MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1sublt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1sublt 25990
Description: Subtraction of two polynomials limited to the same degree with the same leading coefficient gives a polynomial with a smaller degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1sublt.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1sublt.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1sublt.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1sublt.m = (-g𝑃)
deg1sublt.l (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
deg1sublt.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
deg1sublt.fb (𝜑𝐹𝐵)
deg1sublt.fd (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐿)
deg1sublt.gb (𝜑𝐺𝐵)
deg1sublt.gd (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)
deg1sublt.a 𝐴 = (coe1𝐹)
deg1sublt.c 𝐶 = (coe1𝐺)
deg1sublt.eq (𝜑 → ((coe1𝐹)‘𝐿) = ((coe1𝐺)‘𝐿))
Assertion
Ref Expression
deg1sublt (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿)

Proof of Theorem deg1sublt
StepHypRef Expression
1 deg1sublt.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
2 deg1sublt.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
3 eqid 2724 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
4 deg1sublt.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 eqid 2724 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2724 . . . 4 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
7 deg1sublt.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
82ply1ring 22110 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
9 ringgrp 20139 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
107, 8, 93syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
11 deg1sublt.fb . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
12 deg1sublt.gb . . . . 5 (𝜑𝐺𝐵)
13 deg1sublt.m . . . . . 6 = (-g𝑃)
144, 13grpsubcl 18944 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
1510, 11, 12, 14syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
16 deg1sublt.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
17 eqid 2724 . . . . . . 7 (-g𝑅) = (-g𝑅)
182, 4, 13, 17coe1subfv 22129 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝐿) = (((coe1𝐹)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)))
197, 11, 12, 16, 18syl31anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝐿) = (((coe1𝐹)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)))
20 deg1sublt.eq . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐹)‘𝐿) = ((coe1𝐺)‘𝐿))
2120oveq1d 7417 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐹)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)) = (((coe1𝐺)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)))
22 ringgrp 20139 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
237, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
24 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
25 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2624, 4, 2, 25coe1f 22074 . . . . . . . 8 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
2712, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (coe1𝐺):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
2827, 16ffvelcdmd 7078 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
2925, 5, 17grpsubid 18948 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((coe1𝐺)‘𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → (((coe1𝐺)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)) = (0g𝑅))
3023, 28, 29syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘𝐿)(-g𝑅)((coe1𝐺)‘𝐿)) = (0g𝑅))
3119, 21, 303eqtrd 2768 . . . 4 (𝜑 → ((coe1‘(𝐹 𝐺))‘𝐿) = (0g𝑅))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 31deg1ldgn 25973 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≠ 𝐿)
3332neneqd 2937 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿)
341, 2, 4deg1xrcl 25962 . . . . 5 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ∈ ℝ*)
3515, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ∈ ℝ*)
361, 2, 4deg1xrcl 25962 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
3712, 36syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
381, 2, 4deg1xrcl 25962 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
3911, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
4037, 39ifcld 4567 . . . 4 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ∈ ℝ*)
4116nn0red 12532 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
4241rexrd 11263 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
432, 1, 7, 4, 13, 11, 12deg1suble 25987 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)))
44 deg1sublt.fd . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ 𝐿)
45 deg1sublt.gd . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)
46 xrmaxle 13163 . . . . . 6 (((𝐷𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*𝐿 ∈ ℝ*) → (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)))
4739, 37, 42, 46syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷𝐹) ≤ 𝐿 ∧ (𝐷𝐺) ≤ 𝐿)))
4844, 45, 47mpbir2and 710 . . . 4 (𝜑 → if((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐺), (𝐷𝐺), (𝐷𝐹)) ≤ 𝐿)
4935, 40, 42, 43, 48xrletrd 13142 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ 𝐿)
50 xrleloe 13124 . . . 4 (((𝐷‘(𝐹 𝐺)) ∈ ℝ*𝐿 ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿)))
5135, 42, 50syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) ≤ 𝐿 ↔ ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿)))
5249, 51mpbid 231 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿))
53 orel2 887 . 2 (¬ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿 → (((𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿 ∨ (𝐷‘(𝐹 𝐺)) = 𝐿) → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿))
5433, 52, 53sylc 65 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 𝐺)) < 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4521   class class class wbr 5139  wf 6530  cfv 6534  (class class class)co 7402  *cxr 11246   < clt 11247  cle 11248  0cn0 12471  Basecbs 17149  0gc0g 17390  Grpcgrp 18859  -gcsg 18861  Ringcrg 20134  Poly1cpl1 22040  coe1cco1 22041   deg1 cdg1 25931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-rlreg 21189  df-cnfld 21235  df-psr 21792  df-mpl 21794  df-opsr 21796  df-psr1 22043  df-ply1 22045  df-coe1 22046  df-mdeg 25932  df-deg1 25933
This theorem is referenced by:  ply1divex  26016  deg1submon1p  26032  hbtlem5  42422
  Copyright terms: Public domain W3C validator