Theorem deg1sublt 24698

Description: Subtraction of two polynomials limited to the same degree with the same leading coefficient gives a polynomial with a smaller degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sublt.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1sublt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1sublt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1sublt.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
deg1sublt.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
deg1sublt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1sublt.fb	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1sublt.fd	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿)
deg1sublt.gb	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1sublt.gd	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)
deg1sublt.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
deg1sublt.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
deg1sublt.eq	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝐿) = ((coe1‘𝐺)‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
deg1sublt	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿)

Proof of Theorem deg1sublt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sublt.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
2		deg1sublt.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
4		deg1sublt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 − 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 − 𝐺))
7		deg1sublt.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	2	ply1ring 20410	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9		ringgrp 19296	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
11		deg1sublt.fb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
12		deg1sublt.gb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13		deg1sublt.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
14	4, 13	grpsubcl 18173	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
16		deg1sublt.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
17		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
18	2, 4, 13, 17	coe1subfv 20428	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
19	7, 11, 12, 16, 18	syl31anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
20		deg1sublt.eq	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝐿) = ((coe1‘𝐺)‘𝐿))
21	20	oveq1d 7165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
22		ringgrp 19296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23	7, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
25		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26	24, 4, 2, 25	coe1f 20373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
28	27, 16	ffvelrnd 6846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
29	25, 5, 17	grpsubid 18177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1‘𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (0g‘𝑅))
30	23, 28, 29	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (0g‘𝑅))
31	19, 21, 30	3eqtrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (0g‘𝑅))
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 31	deg1ldgn 24681	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≠ 𝐿)
33	32	neneqd 3021	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)
34	1, 2, 4	deg1xrcl 24670	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ*)
35	15, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ*)
36	1, 2, 4	deg1xrcl 24670	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
37	12, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
38	1, 2, 4	deg1xrcl 24670	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
39	11, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
40	37, 39	ifcld 4511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ*)
41	16	nn0red 11950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
42	41	rexrd 10685	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
43	2, 1, 7, 4, 13, 11, 12	deg1suble 24695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
44		deg1sublt.fd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿)
45		deg1sublt.gd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)
46		xrmaxle 12570	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ*) → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)))
47	39, 37, 42, 46	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)))
48	44, 45, 47	mpbir2and 711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿)
49	35, 40, 42, 43, 48	xrletrd 12549	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿)
50		xrleloe 12531	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)))
51	35, 42, 50	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)))
52	49, 51	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿))
53		orel2 887	. 2 ⊢ (¬ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿 → (((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿) → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿))
54	33, 52, 53	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ifcif 4466   class class class wbr 5058  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℕ₀cn0 11891  Basecbs 16477  0_gc0g 16707  Grpcgrp 18097  -_gcsg 18099  Ringcrg 19291  Poly₁cpl1 20339  coe₁cco1 20340   deg₁ cdg1 24642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-rlreg 20050  df-psr 20130  df-mpl 20132  df-opsr 20134  df-psr1 20342  df-ply1 20344  df-coe1 20345  df-cnfld 20540  df-mdeg 24643  df-deg1 24644

This theorem is referenced by:  ply1divex  24724  deg1submon1p  24740  hbtlem5  39721