, 9, 17syl2an 595 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯))
1918rgen2 3191 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯)
205, 6istos 18383 . . 3 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Toset ↔ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Poset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 ∨ 𝑦 ≀ π‘₯)))
2116, 19, 20mpbir2an 708 . 2 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Toset
22 xleadd1a 13238 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ π‘₯ ≀ 𝑦) β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧))
2322ex 412 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
247, 9, 13, 23syl3an 1157 . . 3 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2524rgen3 3196 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘§ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧))
26 xrge0plusg 32691 . . 3 +𝑒 = (+gβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
275, 26, 6isomnd 32725 . 2 ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ oMnd ↔ ((ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ Toset ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘§ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ ≀ 𝑦 β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑧) ≀ (𝑦 +𝑒 𝑧))))
283, 21, 25, 27mpbir3an 1338 1 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) ∈ oMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   +𝑒 cxad 13096  [,]cicc 13333   β†Ύs cress 17182  β„*𝑠cxrs 17455  Posetcpo 18272  Tosetctos 18381  Mndcmnd 18667  CMndccmn 19700  oMndcomnd 32721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-xadd 13099  df-icc 13337  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-0g 17396  df-xrs 17457  df-poset 18278  df-toset 18382  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-cmn 19702  df-omnd 32723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator