MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txmetcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txmetcnp 22840
Description: Continuity of a binary operation on metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
txmetcnp.4 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
txmetcnp (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑤,𝑧,𝐹   𝑢,𝐽,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐾,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑋,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝑍,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐴,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐷,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐵,𝑣,𝑤,𝑧   𝑢,𝐸,𝑣,𝑤,𝑧   𝑤,𝐿,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem txmetcnp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2795 . . . 4 (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) = (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))
2 simpl1 1184 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 simpl2 1185 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
41, 2, 3tmsxps 22829 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) → (dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)))
5 simpl3 1186 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍))
6 opelxpi 5480 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑌) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
76adantl 482 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
8 eqid 2795 . . . 4 (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) = (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))))
9 txmetcnp.4 . . . 4 𝐿 = (MetOpen‘𝐸)
108, 9metcnp 22834 . . 3 (((dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷))) ∈ (∞Met‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍) ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑧))))
114, 5, 7, 10syl3anc 1364 . 2 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑧))))
12 metcn.2 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
13 metcn.4 . . . . . 6 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
141, 2, 3, 12, 13, 8tmsxpsmopn 22830 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) → (MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) = (𝐽 ×t 𝐾))
1514oveq1d 7031 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) → ((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿) = ((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿))
1615fveq1d 6540 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) → (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
1716eleq2d 2868 . 2 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) → (𝐹 ∈ (((MetOpen‘(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ 𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩)))
18 oveq2 7024 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) = (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩))
1918breq1d 4972 . . . . . . . 8 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤))
20 df-ov 7019 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2120oveq1i 7026 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝐹𝑥)) = ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹𝑥))
22 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐹𝑥) = (𝐹‘⟨𝑢, 𝑣⟩))
23 df-ov 7019 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝐹𝑣) = (𝐹‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
2422, 23syl6eqr 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (𝐹𝑥) = (𝑢𝐹𝑣))
2524oveq2d 7032 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝐹𝑥)) = ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)))
2621, 25syl5eqr 2845 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹𝑥)) = ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)))
2726breq1d 4972 . . . . . . . 8 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑧 ↔ ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))
2819, 27imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑥 = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑧) ↔ ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
2928ralxp 5598 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢𝑋𝑣𝑌 ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))
302ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
313ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
32 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → (𝐴𝑋𝐵𝑌))
3332simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → 𝐴𝑋)
3432simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → 𝐵𝑌)
35 simprrl 777 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → 𝑢𝑋)
36 simprrr 778 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → 𝑣𝑌)
371, 30, 31, 33, 34, 35, 36tmsxpsval2 22832 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) = if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)))
3837breq1d 4972 . . . . . . . . . 10 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 ↔ if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤))
39 xmetcl 22624 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑢𝑋) → (𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ*)
4030, 33, 35, 39syl3anc 1364 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → (𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ*)
41 xmetcl 22624 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐵𝑌𝑣𝑌) → (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
4231, 34, 36, 41syl3anc 1364 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ*)
43 rpxr 12248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ*)
4443ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
45 xrmaxlt 12424 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝑢) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝐷𝑣) ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
4640, 42, 44, 45syl3anc 1364 . . . . . . . . . 10 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → (if((𝐴𝐶𝑢) ≤ (𝐵𝐷𝑣), (𝐵𝐷𝑣), (𝐴𝐶𝑢)) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
4738, 46bitrd 280 . . . . . . . . 9 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 ↔ ((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤)))
4847imbi1d 343 . . . . . . . 8 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+ ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌))) → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
4948anassrs 468 . . . . . . 7 ((((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢𝑋𝑣𝑌)) → (((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
50492ralbidva 3165 . . . . . 6 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑢𝑋𝑣𝑌 ((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))⟨𝑢, 𝑣⟩) < 𝑤 → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5129, 50syl5bb 284 . . . . 5 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5251rexbidva 3259 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5352ralbidv 3164 . . 3 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) ∧ 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍) → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧)))
5453pm5.32da 579 . 2 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) → ((𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌)((⟨𝐴, 𝐵⟩(dist‘((toMetSp‘𝐶) ×s (toMetSp‘𝐷)))𝑥) < 𝑤 → ((𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑧)) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
5511, 17, 543bitr3d 310 1 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑍)) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑌)) → (𝐹 ∈ (((𝐽 ×t 𝐾) CnP 𝐿)‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶𝑍 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((𝐴𝐶𝑢) < 𝑤 ∧ (𝐵𝐷𝑣) < 𝑤) → ((𝐴𝐹𝐵)𝐸(𝑢𝐹𝑣)) < 𝑧))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106  ifcif 4381  cop 4478   class class class wbr 4962   × cxp 5441  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  *cxr 10520   < clt 10521  cle 10522  +crp 12239  distcds 16403   ×s cxps 16608  ∞Metcxmet 20212  MetOpencmopn 20217   CnP ccnp 21517   ×t ctx 21852  toMetSpctms 22612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-xms 22613  df-tms 22615
This theorem is referenced by:  txmetcn  22841  cxpcn3  25010
  Copyright terms: Public domain W3C validator