Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1sublt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1sublt 24690
 Description: Subtraction of two polynomials limited to the same degree with the same leading coefficient gives a polynomial with a smaller degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1sublt.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1sublt.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1sublt.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1sublt.m = (-g𝑃)
deg1sublt.l (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
deg1sublt.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1sublt.fb (𝜑𝐹𝐵)
deg1sublt.fd (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐿)
deg1sublt.gb (𝜑𝐺𝐵)
deg1sublt.gd (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)
deg1sublt.a 𝐴 = (coe1𝐹)
deg1sublt.c 𝐶 = (coe1𝐺)
deg1sublt.eq (𝜑 → ((coe1𝐹)‘𝐿) = ((coe1𝐺)‘𝐿))
Assertion
Ref Expression
deg1sublt (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿)

Proof of Theorem deg1sublt
StepHypRef Expression
1 deg1sublt.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
2 deg1sublt.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 eqid 2820 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
4 deg1sublt.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 eqid 2820 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2820 . . . 4 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
7 deg1sublt.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
82ply1ring 20392 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9 ringgrp 19281 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
107, 8, 93syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
11 deg1sublt.fb . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
12 deg1sublt.gb . . . . 5 (𝜑𝐺𝐵)
13 deg1sublt.m . . . . . 6 = (-g𝑃)
144, 13grpsubcl 18158 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
1510, 11, 12, 14syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
16 deg1sublt.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
17 eqid 2820 . . . . . . 7 (-g𝑅) = (-g𝑅)
182, 4, 13, 17coe1subfv 20410 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝐿) = (((coe1𝐹)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)))
197, 11, 12, 16, 18syl31anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝐿) = (((coe1𝐹)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)))
20 deg1sublt.eq . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘𝐿) = ((coe1𝐺)‘𝐿))
2120oveq1d 7148 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)) = (((coe1𝐺)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)))
22 ringgrp 19281 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
237, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
24 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
25 eqid 2820 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2624, 4, 2, 25coe1f 20355 . . . . . . . 8 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
2712, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
2827, 16ffvelrnd 6828 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
2925, 5, 17grpsubid 18162 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1𝐺)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)) = (0g𝑅))
3023, 28, 29syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)) = (0g𝑅))
3119, 21, 303eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝐿) = (0g𝑅))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 31deg1ldgn 24673 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≠ 𝐿)
3332neneqd 3011 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿)
341, 2, 4deg1xrcl 24662 . . . . 5 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ∈ ℝ*)
3515, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ∈ ℝ*)
361, 2, 4deg1xrcl 24662 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
3712, 36syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
381, 2, 4deg1xrcl 24662 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3911, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
4037, 39ifcld 4488 . . . 4 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ*)
4116nn0red 11935 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
4241rexrd 10669 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
432, 1, 7, 4, 13, 11, 12deg1suble 24687 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
44 deg1sublt.fd . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐿)
45 deg1sublt.gd . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)
46 xrmaxle 12555 . . . . . 6 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐿 ∈ ℝ*) → (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)))
4739, 37, 42, 46syl3anc 1367 . . . . 5 (𝜑 → (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)))
4844, 45, 47mpbir2and 711 . . . 4 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ≤ 𝐿)
4935, 40, 42, 43, 48xrletrd 12534 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ 𝐿)
50 xrleloe 12516 . . . 4 (((𝐷‘(𝐹 𝐺)) ∈ ℝ*𝐿 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿)))
5135, 42, 50syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿)))
5249, 51mpbid 234 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿))
53 orel2 887 . 2 (¬ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿 → (((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿) → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿))
5433, 52, 53sylc 65 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ifcif 4443   class class class wbr 5042  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ℝ*cxr 10652   < clt 10653   ≤ cle 10654  ℕ0cn0 11876  Basecbs 16462  0gc0g 16692  Grpcgrp 18082  -gcsg 18084  Ringcrg 19276  Poly1cpl1 20321  coe1cco1 20322   deg1 cdg1 24634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-ofr 7388  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-tpos 7870  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-sup 8884  df-oi 8952  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-seq 13354  df-hash 13676  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-mulg 18204  df-subg 18255  df-ghm 18335  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-rlreg 20032  df-psr 20112  df-mpl 20114  df-opsr 20116  df-psr1 20324  df-ply1 20326  df-coe1 20327  df-cnfld 20522  df-mdeg 24635  df-deg1 24636 This theorem is referenced by:  ply1divex  24716  deg1submon1p  24732  hbtlem5  39865
 Copyright terms: Public domain W3C validator