Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0omnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0omnd 30730
 Description: The nonnegative extended real numbers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
xrge0omnd (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd

Proof of Theorem xrge0omnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0cmn 20573 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
2 cmnmnd 18911 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
31, 2ax-mp 5 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
4 ovex 7171 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V
5 xrge0base 30690 . . . 4 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
6 xrge0le 30693 . . . 4 ≤ = (le‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
7 eliccxr 12811 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87xrleidd 12531 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥𝑥)
9 eliccxr 12811 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]+∞) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 xrletri3 12533 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥)))
1110biimprd 251 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
127, 9, 11syl2an 598 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
13 eliccxr 12811 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0[,]+∞) → 𝑧 ∈ ℝ*)
14 xrletr 12537 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
157, 9, 13, 14syl3an 1157 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
164, 5, 6, 8, 12, 15isposi 17555 . . 3 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Poset
17 xrletri 12532 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
187, 9, 17syl2an 598 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
1918rgen2 3197 . . 3 𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦𝑦𝑥)
205, 6istos 17634 . . 3 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦𝑦𝑥)))
2116, 19, 20mpbir2an 710 . 2 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset
22 xleadd1a 12632 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
2322ex 416 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
247, 9, 13, 23syl3an 1157 . . 3 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧)))
2524rgen3 3198 . 2 𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))
26 xrge0plusg 30692 . . 3 +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
275, 26, 6isomnd 30720 . 2 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd ↔ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd ∧ (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Toset ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)∀𝑧 ∈ (0[,]+∞)(𝑥𝑦 → (𝑥 +𝑒 𝑧) ≤ (𝑦 +𝑒 𝑧))))
283, 21, 25, 27mpbir3an 1338 1 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ oMnd
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  0cc0 10522  +∞cpnf 10657  ℝ*cxr 10659   ≤ cle 10661   +𝑒 cxad 12491  [,]cicc 12727   ↾s cress 16473  ℝ*𝑠cxrs 16762  Posetcpo 17539  Tosetctos 17632  Mndcmnd 17900  CMndccmn 18895  oMndcomnd 30716 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-xadd 12494  df-icc 12731  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-0g 16704  df-xrs 16764  df-poset 17545  df-toset 17633  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-cmn 18897  df-omnd 30718 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator