Theorem txmetcnp 24683

Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
txmetcnp.4	⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
txmetcnp	⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑧,𝐹   𝑢,𝐽,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐾,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑋,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑍,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐴,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐷,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐸,𝑣,𝑤,𝑧   𝑤,𝐿,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem txmetcnp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) = (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))
2		simpl1 1208	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		simpl2 1209	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
4	1, 2, 3	tmsxps 24672	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))
5		simpl3 1210	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍))
6		opelxpi 5698	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
7	6	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) = (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))))
9		txmetcnp.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)
10	8, 9	metcnp 24677	. . 3 ⊢ (((dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧))))
11	4, 5, 7, 10	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧))))
12		metcn.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
13		metcn.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
14	1, 2, 3, 12, 13, 8	tmsxpsmopn 24673	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) = (𝐽 ×t 𝐾))
15	14	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿) = ((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿))
16	15	fveq1d 6883	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
17	16	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
18		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) = (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩))
19	18	breq1d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤))
20		df-ov 7413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
21	20	oveq1i 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥))
22		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
23		df-ov 7413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢𝐹𝑣) = (𝐹‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
24	22, 23	eqtr4di 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐹‘𝑥) = (𝑢𝐹𝑣))
25	24	oveq2d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝐹‘𝑥)) = ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)))
26	21, 25	eqtr3id 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) = ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)))
27	26	breq1d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧 ↔ ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))
28	19, 27	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
29	28	ralxp 5827	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))
30	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
31	3	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
32		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌))
33	32	simpld 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
34	32	simprd 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐵 ∈ 𝑌)
35		simprrl 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝑢 ∈ 𝑋)
36		simprrr 793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝑣 ∈ 𝑌)
37	1, 30, 31, 33, 34, 35, 36	tmsxpsval2 24675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) = if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)))
38	37	breq1d 5118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 ↔ if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤))
39		xmetcl 24467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ*)
40	30, 33, 35, 39	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ*)
41		xmetcl 24467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
42	31, 34, 36, 41	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
43		rpxr 13025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ ℝ*)
44	43	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
45		xrmaxlt 13206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
46	40, 42, 44, 45	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
47	38, 46	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
48	47	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
49	48	anassrs 472	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌)) → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
50	49	2ralbidva 3225	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
51	29, 50	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
52	51	rexbidva 3185	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
53	52	ralbidv 3186	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
54	53	pm5.32da 589	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧)) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
55	11, 17, 54	3bitr3d 312	1 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ifcif 4486  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108   × cxp 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℝ⁺crp 13015  distcds 17318   ×_s cxps 17559  ∞Metcxmet 21486  MetOpencmopn 21491   CnP ccnp 23361   ×_t ctx 23696  toMetSpctms 24455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-xms 24456  df-tms 24458

This theorem is referenced by:  txmetcn  24684  cxpcn3  26889