Theorem txmetcnp 24528

Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
txmetcnp.4	⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
txmetcnp	⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑧,𝐹   𝑢,𝐽,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐾,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑋,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑍,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐴,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐷,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐸,𝑣,𝑤,𝑧   𝑤,𝐿,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem txmetcnp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) = (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))
2		simpl1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		simpl2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
4	1, 2, 3	tmsxps 24517	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))
5		simpl3 1195	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍))
6		opelxpi 5665	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) = (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))))
9		txmetcnp.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)
10	8, 9	metcnp 24522	. . 3 ⊢ (((dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧))))
11	4, 5, 7, 10	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧))))
12		metcn.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
13		metcn.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
14	1, 2, 3, 12, 13, 8	tmsxpsmopn 24518	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) = (𝐽 ×t 𝐾))
15	14	oveq1d 7379	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿) = ((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿))
16	15	fveq1d 6840	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
17	16	eleq2d 2823	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
18		oveq2 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) = (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩))
19	18	breq1d 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤))
20		df-ov 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
21	20	oveq1i 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥))
22		fveq2 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
23		df-ov 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢𝐹𝑣) = (𝐹‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
24	22, 23	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐹‘𝑥) = (𝑢𝐹𝑣))
25	24	oveq2d 7380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝐹‘𝑥)) = ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)))
26	21, 25	eqtr3id 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) = ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)))
27	26	breq1d 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧 ↔ ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))
28	19, 27	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
29	28	ralxp 5794	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))
30	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
31	3	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
32		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌))
33	32	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
34	32	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝐵 ∈ 𝑌)
35		simprrl 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝑢 ∈ 𝑋)
36		simprrr 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝑣 ∈ 𝑌)
37	1, 30, 31, 33, 34, 35, 36	tmsxpsval2 24520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) = if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)))
38	37	breq1d 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 ↔ if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤))
39		xmetcl 24312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ*)
40	30, 33, 35, 39	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ*)
41		xmetcl 24312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
42	31, 34, 36, 41	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
43		rpxr 12949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ+ → 𝑤 ∈ ℝ*)
44	43	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
45		xrmaxlt 13130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
46	40, 42, 44, 45	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
47	38, 46	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
48	47	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌))) → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
49	48	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌)) → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
50	49	2ralbidva 3200	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
51	29, 50	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
52	51	rexbidva 3160	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
53	52	ralbidv 3161	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
54	53	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → ((𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹‘𝑥)) < 𝑧)) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
55	11, 17, 54	3bitr3d 309	1 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ifcif 4467  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   × cxp 5626  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  ℝ^*cxr 11175   < clt 11176   ≤ cle 11177  ℝ⁺crp 12939  distcds 17226   ×_s cxps 17467  ∞Metcxmet 21335  MetOpencmopn 21340   CnP ccnp 23206   ×_t ctx 23541  toMetSpctms 24300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-pre-sup 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-of 7628  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9860  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-z 12522  df-dec 12642  df-uz 12786  df-q 12896  df-rp 12940  df-xneg 13060  df-xadd 13061  df-xmul 13062  df-icc 13302  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-seq 13961  df-hash 14290  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-sca 17233  df-vsca 17234  df-ip 17235  df-tset 17236  df-ple 17237  df-ds 17239  df-hom 17241  df-cco 17242  df-rest 17382  df-topn 17383  df-0g 17401  df-gsum 17402  df-topgen 17403  df-pt 17404  df-prds 17407  df-xrs 17463  df-qtop 17468  df-imas 17469  df-xps 17471  df-mre 17545  df-mrc 17546  df-acs 17548  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18749  df-mulg 19041  df-cntz 19289  df-cmn 19754  df-psmet 21342  df-xmet 21343  df-bl 21345  df-mopn 21346  df-top 22875  df-topon 22892  df-topsp 22914  df-bases 22927  df-cn 23208  df-cnp 23209  df-tx 23543  df-hmeo 23736  df-xms 24301  df-tms 24303

This theorem is referenced by:  txmetcn  24529  cxpcn3  26731