MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txmetcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txmetcnp 23919
Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
metcn.4 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
txmetcnp.4 𝐿 = (MetOpenβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
txmetcnp (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑒,𝑀,𝑧,𝐹   𝑒,𝐽,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐾,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝑋,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,π‘Œ,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝑍,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐴,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐢,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐷,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐡,𝑣,𝑀,𝑧   𝑒,𝐸,𝑣,𝑀,𝑧   𝑀,𝐿,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑣,𝑒)

Proof of Theorem txmetcnp
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·))) = (distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))
2 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 simpl2 1193 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
41, 2, 3tmsxps 23908 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·))) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
5 simpl3 1194 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘))
6 opelxpi 5671 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ) β†’ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
76adantl 483 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
8 eqid 2733 . . . 4 (MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·))))
9 txmetcnp.4 . . . 4 𝐿 = (MetOpenβ€˜πΈ)
108, 9metcnp 23913 . . 3 (((distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·))) ∈ (∞Metβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘) ∧ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧))))
114, 5, 7, 10syl3anc 1372 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧))))
12 metcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
13 metcn.4 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
141, 2, 3, 12, 13, 8tmsxpsmopn 23909 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) = (𝐽 Γ—t 𝐾))
1514oveq1d 7373 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿) = ((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿))
1615fveq1d 6845 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) = (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩))
1716eleq2d 2820 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ 𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)))
18 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) = (⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
1918breq1d 5116 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀))
20 df-ov 7361 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐹𝐡) = (πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
2120oveq1i 7368 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯))
22 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©))
23 df-ov 7361 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒𝐹𝑣) = (πΉβ€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
2422, 23eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (𝑒𝐹𝑣))
2524oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) = ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)))
2621, 25eqtr3id 2787 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) = ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)))
2726breq1d 5116 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧 ↔ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))
2819, 27imbi12d 345 . . . . . . 7 (π‘₯ = βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© β†’ (((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
2928ralxp 5798 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))
302ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
313ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
32 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ))
3332simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3432simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝐡 ∈ π‘Œ)
35 simprrl 780 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑋)
36 simprrr 781 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝑣 ∈ π‘Œ)
371, 30, 31, 33, 34, 35, 36tmsxpsval2 23911 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) = if((𝐴𝐢𝑒) ≀ (𝐡𝐷𝑣), (𝐡𝐷𝑣), (𝐴𝐢𝑒)))
3837breq1d 5116 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 ↔ if((𝐴𝐢𝑒) ≀ (𝐡𝐷𝑣), (𝐡𝐷𝑣), (𝐴𝐢𝑒)) < 𝑀))
39 xmetcl 23700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑒 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐢𝑒) ∈ ℝ*)
4030, 33, 35, 39syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (𝐴𝐢𝑒) ∈ ℝ*)
41 xmetcl 23700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐡𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
4231, 34, 36, 41syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (𝐡𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
43 rpxr 12929 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ+ β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
4443ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
45 xrmaxlt 13106 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐢𝑒) ∈ ℝ* ∧ (𝐡𝐷𝑣) ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (if((𝐴𝐢𝑒) ≀ (𝐡𝐷𝑣), (𝐡𝐷𝑣), (𝐴𝐢𝑒)) < 𝑀 ↔ ((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀)))
4640, 42, 44, 45syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (if((𝐴𝐢𝑒) ≀ (𝐡𝐷𝑣), (𝐡𝐷𝑣), (𝐴𝐢𝑒)) < 𝑀 ↔ ((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀)))
4738, 46bitrd 279 . . . . . . . . 9 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 ↔ ((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀)))
4847imbi1d 342 . . . . . . . 8 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ))) β†’ (((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
4948anassrs 469 . . . . . . 7 ((((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
50492ralbidva 3207 . . . . . 6 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ ((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) < 𝑀 β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5129, 50bitrid 283 . . . . 5 (((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5251rexbidva 3170 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5352ralbidv 3171 . . 3 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5453pm5.32da 580 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)((⟨𝐴, 𝐡⟩(distβ€˜((toMetSpβ€˜πΆ) Γ—s (toMetSpβ€˜π·)))π‘₯) < 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)𝐸(πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑧)) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
5511, 17, 543bitr3d 309 1 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐹 ∈ (((𝐽 Γ—t 𝐾) CnP 𝐿)β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘ ∧ βˆ€π‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ 𝑋 βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝐴𝐢𝑒) < 𝑀 ∧ (𝐡𝐷𝑣) < 𝑀) β†’ ((𝐴𝐹𝐡)𝐸(𝑒𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  ifcif 4487  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  β„+crp 12920  distcds 17147   Γ—s cxps 17393  βˆžMetcxmet 20797  MetOpencmopn 20802   CnP ccnp 22592   Γ—t ctx 22927  toMetSpctms 23688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-tms 23691
This theorem is referenced by:  txmetcn  23920  cxpcn3  26117
  Copyright terms: Public domain W3C validator