MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlip2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlip2 25941
Description: Combine the results of dvlip 25939 and dvlipcn 25940 into one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlip2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvlip2.j 𝐽 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
dvlip2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvlip2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvlip2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
dvlip2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
dvlip2.b 𝐡 = (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅)
dvlip2.d (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† dom (𝑆 D 𝐹))
dvlip2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
dvlip2.l ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
dvlip2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem dvlip2
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlip2.j . . . . . . . 8 𝐽 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
2 cnxmet 24702 . . . . . . . . 9 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
3 dvlip2.s . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
4 recnprss 25846 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6 xmetres2 24280 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
72, 5, 6sylancr 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
81, 7eqeltrid 2833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
98ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
10 dvlip2.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
1110ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
12 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
13 dvlip2.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅)
1412, 13eleqtrdi 2839 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑍 ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅))
15 dvlip2.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1615ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
17 elbl 24307 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑍 ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
189, 11, 16, 17syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝑍 ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
1914, 18mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅))
2019simpld 494 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑍 ∈ 𝑆)
21 xmetcl 24250 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*)
229, 11, 20, 21syl3anc 1369 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*)
23 simplrl 776 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2423, 13eleqtrdi 2839 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ π‘Œ ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅))
25 elbl 24307 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) ↔ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ (π΄π½π‘Œ) < 𝑅)))
269, 11, 16, 25syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) ↔ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ (π΄π½π‘Œ) < 𝑅)))
2724, 26mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ (π΄π½π‘Œ) < 𝑅))
2827simpld 494 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
29 xmetcl 24250 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (π΄π½π‘Œ) ∈ ℝ*)
309, 11, 28, 29syl3anc 1369 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π΄π½π‘Œ) ∈ ℝ*)
3122, 30ifcld 4575 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) ∈ ℝ*)
3219simprd 495 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)
3327simprd 495 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π΄π½π‘Œ) < 𝑅)
34 breq1 5151 . . . . . 6 ((𝐴𝐽𝑍) = if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) β†’ ((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ↔ if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < 𝑅))
35 breq1 5151 . . . . . 6 ((π΄π½π‘Œ) = if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) β†’ ((π΄π½π‘Œ) < 𝑅 ↔ if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < 𝑅))
3634, 35ifboth 4568 . . . . 5 (((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ∧ (π΄π½π‘Œ) < 𝑅) β†’ if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < 𝑅)
3732, 33, 36syl2anc 583 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < 𝑅)
38 qbtwnxr 13212 . . . 4 ((if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < 𝑅) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < 𝑅))
3931, 16, 37, 38syl3anc 1369 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < 𝑅))
40 qre 12968 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ β„š β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
41 rexr 11291 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
42 xrmaxlt 13193 . . . . . . . 8 (((π΄π½π‘Œ) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ ↔ ((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ)))
4330, 22, 41, 42syl2an3an 1420 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ ↔ ((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ)))
44 ioossicc 13443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))
45 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑆 = ℝ)
4628, 45eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
48 xmetsym 24266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (π΄π½π‘Œ) = (π‘Œπ½π΄))
499, 11, 28, 48syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π΄π½π‘Œ) = (π‘Œπ½π΄))
5045sqxpeqd 5710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) = (ℝ Γ— ℝ))
5150reseq2d 5985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
521, 51eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐽 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
5352oveqd 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π‘Œπ½π΄) = (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴))
5411, 45eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
55 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
5655remetdval 24718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴) = (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐴)))
5746, 54, 56syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴) = (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐴)))
5849, 53, 573eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π΄π½π‘Œ) = (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐴)))
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (π΄π½π‘Œ) = (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐴)))
60 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ)
6159, 60eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐴)) < π‘Ÿ)
6254ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
63 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
6447, 62, 63absdifltd 15413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐴)) < π‘Ÿ ↔ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < π‘Œ ∧ π‘Œ < (𝐴 + π‘Ÿ))))
6561, 64mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < π‘Œ ∧ π‘Œ < (𝐴 + π‘Ÿ)))
6665simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < π‘Œ)
6765simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ π‘Œ < (𝐴 + π‘Ÿ))
6862, 63resubcld 11673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
6968rexrd 11295 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
7062, 63readdcld 11274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴 + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
7170rexrd 11295 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
72 elioo2 13398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < π‘Œ ∧ π‘Œ < (𝐴 + π‘Ÿ))))
7369, 71, 72syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < π‘Œ ∧ π‘Œ < (𝐴 + π‘Ÿ))))
7447, 66, 67, 73mpbir3and 1340 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ π‘Œ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
7544, 74sselid 3978 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ π‘Œ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))
7675fvresd 6917 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘Œ) = (πΉβ€˜π‘Œ))
7720, 45eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑍 ∈ ℝ)
7877ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝑍 ∈ ℝ)
79 xmetsym 24266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
809, 11, 20, 79syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
8152oveqd 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝑍𝐽𝐴) = (𝑍((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴))
8255remetdval 24718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝑍((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴) = (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐴)))
8377, 54, 82syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝑍((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴) = (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐴)))
8480, 81, 833eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐴𝐽𝑍) = (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐴)))
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴𝐽𝑍) = (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐴)))
86 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ)
8785, 86eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐴)) < π‘Ÿ)
8878, 62, 63absdifltd 15413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐴)) < π‘Ÿ ↔ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + π‘Ÿ))))
8987, 88mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + π‘Ÿ)))
9089simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝑍)
9189simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝑍 < (𝐴 + π‘Ÿ))
92 elioo2 13398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) β†’ (𝑍 ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + π‘Ÿ))))
9369, 71, 92syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝑍 ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + π‘Ÿ))))
9478, 90, 91, 93mpbir3and 1340 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝑍 ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
9544, 94sselid 3978 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝑍 ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))
9695fvresd 6917 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
9776, 96oveq12d 7438 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘)) = ((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))
9897fveq2d 6901 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
999ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ 𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
100 elicc2 13422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + π‘Ÿ) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐴 + π‘Ÿ))))
10168, 70, 100syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐴 + π‘Ÿ))))
102101biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐴 + π‘Ÿ)))
103102simp1d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
10445ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ 𝑆 = ℝ)
105103, 104eleqtrrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
10611ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
107 xmetcl 24250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯𝐽𝐴) ∈ ℝ*)
10899, 105, 106, 107syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯𝐽𝐴) ∈ ℝ*)
10963adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
110109rexrd 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
11116ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
11252ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ 𝐽 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
113112oveqd 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯𝐽𝐴) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴))
11462adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
11555remetdval 24718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)))
116103, 114, 115syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)))
117113, 116eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯𝐽𝐴) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)))
118102simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ≀ π‘₯)
119102simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘₯ ≀ (𝐴 + π‘Ÿ))
120103, 114, 109absdifled 15414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) ≀ π‘Ÿ ↔ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐴 + π‘Ÿ))))
121118, 119, 120mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) ≀ π‘Ÿ)
122117, 121eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯𝐽𝐴) ≀ π‘Ÿ)
123 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ < 𝑅)
124108, 110, 111, 122, 123xrlelttrd 13172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯𝐽𝐴) < 𝑅)
125 elbl3 24311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) ↔ (π‘₯𝐽𝐴) < 𝑅))
12699, 111, 106, 105, 125syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) ↔ (π‘₯𝐽𝐴) < 𝑅))
127124, 126mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅))
128127ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅)))
129128ssrdv 3986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅))
130129, 13sseqtrrdi 4031 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐡)
131130resabs1d 6016 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) = (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))))
132 ax-resscn 11196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ βŠ† β„‚
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
134 dvlip2.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
135134ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
136 dvlip2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† dom (𝑆 D 𝐹))
137 dvlip2.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
1385, 134, 137dvbss 25843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑋)
139136, 138sstrd 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
140139ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
141135, 140fssresd 6764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„‚)
142 blssm 24337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) βŠ† 𝑆)
1439, 11, 16, 142syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) βŠ† 𝑆)
14413, 143eqsstrid 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
145144, 45sseqtrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
146145ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
147132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
148134ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
149137ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
150149, 45sseqtrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
151 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
152151tgioo2 24732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
153151, 152dvres 25853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) ∧ (𝑋 βŠ† ℝ ∧ 𝐡 βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΅)))
154147, 148, 150, 145, 153syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΅)))
155 retop 24691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
15652fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (ballβ€˜π½) = (ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))))
157156oveqd 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) = (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑅))
15813, 157eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐡 = (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑅))
15952, 9eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
160 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
16155, 160tgioo 24725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
162161blopn 24422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑅) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
163159, 11, 16, 162syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑅) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
164158, 163eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐡 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
165 isopn3i 22999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΅) = 𝐡)
166155, 164, 165sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΅) = 𝐡)
167166reseq2d 5985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΅)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ 𝐡))
168154, 167eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ 𝐡))
169168dmeqd 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ 𝐡))
170 dmres 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ 𝐡) = (𝐡 ∩ dom (ℝ D 𝐹))
171136ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† dom (𝑆 D 𝐹))
17245oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝑆 D 𝐹) = (ℝ D 𝐹))
173172dmeqd 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℝ D 𝐹))
174171, 173sseqtrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
175 df-ss 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐡 βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ (𝐡 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐡)
176174, 175sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐡 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐡)
177170, 176eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ 𝐡) = 𝐡)
178169, 177eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = 𝐡)
179178ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = 𝐡)
180 dvcn 25864 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„‚ ∧ 𝐡 βŠ† ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = 𝐡) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚))
181133, 141, 146, 179, 180syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚))
182 rescncf 24830 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) ∈ (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))–cnβ†’β„‚)))
183130, 181, 182sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) ∈ (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))–cnβ†’β„‚))
184131, 183eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) ∈ (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))–cnβ†’β„‚))
185130, 146sstrd 3990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† ℝ)
186151, 152dvres 25853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„‚) ∧ (𝐡 βŠ† ℝ ∧ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))))
187133, 141, 146, 185, 186syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (ℝ D ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))))
188131oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (ℝ D ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))))
189 iccntr 24750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + π‘Ÿ) ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) = ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
19068, 70, 189syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) = ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
191190reseq2d 5985 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))))
192187, 188, 1913eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))))
193192dmeqd 5908 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) = dom ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))))
194 dmres 6007 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) = (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
19544, 130sstrid 3991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐡)
196195, 179sseqtrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
197 df-ss 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ↔ (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))) = ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
198196, 197sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))) = ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
199194, 198eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ dom ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) = ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
200193, 199eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) = ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
201 dvlip2.m . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
202201ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
203192fveq1d 6899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))))β€˜π‘₯) = (((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘₯))
204 fvres 6916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘₯) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))β€˜π‘₯))
205203, 204sylan9eq 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))))β€˜π‘₯) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))β€˜π‘₯))
206172reseq1d 5984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ 𝐡))
207168, 206eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡))
208207fveq1d 6899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯))
209208ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯))
210195sselda 3980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
211210fvresd 6917 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯))
212205, 209, 2113eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))))β€˜π‘₯) = ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯))
213212fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))))β€˜π‘₯)) = (absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
214 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ πœ‘)
215 dvlip2.l . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)
216214, 210, 215syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)
217213, 216eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)
21868, 70, 184, 200, 202, 217dvlip 25939 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ (π‘Œ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
219218ex 412 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((π‘Œ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍)))))
22075, 95, 219mp2and 698 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
22198, 220eqbrtrrd 5172 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
222221exp32 420 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) β†’ (π‘Ÿ < 𝑅 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))))
22343, 222sylbid 239 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ β†’ (π‘Ÿ < 𝑅 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))))
224223impd 410 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < 𝑅) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍)))))
22540, 224sylan2 592 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < 𝑅) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍)))))
226225rexlimdva 3152 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < 𝑅) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍)))))
22739, 226mpd 15 . 2 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
228 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝑆 = β„‚)
229228sqxpeqd 5710 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) = (β„‚ Γ— β„‚))
230229reseq2d 5985 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚)))
231 absf 15317 . . . . . . . . . . . . . 14 abs:β„‚βŸΆβ„
232 subf 11493 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
233 fco 6747 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„)
234231, 232, 233mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„
235 ffn 6722 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„ β†’ (abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚))
236 fnresdm 6674 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚)) = (abs ∘ βˆ’ ))
237234, 235, 236mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚)) = (abs ∘ βˆ’ )
238230, 237eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = (abs ∘ βˆ’ ))
2391, 238eqtrid 2780 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐽 = (abs ∘ βˆ’ ))
240239fveq2d 6901 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (ballβ€˜π½) = (ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))
241240oveqd 7437 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) = (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
24213, 241eqtrid 2780 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐡 = (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
243242eleq2d 2815 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ↔ π‘Œ ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)))
244242eleq2d 2815 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝑍 ∈ 𝐡 ↔ 𝑍 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)))
245243, 244anbi12d 631 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))))
246245biimpa 476 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)))
247137adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
248247, 228sseqtrd 4020 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
249134adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
25010adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
251250, 228eleqtrd 2831 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
25215adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
253 eqid 2728 . . . . 5 (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) = (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)
254136adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐡 βŠ† dom (𝑆 D 𝐹))
255228oveq1d 7435 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝑆 D 𝐹) = (β„‚ D 𝐹))
256255dmeqd 5908 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = dom (β„‚ D 𝐹))
257254, 242, 2563sstr3d 4026 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† dom (β„‚ D 𝐹))
258201adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
259215ex 412 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀))
260259adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀))
261242eleq2d 2815 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)))
262255fveq1d 6899 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) = ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯))
263262fveq2d 6901 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)) = (absβ€˜((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
264263breq1d 5158 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ ((absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀 ↔ (absβ€˜((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀))
265260, 261, 2643imtr3d 293 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) β†’ (absβ€˜((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀))
266265imp 406 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (absβ€˜((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)
267248, 249, 251, 252, 253, 257, 258, 266dvlipcn 25940 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) ∧ (π‘Œ ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
268246, 267syldan 590 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
269268an32s 651 . 2 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
270 elpri 4651 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
2713, 270syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
272271adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
273227, 269, 272mpjaodan 957 1 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ifcif 4529  {cpr 4631   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5676  dom cdm 5678  ran crn 5679   β†Ύ cres 5680   ∘ ccom 5682   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  β„cr 11138   + caddc 11142   Β· cmul 11144  β„*cxr 11278   < clt 11279   ≀ cle 11280   βˆ’ cmin 11475  β„šcq 12963  (,)cioo 13357  [,]cicc 13360  abscabs 15214  TopOpenctopn 17403  topGenctg 17419  βˆžMetcxmet 21264  ballcbl 21266  MetOpencmopn 21269  β„‚fldccnfld 21279  Topctop 22808  intcnt 22934  β€“cnβ†’ccncf 24809   D cdv 25805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809
This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  26349  dvconstbi  43771
  Copyright terms: Public domain W3C validator