MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlip2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlip2 23979
Description: Combine the results of dvlip 23977 and dvlipcn 23978 into one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlip2.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvlip2.j 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
dvlip2.x (𝜑𝑋𝑆)
dvlip2.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvlip2.a (𝜑𝐴𝑆)
dvlip2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
dvlip2.b 𝐵 = (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)
dvlip2.d (𝜑𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
dvlip2.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvlip2.l ((𝜑𝑥𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
dvlip2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem dvlip2
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlip2.j . . . . . . . 8 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
2 cnxmet 22797 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 dvlip2.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4 recnprss 23889 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 xmetres2 22387 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
72, 5, 6sylancr 569 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
81, 7syl5eqel 2854 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
98ad2antrr 699 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
10 dvlip2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
1110ad2antrr 699 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐴𝑆)
12 simplrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍𝐵)
13 dvlip2.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)
1412, 13syl6eleq 2860 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
15 dvlip2.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
1615ad2antrr 699 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17 elbl 22414 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑍𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
189, 11, 16, 17syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑍𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
1914, 18mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅))
2019simpld 478 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍𝑆)
21 xmetcl 22357 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑍𝑆) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*)
229, 11, 20, 21syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*)
23 simplrl 756 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌𝐵)
2423, 13syl6eleq 2860 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
25 elbl 22414 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑌𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)))
269, 11, 16, 25syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑌𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)))
2724, 26mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅))
2827simpld 478 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌𝑆)
29 xmetcl 22357 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑌𝑆) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ*)
309, 11, 28, 29syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ*)
3122, 30ifcld 4271 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) ∈ ℝ*)
3219simprd 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)
3327simprd 479 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)
34 breq1 4790 . . . . . 6 ((𝐴𝐽𝑍) = if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) → ((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ↔ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅))
35 breq1 4790 . . . . . 6 ((𝐴𝐽𝑌) = if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) → ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑅 ↔ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅))
3634, 35ifboth 4264 . . . . 5 (((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅)
3732, 33, 36syl2anc 567 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅)
38 qbtwnxr 12237 . . . 4 ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅) → ∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅))
3931, 16, 37, 38syl3anc 1476 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅))
40 qre 11997 . . . . 5 (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
4130adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ*)
4222adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*)
43 rexr 10288 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
4443adantl 467 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → 𝑟 ∈ ℝ*)
45 xrmaxlt 12218 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)))
4641, 42, 44, 45syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)))
47 ioossicc 12465 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))
48 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑆 = ℝ)
4928, 48eleqtrd 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
5049ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ℝ)
51 xmetsym 22373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑌𝑆) → (𝐴𝐽𝑌) = (𝑌𝐽𝐴))
529, 11, 28, 51syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) = (𝑌𝐽𝐴))
5348sqxpeqd 5282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
5453reseq2d 5535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
551, 54syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5655oveqd 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌𝐽𝐴) = (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
5711, 48eleqtrd 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
58 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
5958remetdval 22813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑌𝐴)))
6049, 57, 59syl2anc 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑌𝐴)))
6152, 56, 603eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) = (abs‘(𝑌𝐴)))
6261ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑌) = (abs‘(𝑌𝐴)))
63 simprll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑌) < 𝑟)
6462, 63eqbrtrrd 4811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(𝑌𝐴)) < 𝑟)
6557ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ)
66 simplr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ)
6750, 65, 66absdifltd 14381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((abs‘(𝑌𝐴)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝑟) < 𝑌𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
6864, 67mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟) < 𝑌𝑌 < (𝐴 + 𝑟)))
6968simpld 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝑟) < 𝑌)
7068simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))
7165, 66resubcld 10661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝑟) ∈ ℝ)
7271rexrd 10292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝑟) ∈ ℝ*)
7365, 66readdcld 10272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ)
7473rexrd 10292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ*)
75 elioo2 12422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) < 𝑌𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
7672, 74, 75syl2anc 567 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) < 𝑌𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
7750, 69, 70, 76mpbir3and 1427 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
7847, 77sseldi 3751 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))
79 fvres 6349 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) = (𝐹𝑌))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) = (𝐹𝑌))
8120, 48eleqtrd 2852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ ℝ)
8281ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ℝ)
83 xmetsym 22373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑍𝑆) → (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
849, 11, 20, 83syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
8555oveqd 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍𝐽𝐴) = (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
8658remetdval 22813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑍𝐴)))
8781, 57, 86syl2anc 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑍𝐴)))
8884, 85, 873eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) = (abs‘(𝑍𝐴)))
8988ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑍) = (abs‘(𝑍𝐴)))
90 simprlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)
9189, 90eqbrtrrd 4811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(𝑍𝐴)) < 𝑟)
9282, 65, 66absdifltd 14381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((abs‘(𝑍𝐴)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝑟) < 𝑍𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
9391, 92mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟) < 𝑍𝑍 < (𝐴 + 𝑟)))
9493simpld 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝑟) < 𝑍)
9593simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))
96 elioo2 12422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) < 𝑍𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
9772, 74, 96syl2anc 567 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) < 𝑍𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
9882, 94, 95, 97mpbir3and 1427 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
9947, 98sseldi 3751 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))
100 fvres 6349 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍) = (𝐹𝑍))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍) = (𝐹𝑍))
10280, 101oveq12d 6812 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍)) = ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍)))
103102fveq2d 6337 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) = (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))))
1049ad3antrrr 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
105 elicc2 12444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
10671, 73, 105syl2anc 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
107106biimpa 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟)))
108107simp1d 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10948ad3antrrr 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑆 = ℝ)
110108, 109eleqtrrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥𝑆)
11111ad3antrrr 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐴𝑆)
112 xmetcl 22357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑥𝑆𝐴𝑆) → (𝑥𝐽𝐴) ∈ ℝ*)
113104, 110, 111, 112syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) ∈ ℝ*)
11466adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ)
115114rexrd 10292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
11616ad3antrrr 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
11755ad3antrrr 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
118117oveqd 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
11965adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐴 ∈ ℝ)
12058remetdval 22813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑥𝐴)))
121108, 119, 120syl2anc 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑥𝐴)))
122118, 121eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) = (abs‘(𝑥𝐴)))
123107simp2d 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝐴𝑟) ≤ 𝑥)
124107simp3d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))
125108, 119, 114absdifled 14382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → ((abs‘(𝑥𝐴)) ≤ 𝑟 ↔ ((𝐴𝑟) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
126123, 124, 125mpbir2and 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (abs‘(𝑥𝐴)) ≤ 𝑟)
127122, 126eqbrtrd 4809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) ≤ 𝑟)
128 simplrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 < 𝑅)
129113, 115, 116, 127, 128xrlelttrd 12197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅)
130 elbl3 22418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝑥𝑆)) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅))
131104, 116, 111, 110, 130syl22anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅))
132129, 131mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
133132ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)))
134133ssrdv 3759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
135134, 13syl6sseqr 3802 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵)
136135resabs1d 5570 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))
137 ax-resscn 10196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ℝ ⊆ ℂ)
139 dvlip2.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
140139ad4antr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
141 dvlip2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
142 dvlip2.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋𝑆)
1435, 139, 142dvbss 23886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
144141, 143sstrd 3763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵𝑋)
145144ad4antr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐵𝑋)
146140, 145fssresd 6212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
147 blssm 22444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ⊆ 𝑆)
1489, 11, 16, 147syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ⊆ 𝑆)
14913, 148syl5eqss 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵𝑆)
150149, 48sseqtrd 3791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
151150ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
152137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
153139ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
154142ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑋𝑆)
155154, 48sseqtrd 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
156 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
157156tgioo2 22827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
158156, 157dvres 23896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)))
159152, 153, 155, 150, 158syl22anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)))
160 retop 22786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
16155fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ball‘𝐽) = (ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
162161oveqd 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) = (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅))
16313, 162syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 = (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅))
16455, 9eqeltrrd 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘𝑆))
165 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
16658, 165tgioo 22820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
167166blopn 22526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
168164, 11, 16, 167syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
169163, 168eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ∈ (topGen‘ran (,)))
170 isopn3i 21108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵) = 𝐵)
171160, 169, 170sylancr 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵) = 𝐵)
172171reseq2d 5535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
173159, 172eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
174173dmeqd 5465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (ℝ D (𝐹𝐵)) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
175 dmres 5561 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹))
176141ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
17748oveq1d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 D 𝐹) = (ℝ D 𝐹))
178177dmeqd 5465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℝ D 𝐹))
179176, 178sseqtrd 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
180 df-ss 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐵)
181179, 180sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐵)
182175, 181syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵) = 𝐵)
183174, 182eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (ℝ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
184183ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
185 dvcn 23905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝐹𝐵)) = 𝐵) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ))
186138, 146, 151, 184, 185syl31anc 1479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ))
187 rescncf 22921 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ) → ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ)))
188135, 186, 187sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ))
189136, 188eqeltrrd 2851 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ))
190135, 151sstrd 3763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ ℝ)
191156, 157dvres 23896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
192138, 146, 151, 190, 191syl22anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
193136oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
194 iccntr 22845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
19571, 73, 194syl2anc 567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
196195reseq2d 5535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
197192, 193, 1963eqtr3d 2813 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
198197dmeqd 5465 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = dom ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
199 dmres 5561 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) = (((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹𝐵)))
20047, 135syl5ss 3764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵)
201200, 184sseqtr4d 3792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D (𝐹𝐵)))
202 df-ss 3738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D (𝐹𝐵)) ↔ (((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹𝐵))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
203201, 202sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹𝐵))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
204199, 203syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
205198, 204eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
206 dvlip2.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
207206ad4antr 706 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑀 ∈ ℝ)
208197fveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = (((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))‘𝑥))
209 fvres 6349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) → (((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹𝐵))‘𝑥))
210208, 209sylan9eq 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹𝐵))‘𝑥))
211177reseq1d 5534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
212173, 211eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹𝐵)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
213212fveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((ℝ D (𝐹𝐵))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥))
214213ad3antrrr 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹𝐵))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥))
215200sselda 3753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → 𝑥𝐵)
216 fvres 6349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐵 → (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
217215, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
218210, 214, 2173eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
219218fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥)) = (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
220 simp-4l 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝜑)
221 dvlip2.l . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
222220, 221sylan 563 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
223215, 222syldan 573 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
224219, 223eqbrtrd 4809 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥)) ≤ 𝑀)
22571, 73, 189, 205, 207, 224dvlip 23977 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ (𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
226225ex 397 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
22778, 99, 226mp2and 673 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
228103, 227eqbrtrrd 4811 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
229228exp32 407 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) → (𝑟 < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))))
23046, 229sylbid 230 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 → (𝑟 < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))))
231230impd 396 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
23240, 231sylan2 574 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
233232rexlimdva 3179 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
23439, 233mpd 15 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
235 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑆 = ℂ)
236235sqxpeqd 5282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
237236reseq2d 5535 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
238 absf 14286 . . . . . . . . . . . . . 14 abs:ℂ⟶ℝ
239 subf 10486 . . . . . . . . . . . . . 14 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
240 fco 6199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
241238, 239, 240mp2an 666 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
242 ffn 6186 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
243 fnresdm 6141 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
244241, 242, 243mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
245237, 244syl6eq 2821 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = (abs ∘ − ))
2461, 245syl5eq 2817 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐽 = (abs ∘ − ))
247246fveq2d 6337 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (ball‘𝐽) = (ball‘(abs ∘ − )))
248247oveqd 6811 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
24913, 248syl5eq 2817 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐵 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
250249eleq2d 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑌𝐵𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
251249eleq2d 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑍𝐵𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
252250, 251anbi12d 610 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((𝑌𝐵𝑍𝐵) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))))
253252biimpa 462 . . . 4 (((𝜑𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
254142adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑋𝑆)
255254, 235sseqtrd 3791 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
256139adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
25710adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐴𝑆)
258257, 235eleqtrd 2852 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
25915adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
260 eqid 2771 . . . . 5 (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
261141adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
262235oveq1d 6809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑆 D 𝐹) = (ℂ D 𝐹))
263262dmeqd 5465 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℂ D 𝐹))
264261, 249, 2633sstr3d 3797 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
265206adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑀 ∈ ℝ)
266221ex 397 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐵 → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
267266adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑥𝐵 → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
268249eleq2d 2836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
269262fveq1d 6335 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))
270269fveq2d 6337 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
271270breq1d 4797 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
272267, 268, 2713imtr3d 282 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
273272imp 393 . . . . 5 (((𝜑𝑆 = ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
274255, 256, 258, 259, 260, 264, 265, 273dvlipcn 23978 . . . 4 (((𝜑𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
275253, 274syldan 573 . . 3 (((𝜑𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
276275an32s 625 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℂ) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
277 elpri 4338 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
2783, 277syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
279278adantr 466 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
280234, 276, 279mpjaodan 933 1 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 828  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  cin 3723  wss 3724  ifcif 4226  {cpr 4319   class class class wbr 4787   × cxp 5248  dom cdm 5250  ran crn 5251  cres 5252  ccom 5254   Fn wfn 6027  wf 6028  cfv 6032  (class class class)co 6794  cc 10137  cr 10138   + caddc 10142   · cmul 10144  *cxr 10276   < clt 10277  cle 10278  cmin 10469  cq 11992  (,)cioo 12381  [,]cicc 12384  abscabs 14183  TopOpenctopn 16291  topGenctg 16307  ∞Metcxmt 19947  ballcbl 19949  MetOpencmopn 19952  fldccnfld 19962  Topctop 20919  intcnt 21043  cnccncf 22900   D cdv 23848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217  ax-addf 10218  ax-mulf 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-supp 7448  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-ixp 8064  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12037  df-xneg 12152  df-xadd 12153  df-xmul 12154  df-ioo 12385  df-ico 12387  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-seq 13010  df-exp 13069  df-hash 13323  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-starv 16165  df-sca 16166  df-vsca 16167  df-ip 16168  df-tset 16169  df-ple 16170  df-ds 16173  df-unif 16174  df-hom 16175  df-cco 16176  df-rest 16292  df-topn 16293  df-0g 16311  df-gsum 16312  df-topgen 16313  df-pt 16314  df-prds 16317  df-xrs 16371  df-qtop 16376  df-imas 16377  df-xps 16379  df-mre 16455  df-mrc 16456  df-acs 16458  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-mulg 17750  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-psmet 19954  df-xmet 19955  df-met 19956  df-bl 19957  df-mopn 19958  df-fbas 19959  df-fg 19960  df-cnfld 19963  df-top 20920  df-topon 20937  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23851  df-dv 23852
This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  24375  dvconstbi  39060
  Copyright terms: Public domain W3C validator