MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txmetcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txmetcnp 24411
Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metcn.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
txmetcnp.4 𝐿 = (MetOpenβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
txmetcnp (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝑀,𝑧,𝐹   𝑒,𝐽,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐾,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝑋,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,π‘Œ,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝑍,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐴,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐢,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐷,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐡,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐸,𝑣,𝑀,𝑧   𝑀,𝐿,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem txmetcnp
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·))) = (distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))
2 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
41, 2, 3tmsxps 24400 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·))) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
5 simpl3 1190 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘))
6 opelxpi 5706 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
76adantl 481 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
8 eqid 2726 . . . 4 (MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·))))
9 txmetcnp.4 . . . 4 𝐿 = (MetOpenβ€˜πΈ)
108, 9metcnp 24405 . . 3 (((distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·))) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘) ∧ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧))))
114, 5, 7, 10syl3anc 1368 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧))))
12 metcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
13 metcn.4 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
141, 2, 3, 12, 13, 8tmsxpsmopn 24401 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) = (𝐽 Γ—t 𝐾))
1514oveq1d 7420 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿) = ((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿))
1615fveq1d 6887 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩))
1716eleq2d 2813 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ 𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)))
18 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) = (⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
1918breq1d 5151 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀))
20 df-ov 7408 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐹𝐡) = (πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
2120oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯))
22 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
23 df-ov 7408 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒𝐹𝑣) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
2422, 23eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (𝑒𝐹𝑣))
2524oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) = ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)))
2621, 25eqtr3id 2780 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) = ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)))
2726breq1d 5151 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧 ↔ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))
2819, 27imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
2928ralxp 5835 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))
302ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
313ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
32 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ))
3332simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3432simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
35 simprrl 778 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑋)
36 simprrr 779 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝑣 ∈ π‘Œ)
371, 30, 31, 33, 34, 35, 36tmsxpsval2 24403 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = if((𝐴𝐢𝑒) ≀ (𝐡𝐷𝑣), (𝐡𝐷𝑣), (𝐴𝐢𝑒)))
3837breq1d 5151 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 ↔ if((𝐴𝐢𝑒) ≀ (𝐡𝐷𝑣), (𝐡𝐷𝑣), (𝐴𝐢𝑒)) < 𝑀))
39 xmetcl 24192 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐢𝑒) ∈ ℝ*)
4030, 33, 35, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (𝐴𝐢𝑒) ∈ ℝ*)
41 xmetcl 24192 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐡𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
4231, 34, 36, 41syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (𝐡𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
43 rpxr 12989 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ+ β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
4443ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
45 xrmaxlt 13166 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐢𝑒) ∈ ℝ* ∧ (𝐡𝐷𝑣) ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (if((𝐴𝐢𝑒) ≀ (𝐡𝐷𝑣), (𝐡𝐷𝑣), (𝐴𝐢𝑒)) < 𝑀 ↔ ((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀)))
4640, 42, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (if((𝐴𝐢𝑒) ≀ (𝐡𝐷𝑣), (𝐡𝐷𝑣), (𝐴𝐢𝑒)) < 𝑀 ↔ ((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀)))
4738, 46bitrd 279 . . . . . . . . 9 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 ↔ ((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀)))
4847imbi1d 341 . . . . . . . 8 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
4948anassrs 467 . . . . . . 7 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
50492ralbidva 3210 . . . . . 6 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5129, 50bitrid 283 . . . . 5 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5251rexbidva 3170 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5352ralbidv 3171 . . 3 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5453pm5.32da 578 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧)) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
5511, 17, 543bitr3d 309 1 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  ifcif 4523  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„+crp 12980  distcds 17215   Γ—s cxps 17461  βˆžMetcxmet 21225  MetOpencmopn 21230   CnP ccnp 23084   Γ—t ctx 23419  toMetSpctms 24180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-tms 24183
This theorem is referenced by:  txmetcn  24412  cxpcn3  26638
  Copyright terms: Public domain W3C validator