Theorem deg1sublt 26013

Description: Subtraction of two polynomials limited to the same degree with the same leading coefficient gives a polynomial with a smaller degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sublt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1sublt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1sublt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1sublt.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
deg1sublt.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
deg1sublt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1sublt.fb	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1sublt.fd	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿)
deg1sublt.gb	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1sublt.gd	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)
deg1sublt.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
deg1sublt.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
deg1sublt.eq	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝐿) = ((coe1‘𝐺)‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
deg1sublt	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿)

Proof of Theorem deg1sublt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sublt.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1sublt.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
4		deg1sublt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 − 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 − 𝐺))
7		deg1sublt.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	2	ply1ring 22130	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9		ringgrp 20123	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
11		deg1sublt.fb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
12		deg1sublt.gb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13		deg1sublt.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
14	4, 13	grpsubcl 18899	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
16		deg1sublt.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
17		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
18	2, 4, 13, 17	coe1subfv 22150	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
19	7, 11, 12, 16, 18	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
20		deg1sublt.eq	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝐿) = ((coe1‘𝐺)‘𝐿))
21	20	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
22		ringgrp 20123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23	7, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
25		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26	24, 4, 2, 25	coe1f 22094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
28	27, 16	ffvelcdmd 7019	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
29	25, 5, 17	grpsubid 18903	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1‘𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (0g‘𝑅))
30	23, 28, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (0g‘𝑅))
31	19, 21, 30	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (0g‘𝑅))
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 31	deg1ldgn 25996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≠ 𝐿)
33	32	neneqd 2930	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)
34	1, 2, 4	deg1xrcl 25985	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ*)
35	15, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ*)
36	1, 2, 4	deg1xrcl 25985	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
37	12, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
38	1, 2, 4	deg1xrcl 25985	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
39	11, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
40	37, 39	ifcld 4523	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ*)
41	16	nn0red 12446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
42	41	rexrd 11165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
43	2, 1, 7, 4, 13, 11, 12	deg1suble 26010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
44		deg1sublt.fd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿)
45		deg1sublt.gd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)
46		xrmaxle 13085	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ*) → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)))
47	39, 37, 42, 46	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)))
48	44, 45, 47	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿)
49	35, 40, 42, 43, 48	xrletrd 13064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿)
50		xrleloe 13046	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)))
51	35, 42, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)))
52	49, 51	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿))
53		orel2 890	. 2 ⊢ (¬ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿 → (((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿) → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿))
54	33, 52, 53	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4476   class class class wbr 5092  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℕ₀cn0 12384  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18812  -_gcsg 18814  Ringcrg 20118  Poly₁cpl1 22059  coe₁cco1 22060  deg₁cdg1 25957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-rlreg 20579  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-cnfld 21262  df-psr 21816  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-psr1 22062  df-ply1 22064  df-coe1 22065  df-mdeg 25958  df-deg1 25959

This theorem is referenced by:  ply1divex  26040  deg1submon1p  26056  hbtlem5  43105