Theorem txmetcnp 24496

Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
txmetcnp.4	⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
txmetcnp	⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑧,𝐹   𝑢,𝐽,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐾,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑋,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑍,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐴,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐷,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐸,𝑣,𝑤,𝑧   𝑤,𝐿,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem txmetcnp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) = (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))
2		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		simpl2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
4	1, 2, 3	tmsxps 24485	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))
5		simpl3 1195	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍))
6		opelxpi 5662	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) = (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))))
9		txmetcnp.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)
10	8, 9	metcnp 24490	. . 3 ⊢ (((dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧))))
11	4, 5, 7, 10	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧))))
12		metcn.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
13		metcn.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
14	1, 2, 3, 12, 13, 8	tmsxpsmopn 24486	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) = (𝐽 ×t 𝐾))
15	14	oveq1d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿) = ((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿))
16	15	fveq1d 6837	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
17	16	eleq2d 2823	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
18		oveq2 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) = (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩))
19	18	breq1d 5109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤))
20		df-ov 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
21	20	oveq1i 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥))
22		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
23		df-ov 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢𝐹𝑣) = (𝐹‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
24	22, 23	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐹‘𝑥) = (𝑢𝐹𝑣))
25	24	oveq2d 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝐹‘𝑥)) = ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)))
26	21, 25	eqtr3id 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) = ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)))
27	26	breq1d 5109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧 ↔ ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))
28	19, 27	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
29	28	ralxp 5791	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))
30	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
31	3	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
32		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌))
33	32	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
34	32	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐵 ∈ 𝑌)
35		simprrl 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝑢 ∈ 𝑋)
36		simprrr 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝑣 ∈ 𝑌)
37	1, 30, 31, 33, 34, 35, 36	tmsxpsval2 24488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) = if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)))
38	37	breq1d 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 ↔ if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤))
39		xmetcl 24280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ*)
40	30, 33, 35, 39	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ*)
41		xmetcl 24280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
42	31, 34, 36, 41	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
43		rpxr 12920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ ℝ*)
44	43	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
45		xrmaxlt 13101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
46	40, 42, 44, 45	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
47	38, 46	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
48	47	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
49	48	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌)) → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
50	49	2ralbidva 3199	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
51	29, 50	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
52	51	rexbidva 3159	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
53	52	ralbidv 3160	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
54	53	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧)) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
55	11, 17, 54	3bitr3d 309	1 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  ifcif 4480  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099   × cxp 5623  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171   ≤ cle 11172  ℝ⁺crp 12910  distcds 17191   ×_s cxps 17432  ∞Metcxmet 21299  MetOpencmopn 21304   CnP ccnp 23174   ×_t ctx 23509  toMetSpctms 24268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-q 12867  df-rp 12911  df-xneg 13031  df-xadd 13032  df-xmul 13033  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13930  df-hash 14259  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-hom 17206  df-cco 17207  df-rest 17347  df-topn 17348  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-topgen 17368  df-pt 17369  df-prds 17372  df-xrs 17428  df-qtop 17433  df-imas 17434  df-xps 17436  df-mre 17510  df-mrc 17511  df-acs 17513  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18714  df-mulg 19003  df-cntz 19251  df-cmn 19716  df-psmet 21306  df-xmet 21307  df-bl 21309  df-mopn 21310  df-top 22843  df-topon 22860  df-topsp 22882  df-bases 22895  df-cn 23176  df-cnp 23177  df-tx 23511  df-hmeo 23704  df-xms 24269  df-tms 24271

This theorem is referenced by:  txmetcn  24497  cxpcn3  26719