MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1sublt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1sublt 25498
Description: Subtraction of two polynomials limited to the same degree with the same leading coefficient gives a polynomial with a smaller degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1sublt.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1sublt.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1sublt.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1sublt.m = (-g𝑃)
deg1sublt.l (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
deg1sublt.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1sublt.fb (𝜑𝐹𝐵)
deg1sublt.fd (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐿)
deg1sublt.gb (𝜑𝐺𝐵)
deg1sublt.gd (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)
deg1sublt.a 𝐴 = (coe1𝐹)
deg1sublt.c 𝐶 = (coe1𝐺)
deg1sublt.eq (𝜑 → ((coe1𝐹)‘𝐿) = ((coe1𝐺)‘𝐿))
Assertion
Ref Expression
deg1sublt (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿)

Proof of Theorem deg1sublt
StepHypRef Expression
1 deg1sublt.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
2 deg1sublt.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 eqid 2733 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
4 deg1sublt.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 eqid 2733 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2733 . . . 4 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
7 deg1sublt.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
82ply1ring 21642 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9 ringgrp 19977 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
107, 8, 93syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
11 deg1sublt.fb . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
12 deg1sublt.gb . . . . 5 (𝜑𝐺𝐵)
13 deg1sublt.m . . . . . 6 = (-g𝑃)
144, 13grpsubcl 18835 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
1510, 11, 12, 14syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
16 deg1sublt.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
17 eqid 2733 . . . . . . 7 (-g𝑅) = (-g𝑅)
182, 4, 13, 17coe1subfv 21660 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝐿) = (((coe1𝐹)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)))
197, 11, 12, 16, 18syl31anc 1374 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝐿) = (((coe1𝐹)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)))
20 deg1sublt.eq . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘𝐿) = ((coe1𝐺)‘𝐿))
2120oveq1d 7376 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)) = (((coe1𝐺)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)))
22 ringgrp 19977 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
237, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
24 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
25 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2624, 4, 2, 25coe1f 21605 . . . . . . . 8 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
2712, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
2827, 16ffvelcdmd 7040 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
2925, 5, 17grpsubid 18839 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1𝐺)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)) = (0g𝑅))
3023, 28, 29syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)) = (0g𝑅))
3119, 21, 303eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝐿) = (0g𝑅))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 31deg1ldgn 25481 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≠ 𝐿)
3332neneqd 2945 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿)
341, 2, 4deg1xrcl 25470 . . . . 5 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ∈ ℝ*)
3515, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ∈ ℝ*)
361, 2, 4deg1xrcl 25470 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
3712, 36syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
381, 2, 4deg1xrcl 25470 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3911, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
4037, 39ifcld 4536 . . . 4 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ*)
4116nn0red 12482 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
4241rexrd 11213 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
432, 1, 7, 4, 13, 11, 12deg1suble 25495 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
44 deg1sublt.fd . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐿)
45 deg1sublt.gd . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)
46 xrmaxle 13111 . . . . . 6 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐿 ∈ ℝ*) → (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)))
4739, 37, 42, 46syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)))
4844, 45, 47mpbir2and 712 . . . 4 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ≤ 𝐿)
4935, 40, 42, 43, 48xrletrd 13090 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ 𝐿)
50 xrleloe 13072 . . . 4 (((𝐷‘(𝐹 𝐺)) ∈ ℝ*𝐿 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿)))
5135, 42, 50syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿)))
5249, 51mpbid 231 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿))
53 orel2 890 . 2 (¬ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿 → (((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿) → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿))
5433, 52, 53sylc 65 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4490   class class class wbr 5109  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361  *cxr 11196   < clt 11197  cle 11198  0cn0 12421  Basecbs 17091  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  Ringcrg 19972  Poly1cpl1 21571  coe1cco1 21572   deg1 cdg1 25439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-rlreg 20776  df-cnfld 20820  df-psr 21334  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-ply1 21576  df-coe1 21577  df-mdeg 25440  df-deg1 25441
This theorem is referenced by:  ply1divex  25524  deg1submon1p  25540  hbtlem5  41502
  Copyright terms: Public domain W3C validator