Theorem deg1sublt 26069

Description: Subtraction of two polynomials limited to the same degree with the same leading coefficient gives a polynomial with a smaller degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sublt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1sublt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1sublt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1sublt.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
deg1sublt.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
deg1sublt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
deg1sublt.fb	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
deg1sublt.fd	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿)
deg1sublt.gb	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
deg1sublt.gd	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)
deg1sublt.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
deg1sublt.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐺)
deg1sublt.eq	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝐿) = ((coe1‘𝐺)‘𝐿))

Assertion

Ref	Expression
deg1sublt	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿)

Proof of Theorem deg1sublt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sublt.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
2		deg1sublt.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
4		deg1sublt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐹 − 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 − 𝐺))
7		deg1sublt.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	2	ply1ring 22186	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9		ringgrp 20171	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
11		deg1sublt.fb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
12		deg1sublt.gb	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13		deg1sublt.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
14	4, 13	grpsubcl 18948	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵)
16		deg1sublt.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
17		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
18	2, 4, 13, 17	coe1subfv 22206	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
19	7, 11, 12, 16, 18	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
20		deg1sublt.eq	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐹)‘𝐿) = ((coe1‘𝐺)‘𝐿))
21	20	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐹)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)))
22		ringgrp 20171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
23	7, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
24		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
25		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26	24, 4, 2, 25	coe1f 22150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
28	27, 16	ffvelcdmd 7028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
29	25, 5, 17	grpsubid 18952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1‘𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (0g‘𝑅))
30	23, 28, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘𝐿)(-g‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘𝐿)) = (0g‘𝑅))
31	19, 21, 30	3eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 − 𝐺))‘𝐿) = (0g‘𝑅))
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 31	deg1ldgn 26052	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≠ 𝐿)
33	32	neneqd 2935	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)
34	1, 2, 4	deg1xrcl 26041	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 − 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ*)
35	15, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ*)
36	1, 2, 4	deg1xrcl 26041	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
37	12, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
38	1, 2, 4	deg1xrcl 26041	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
39	11, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
40	37, 39	ifcld 4524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ∈ ℝ*)
41	16	nn0red 12461	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
42	41	rexrd 11180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
43	2, 1, 7, 4, 13, 11, 12	deg1suble 26066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)))
44		deg1sublt.fd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿)
45		deg1sublt.gd	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)
46		xrmaxle 13096	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ*) → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)))
47	39, 37, 42, 46	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷‘𝐺) ≤ 𝐿)))
48	44, 45, 47	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐺), (𝐷‘𝐹)) ≤ 𝐿)
49	35, 40, 42, 43, 48	xrletrd 13074	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿)
50		xrleloe 13056	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)))
51	35, 42, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿)))
52	49, 51	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿))
53		orel2 890	. 2 ⊢ (¬ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿 → (((𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) = 𝐿) → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿))
54	33, 52, 53	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 − 𝐺)) < 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4477   class class class wbr 5096  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165  ℕ₀cn0 12399  Basecbs 17134  0_gc0g 17357  Grpcgrp 18861  -_gcsg 18863  Ringcrg 20166  Poly₁cpl1 22115  coe₁cco1 22116  deg₁cdg1 26013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-rlreg 20625  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-cnfld 21308  df-psr 21863  df-mpl 21865  df-opsr 21867  df-psr1 22118  df-ply1 22120  df-coe1 22121  df-mdeg 26014  df-deg1 26015

This theorem is referenced by:  ply1divex  26096  deg1submon1p  26112  hbtlem5  43312