MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txmetcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txmetcnp 24484
Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metcn.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
txmetcnp.4 𝐿 = (MetOpenβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
txmetcnp (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝑀,𝑧,𝐹   𝑒,𝐽,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐾,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝑋,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,π‘Œ,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝑍,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐴,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐢,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐷,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐡,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐸,𝑣,𝑀,𝑧   𝑀,𝐿,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem txmetcnp
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·))) = (distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))
2 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
41, 2, 3tmsxps 24473 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·))) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
5 simpl3 1190 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘))
6 opelxpi 5719 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
76adantl 480 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
8 eqid 2728 . . . 4 (MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·))))
9 txmetcnp.4 . . . 4 𝐿 = (MetOpenβ€˜πΈ)
108, 9metcnp 24478 . . 3 (((distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·))) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘) ∧ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧))))
114, 5, 7, 10syl3anc 1368 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧))))
12 metcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
13 metcn.4 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
141, 2, 3, 12, 13, 8tmsxpsmopn 24474 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) = (𝐽 Γ—t 𝐾))
1514oveq1d 7441 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿) = ((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿))
1615fveq1d 6904 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩))
1716eleq2d 2815 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ 𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)))
18 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) = (⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
1918breq1d 5162 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀))
20 df-ov 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐹𝐡) = (πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
2120oveq1i 7436 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯))
22 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
23 df-ov 7429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒𝐹𝑣) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
2422, 23eqtr4di 2786 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (𝑒𝐹𝑣))
2524oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) = ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)))
2621, 25eqtr3id 2782 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) = ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)))
2726breq1d 5162 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧 ↔ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))
2819, 27imbi12d 343 . . . . . . 7 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
2928ralxp 5848 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))
302ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
313ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
32 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ))
3332simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3432simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
35 simprrl 779 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑋)
36 simprrr 780 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝑣 ∈ π‘Œ)
371, 30, 31, 33, 34, 35, 36tmsxpsval2 24476 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = if((𝐴𝐢𝑒) ≀ (𝐡𝐷𝑣), (𝐡𝐷𝑣), (𝐴𝐢𝑒)))
3837breq1d 5162 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 ↔ if((𝐴𝐢𝑒) ≀ (𝐡𝐷𝑣), (𝐡𝐷𝑣), (𝐴𝐢𝑒)) < 𝑀))
39 xmetcl 24265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐢𝑒) ∈ ℝ*)
4030, 33, 35, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (𝐴𝐢𝑒) ∈ ℝ*)
41 xmetcl 24265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐡𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
4231, 34, 36, 41syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (𝐡𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
43 rpxr 13025 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ+ β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
4443ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
45 xrmaxlt 13202 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐢𝑒) ∈ ℝ* ∧ (𝐡𝐷𝑣) ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (if((𝐴𝐢𝑒) ≀ (𝐡𝐷𝑣), (𝐡𝐷𝑣), (𝐴𝐢𝑒)) < 𝑀 ↔ ((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀)))
4640, 42, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (if((𝐴𝐢𝑒) ≀ (𝐡𝐷𝑣), (𝐡𝐷𝑣), (𝐴𝐢𝑒)) < 𝑀 ↔ ((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀)))
4738, 46bitrd 278 . . . . . . . . 9 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 ↔ ((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀)))
4847imbi1d 340 . . . . . . . 8 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
4948anassrs 466 . . . . . . 7 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
50492ralbidva 3214 . . . . . 6 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5129, 50bitrid 282 . . . . 5 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5251rexbidva 3174 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5352ralbidv 3175 . . 3 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5453pm5.32da 577 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧)) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
5511, 17, 543bitr3d 308 1 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  ifcif 4532  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152   Γ— cxp 5680  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„*cxr 11287   < clt 11288   ≀ cle 11289  β„+crp 13016  distcds 17251   Γ—s cxps 17497  βˆžMetcxmet 21278  MetOpencmopn 21283   CnP ccnp 23157   Γ—t ctx 23492  toMetSpctms 24253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-xms 24254  df-tms 24256
This theorem is referenced by:  txmetcn  24485  cxpcn3  26711
  Copyright terms: Public domain W3C validator