Theorem txmetcnp 23609

Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
txmetcnp.4	⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
txmetcnp	⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑧,𝐹   𝑢,𝐽,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐾,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑋,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑍,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐴,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐷,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐸,𝑣,𝑤,𝑧   𝑤,𝐿,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem txmetcnp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) = (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))
2		simpl1 1189	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		simpl2 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
4	1, 2, 3	tmsxps 23598	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))
5		simpl3 1191	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍))
6		opelxpi 5617	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) = (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))))
9		txmetcnp.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)
10	8, 9	metcnp 23603	. . 3 ⊢ (((dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧))))
11	4, 5, 7, 10	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧))))
12		metcn.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
13		metcn.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
14	1, 2, 3, 12, 13, 8	tmsxpsmopn 23599	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) = (𝐽 ×t 𝐾))
15	14	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿) = ((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿))
16	15	fveq1d 6758	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
17	16	eleq2d 2824	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
18		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) = (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩))
19	18	breq1d 5080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤))
20		df-ov 7258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
21	20	oveq1i 7265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥))
22		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
23		df-ov 7258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢𝐹𝑣) = (𝐹‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
24	22, 23	eqtr4di 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐹‘𝑥) = (𝑢𝐹𝑣))
25	24	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝐹‘𝑥)) = ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)))
26	21, 25	eqtr3id 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) = ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)))
27	26	breq1d 5080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧 ↔ ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))
28	19, 27	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
29	28	ralxp 5739	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))
30	2	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
31	3	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
32		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌))
33	32	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
34	32	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐵 ∈ 𝑌)
35		simprrl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝑢 ∈ 𝑋)
36		simprrr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝑣 ∈ 𝑌)
37	1, 30, 31, 33, 34, 35, 36	tmsxpsval2 23601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) = if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)))
38	37	breq1d 5080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 ↔ if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤))
39		xmetcl 23392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ*)
40	30, 33, 35, 39	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ*)
41		xmetcl 23392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
42	31, 34, 36, 41	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
43		rpxr 12668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ ℝ*)
44	43	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
45		xrmaxlt 12844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
46	40, 42, 44, 45	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
47	38, 46	bitrd 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
48	47	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
49	48	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌)) → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
50	49	2ralbidva 3121	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
51	29, 50	syl5bb 282	. . . . 5 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
52	51	rexbidva 3224	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
53	52	ralbidv 3120	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
54	53	pm5.32da 578	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧)) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
55	11, 17, 54	3bitr3d 308	1 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ifcif 4456  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   × cxp 5578  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℝ⁺crp 12659  distcds 16897   ×_s cxps 17134  ∞Metcxmet 20495  MetOpencmopn 20500   CnP ccnp 22284   ×_t ctx 22619  toMetSpctms 23380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-xms 23381  df-tms 23383

This theorem is referenced by:  txmetcn  23610  cxpcn3  25806