Theorem deg1sublt 26075

Description: Subtraction of two polynomials limited to the same degree with the same leading coefficient gives a polynomial with a smaller degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sublt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1sublt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1sublt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1sublt.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
deg1sublt.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
deg1sublt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1sublt.fb	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1sublt.fd	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿)
deg1sublt.gb	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1sublt.gd	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)
deg1sublt.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
deg1sublt.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
deg1sublt.eq	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝐿) = ((coe1‘𝐺)‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
deg1sublt	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿)

Proof of Theorem deg1sublt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sublt.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1sublt.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
4		deg1sublt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 − 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 − 𝐺))
7		deg1sublt.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	2	ply1ring 22211	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9		ringgrp 20219	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
11		deg1sublt.fb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
12		deg1sublt.gb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13		deg1sublt.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
14	4, 13	grpsubcl 18996	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
16		deg1sublt.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
18	2, 4, 13, 17	coe1subfv 22231	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
19	7, 11, 12, 16, 18	syl31anc 1376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
20		deg1sublt.eq	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝐿) = ((coe1‘𝐺)‘𝐿))
21	20	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
22		ringgrp 20219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23	7, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
25		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26	24, 4, 2, 25	coe1f 22175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
28	27, 16	ffvelcdmd 7037	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
29	25, 5, 17	grpsubid 19000	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1‘𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (0g‘𝑅))
30	23, 28, 29	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (0g‘𝑅))
31	19, 21, 30	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (0g‘𝑅))
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 31	deg1ldgn 26058	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≠ 𝐿)
33	32	neneqd 2937	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)
34	1, 2, 4	deg1xrcl 26047	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ*)
35	15, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ*)
36	1, 2, 4	deg1xrcl 26047	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
37	12, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
38	1, 2, 4	deg1xrcl 26047	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
39	11, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
40	37, 39	ifcld 4513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ*)
41	16	nn0red 12499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
42	41	rexrd 11195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
43	2, 1, 7, 4, 13, 11, 12	deg1suble 26072	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
44		deg1sublt.fd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿)
45		deg1sublt.gd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)
46		xrmaxle 13135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ*) → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)))
47	39, 37, 42, 46	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)))
48	44, 45, 47	mpbir2and 714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿)
49	35, 40, 42, 43, 48	xrletrd 13113	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿)
50		xrleloe 13095	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)))
51	35, 42, 50	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)))
52	49, 51	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿))
53		orel2 891	. 2 ⊢ (¬ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿 → (((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿) → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿))
54	33, 52, 53	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4466   class class class wbr 5085  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  -_gcsg 18911  Ringcrg 20214  Poly₁cpl1 22140  coe₁cco1 22141  deg₁cdg1 26019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-rlreg 20671  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-cnfld 21353  df-psr 21889  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-psr1 22143  df-ply1 22145  df-coe1 22146  df-mdeg 26020  df-deg1 26021

This theorem is referenced by:  ply1divex  26102  deg1submon1p  26118  hbtlem5  43556