dvlip2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dvlip2 26185

Description: Combine the results of dvlip 26183 and dvlipcn 26184 into one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvlip2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvlip2.j	⊢ 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
dvlip2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvlip2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvlip2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
dvlip2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ^*)
dvlip2.b	⊢ 𝐵 = (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)
dvlip2.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
dvlip2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
dvlip2.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
dvlip2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐹 𝑥,𝐽 𝜑,𝑥 𝑥,𝑀 𝑥,𝑅 𝑥,𝑆 𝑥,𝑌 𝑥,𝑍 Allowed substitution hint: 𝑋(𝑥)

Proof of Theorem dvlip2 Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlip2.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
2		cnxmet 24960	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		dvlip2.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4		recnprss 26094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		xmetres2 24549	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
7	2, 5, 6	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
8	1, 7	eqeltrid 2869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
9	8	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
10		dvlip2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
11	10	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑆)
12		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13		dvlip2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)
14	12, 13	eleqtrdi 2875	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
15		dvlip2.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ^*)
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
17		elbl 24576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
18	9, 11, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
19	14, 18	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅))
20	19	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ 𝑆)
21		xmetcl 24519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ^*)
22	9, 11, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ^*)
23		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	23, 13	eleqtrdi 2875	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
25		elbl 24576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)))
26	9, 11, 16, 25	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)))
27	24, 26	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅))
28	27	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ 𝑆)
29		xmetcl 24519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ^*)
30	9, 11, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ^*)
31	22, 30	ifcld 4536	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) ∈ ℝ^*)
32	19	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)
33	27	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)
34		breq1 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐽𝑍) = if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) → ((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ↔ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅))
35		breq1 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐽𝑌) = if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) → ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑅 ↔ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅))
36	34, 35	ifboth 4529	. . . . 5 ⊢ (((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅)
37	32, 33, 36	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅)
38		qbtwnxr 13238	. . . 4 ⊢ ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ ℝ^* ∧ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅) → ∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅))
39	31, 16, 37, 38	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅))
40		qre 12989	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
41		rexr 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ^*)
42		xrmaxlt 13219	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)))
43	30, 22, 41, 42	syl2an3an 1449	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)))
44		ioossicc 13472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))
45		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑆 = ℝ)
46	28, 45	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
47	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ℝ)
48		xmetsym 24535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑌) = (𝑌𝐽𝐴))
49	9, 11, 28, 48	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) = (𝑌𝐽𝐴))
50	45	sqxpeqd 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
51	50	reseq2d 5980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
52	1, 51	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
53	52	oveqd 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌𝐽𝐴) = (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
54	11, 45	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
55		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
56	55	remetdval 24977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
57	46, 54, 56	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
58	49, 53, 57	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
59	58	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑌) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
60		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑌) < 𝑟)
61	59, 60	eqbrtrrd 5137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(𝑌 − 𝐴)) < 𝑟)
62	54	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ)
63		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ)
64	47, 62, 63	absdifltd 15507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((abs‘(𝑌 − 𝐴)) < 𝑟 ↔ ((𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
65	61, 64	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟)))
66	65	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) < 𝑌)
67	65	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))
68	62, 63	resubcld 11653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ)
69	68	rexrd 11270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ^*)
70	62, 63	readdcld 11249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ)
71	70	rexrd 11270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ^*)
72		elioo2 13425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ^*) → (𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
73	69, 71, 72	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
74	47, 66, 67, 73	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
75	44, 74	sselid 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))
76	75	fvresd 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) = (𝐹‘𝑌))
77	20, 45	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ ℝ)
78	77	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ℝ)
79		xmetsym 24535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
80	9, 11, 20, 79	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
81	52	oveqd 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍𝐽𝐴) = (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
82	55	remetdval 24977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
83	77, 54, 82	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
84	80, 81, 83	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
85	84	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑍) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
86		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)
87	85, 86	eqbrtrrd 5137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(𝑍 − 𝐴)) < 𝑟)
88	78, 62, 63	absdifltd 15507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((abs‘(𝑍 − 𝐴)) < 𝑟 ↔ ((𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
89	87, 88	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟)))
90	89	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) < 𝑍)
91	89	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))
92		elioo2 13425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ^*) → (𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
93	69, 71, 92	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
94	78, 90, 91, 93	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
95	44, 94	sselid 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))
96	95	fvresd 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍) = (𝐹‘𝑍))
97	76, 96	oveq12d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍)) = ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍)))
98	97	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) = (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))))
99	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
100		elicc2 13450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
101	68, 70, 100	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
102	101	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟)))
103	102	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℝ)
104	45	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑆 = ℝ)
105	103, 104	eleqtrrd 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
106	11	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
107		xmetcl 24519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥𝐽𝐴) ∈ ℝ^*)
108	99, 105, 106, 107	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) ∈ ℝ^*)
109	63	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ)
110	109	rexrd 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
111	16	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
112	52	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
113	112	oveqd 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
114	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐴 ∈ ℝ)
115	55	remetdval 24977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
116	103, 114, 115	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
117	113, 116	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
118	102	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥)
119	102	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))
120	103, 114, 109	absdifled 15508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) ≤ 𝑟 ↔ ((𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
121	118, 119, 120	mpbir2and 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ≤ 𝑟)
122	117, 121	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) ≤ 𝑟)
123		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 < 𝑅)
124	108, 110, 111, 122, 123	xrlelttrd 13197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅)
125		elbl3 24580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆)) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅))
126	99, 111, 106, 105, 125	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅))
127	124, 126	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
128	127	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)))
129	128	ssrdv 3944	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
130	129, 13	sseqtrrdi 3979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵)
131	130	resabs1d 6009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))
132		ax-resscn 11168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ℝ ⊆ ℂ)
134		dvlip2.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
135	134	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
136		dvlip2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
137		dvlip2.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
138	5, 134, 137	dvbss 26091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
139	136, 138	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
140	139	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
141	135, 140	fssresd 6749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
142		blssm 24606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ⊆ 𝑆)
143	9, 11, 16, 142	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ⊆ 𝑆)
144	13, 143	eqsstrid 3976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ 𝑆)
145	144, 45	sseqtrd 3974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
146	145	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
147	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
148	134	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
149	137	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
150	149, 45	sseqtrd 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
151		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
152		tgioo4 24993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
153	151, 152	dvres 26101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)))
154	147, 148, 150, 145, 153	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)))
155		retop 24949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
156	52	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ball‘𝐽) = (ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
157	156	oveqd 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) = (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅))
158	13, 157	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 = (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅))
159	52, 9	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘𝑆))
160		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
161	55, 160	tgioo 24984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
162	161	blopn 24688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
163	159, 11, 16, 162	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
164	158, 163	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ∈ (topGen‘ran (,)))
165		isopn3i 23269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵) = 𝐵)
166	155, 164, 165	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵) = 𝐵)
167	166	reseq2d 5980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
168	154, 167	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
169	168	dmeqd 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
170		dmres 6013	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹))
171	136	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
172	45	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 D 𝐹) = (ℝ D 𝐹))
173	172	dmeqd 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℝ D 𝐹))
174	171, 173	sseqtrd 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
175		dfss2 3924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐵)
176	174, 175	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐵)
177	170, 176	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵) = 𝐵)
178	169, 177	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵)
179	178	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵)
180		dvcn 26111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ))
181	133, 141, 146, 179, 180	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ))
182		rescncf 25087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ)))
183	130, 181, 182	sylc 66	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ))
184	131, 183	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ))
185	130, 146	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ ℝ)
186	151, 152	dvres 26101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
187	133, 141, 146, 185, 186	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
188	131	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
189		iccntr 25010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
190	68, 70, 189	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
191	190	reseq2d 5980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
192	187, 188, 191	3eqtr3d 2808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
193	192	dmeqd 5897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = dom ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
194		dmres 6013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) = (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)))
195	44, 130	sstrid 3949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵)
196	195, 179	sseqtrrd 3975	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)))
197		dfss2 3924	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↔ (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
198	196, 197	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
199	194, 198	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
200	193, 199	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
201		dvlip2.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
202	201	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑀 ∈ ℝ)
203	192	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = (((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))‘𝑥))
204		fvres 6904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥))
205	203, 204	sylan9eq 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥))
206	172	reseq1d 5979	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
207	168, 206	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
208	207	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥))
209	208	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥))
210	195	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
211	210	fvresd 6905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
212	205, 209, 211	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
213	212	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥)) = (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
214		simp-4l 795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝜑)
215		dvlip2.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
216	214, 210, 215	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
217	213, 216	eqbrtrd 5135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥)) ≤ 𝑀)
218	68, 70, 184, 200, 202, 217	dvlip 26183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ (𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
219	218	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
220	75, 95, 219	mp2and 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
221	98, 220	eqbrtrrd 5137	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
222	221	exp32 426	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) → (𝑟 < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))))
223	43, 222	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 → (𝑟 < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))))
224	223	impd 416	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
225	40, 224	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
226	225	rexlimdva 3168	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
227	39, 226	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
228		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 = ℂ)
229	228	sqxpeqd 5695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
230	229	reseq2d 5980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
231		absf 15409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
232		subf 11470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
233		fco 6734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
234	231, 232, 233	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
235		ffn 6709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
236		fnresdm 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
237	234, 235, 236	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
238	230, 237	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = (abs ∘ − ))
239	1, 238	eqtrid 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐽 = (abs ∘ − ))
240	239	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (ball‘𝐽) = (ball‘(abs ∘ − )))
241	240	oveqd 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
242	13, 241	eqtrid 2812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐵 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
243	242	eleq2d 2851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
244	242	eleq2d 2851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑍 ∈ 𝐵 ↔ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
245	243, 244	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))))
246	245	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
247	137	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
248	247, 228	sseqtrd 3974	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
249	134	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
250	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑆)
251	250, 228	eleqtrd 2867	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
252	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
253		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
254	136	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
255	228	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 D 𝐹) = (ℂ D 𝐹))
256	255	dmeqd 5897	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℂ D 𝐹))
257	254, 242, 256	3sstr3d 3992	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
258	201	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑀 ∈ ℝ)
259	215	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
260	259	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
261	242	eleq2d 2851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
262	255	fveq1d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))
263	262	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
264	263	breq1d 5121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
265	260, 261, 264	3imtr3d 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
266	265	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
267	248, 249, 251, 252, 253, 257, 258, 266	dvlipcn 26184	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
268	246, 267	syldan 603	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
269	268	an32s 665	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
270		elpri 4615	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
271	3, 270	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
272	271	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
273	227, 269, 272	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ∃wrex 3091 ∩ cin 3905 ⊆ wss 3906 ifcif 4489 {cpr 4593 class class class wbr 5111 × cxp 5661 dom cdm 5663 ran crn 5664 ↾ cres 5665 ∘ ccom 5667 Fn wfn 6535 ⟶wf 6536 ‘cfv 6540 (class class class)co 7416 ℂcc 11109 ℝcr 11110 + caddc 11114 · cmul 11116 ℝ^*cxr 11253 < clt 11254 ≤ cle 11255 − cmin 11452 ℚcq 12984 (,)cioo 13384 [,]cicc 13387 abscabs 15305 TopOpenctopn 17492 topGenctg 17508 ∞Metcxmet 21537 ballcbl 21539 MetOpencmopn 21542 ℂ_fldccnfld 21552 Topctop 23080 intcnt 23204 –cn→ccncf 25066 D cdv 26053

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-rep 5240 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7738 ax-cnex 11167 ax-resscn 11168 ax-1cn 11169 ax-icn 11170 ax-addcl 11171 ax-addrcl 11172 ax-mulcl 11173 ax-mulrcl 11174 ax-mulcom 11175 ax-addass 11176 ax-mulass 11177 ax-distr 11178 ax-i2m1 11179 ax-1ne0 11180 ax-1rid 11181 ax-rnegex 11182 ax-rrecex 11183 ax-cnre 11184 ax-pre-lttri 11185 ax-pre-lttrn 11186 ax-pre-ltadd 11187 ax-pre-mulgt0 11188 ax-pre-sup 11189 ax-addf 11190

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-se 5617 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7373 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-of 7680 df-om 7865 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-supp 8159 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8360 df-rdg 8399 df-1o 8455 df-2o 8456 df-er 8696 df-map 8828 df-pm 8829 df-ixp 8898 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-fin 8949 df-fsupp 9325 df-fi 9374 df-sup 9405 df-inf 9406 df-oi 9475 df-card 9937 df-pnf 11256 df-mnf 11257 df-xr 11258 df-ltxr 11259 df-le 11260 df-sub 11454 df-neg 11455 df-div 11883 df-nn 12245 df-2 12314 df-3 12315 df-4 12316 df-5 12317 df-6 12318 df-7 12319 df-8 12320 df-9 12321 df-n0 12516 df-z 12603 df-dec 12724 df-uz 12875 df-q 12985 df-rp 13029 df-xneg 13149 df-xadd 13150 df-xmul 13151 df-ioo 13388 df-ico 13390 df-icc 13391 df-fz 13548 df-fzo 13696 df-seq 14052 df-exp 14112 df-hash 14381 df-cj 15170 df-re 15171 df-im 15172 df-sqrt 15306 df-abs 15307 df-struct 17225 df-sets 17242 df-slot 17260 df-ndx 17272 df-base 17288 df-ress 17309 df-plusg 17341 df-mulr 17342 df-starv 17343 df-sca 17344 df-vsca 17345 df-ip 17346 df-tset 17347 df-ple 17348 df-ds 17350 df-unif 17351 df-hom 17352 df-cco 17353 df-rest 17493 df-topn 17494 df-0g 17512 df-gsum 17513 df-topgen 17514 df-pt 17515 df-prds 17518 df-xrs 17574 df-qtop 17579 df-imas 17580 df-xps 17582 df-mre 17656 df-mrc 17657 df-acs 17659 df-mgm 18716 df-sgrp 18799 df-mnd 18815 df-submnd 18866 df-mulg 19158 df-cntz 19411 df-cmn 19876 df-psmet 21544 df-xmet 21545 df-met 21546 df-bl 21547 df-mopn 21548 df-fbas 21549 df-fg 21550 df-cnfld 21553 df-top 23081 df-topon 23098 df-topsp 23120 df-bases 23133 df-cld 23206 df-ntr 23207 df-cls 23208 df-nei 23285 df-lp 23323 df-perf 23324 df-cn 23414 df-cnp 23415 df-haus 23502 df-cmp 23574 df-tx 23750 df-hmeo 23943 df-fil 24034 df-fm 24126 df-flim 24127 df-flf 24128 df-xms 24508 df-ms 24509 df-tms 24510 df-cncf 25068 df-limc 26056 df-dv 26057

This theorem is used by: ulmdvlem1 26594 dvconstbi 45077

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