MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlelttr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlelttr 13194
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrlelttr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem xrlelttr
StepHypRef Expression
1 xrleloe 13182 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
213adant3 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
3 xrlttr 13178 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
43expd 415 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶)))
5 breq1 5150 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶))
65biimprd 248 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
76a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶)))
84, 7jaod 859 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶)))
92, 8sylbid 240 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → (𝐵 < 𝐶𝐴 < 𝐶)))
109impd 410 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298
This theorem is referenced by:  xrletr  13196  xrlelttrd  13198  xrre  13207  xrre2  13208  xrmaxlt  13219  supxrun  13354  iooss1  13418  ico0  13429  iccssioo  13452  iccssico  13455  iocssioo  13475  ioossioo  13477  snunioo  13514  leordtval2  23235  lecldbas  23242  pnfnei  23243  bldisj  24423  xbln0  24439  prdsbl  24519  blsscls2  24532  metcnpi3  24574  iocmnfcld  24804  iscau3  25325  ismbf3d  25702  itgsubst  26104  mdegaddle  26127  mdegmullem  26131  ply1divmo  26189  psercnlem2  26482  ftc1anclem6  37684  ftc1anc  37687  asindmre  37689  snunioo1  45464  io1ii  48716
  Copyright terms: Public domain W3C validator