MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlip2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlip2 25872
Description: Combine the results of dvlip 25870 and dvlipcn 25871 into one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlip2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvlip2.j 𝐽 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
dvlip2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvlip2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvlip2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
dvlip2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
dvlip2.b 𝐡 = (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅)
dvlip2.d (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† dom (𝑆 D 𝐹))
dvlip2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
dvlip2.l ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
dvlip2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐽   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem dvlip2
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlip2.j . . . . . . . 8 𝐽 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
2 cnxmet 24633 . . . . . . . . 9 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
3 dvlip2.s . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
4 recnprss 25777 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
6 xmetres2 24211 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
72, 5, 6sylancr 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
81, 7eqeltrid 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
98ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
10 dvlip2.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
1110ad2antrr 723 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
12 simplrr 775 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
13 dvlip2.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅)
1412, 13eleqtrdi 2835 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑍 ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅))
15 dvlip2.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
17 elbl 24238 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑍 ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
189, 11, 16, 17syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝑍 ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
1914, 18mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅))
2019simpld 494 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑍 ∈ 𝑆)
21 xmetcl 24181 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*)
229, 11, 20, 21syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*)
23 simplrl 774 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2423, 13eleqtrdi 2835 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ π‘Œ ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅))
25 elbl 24238 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) ↔ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ (π΄π½π‘Œ) < 𝑅)))
269, 11, 16, 25syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) ↔ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ (π΄π½π‘Œ) < 𝑅)))
2724, 26mpbid 231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ (π΄π½π‘Œ) < 𝑅))
2827simpld 494 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
29 xmetcl 24181 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (π΄π½π‘Œ) ∈ ℝ*)
309, 11, 28, 29syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π΄π½π‘Œ) ∈ ℝ*)
3122, 30ifcld 4567 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) ∈ ℝ*)
3219simprd 495 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)
3327simprd 495 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π΄π½π‘Œ) < 𝑅)
34 breq1 5142 . . . . . 6 ((𝐴𝐽𝑍) = if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) β†’ ((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ↔ if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < 𝑅))
35 breq1 5142 . . . . . 6 ((π΄π½π‘Œ) = if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) β†’ ((π΄π½π‘Œ) < 𝑅 ↔ if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < 𝑅))
3634, 35ifboth 4560 . . . . 5 (((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ∧ (π΄π½π‘Œ) < 𝑅) β†’ if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < 𝑅)
3732, 33, 36syl2anc 583 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < 𝑅)
38 qbtwnxr 13180 . . . 4 ((if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < 𝑅) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < 𝑅))
3931, 16, 37, 38syl3anc 1368 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < 𝑅))
40 qre 12936 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ β„š β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
41 rexr 11259 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
42 xrmaxlt 13161 . . . . . . . 8 (((π΄π½π‘Œ) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ ↔ ((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ)))
4330, 22, 41, 42syl2an3an 1419 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ ↔ ((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ)))
44 ioossicc 13411 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))
45 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑆 = ℝ)
4628, 45eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
4746ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
48 xmetsym 24197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ (π΄π½π‘Œ) = (π‘Œπ½π΄))
499, 11, 28, 48syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π΄π½π‘Œ) = (π‘Œπ½π΄))
5045sqxpeqd 5699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) = (ℝ Γ— ℝ))
5150reseq2d 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
521, 51eqtrid 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐽 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
5352oveqd 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π‘Œπ½π΄) = (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴))
5411, 45eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
55 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
5655remetdval 24649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Œ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴) = (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐴)))
5746, 54, 56syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π‘Œ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴) = (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐴)))
5849, 53, 573eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (π΄π½π‘Œ) = (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐴)))
5958ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (π΄π½π‘Œ) = (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐴)))
60 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ)
6159, 60eqbrtrrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐴)) < π‘Ÿ)
6254ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
63 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
6447, 62, 63absdifltd 15382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝐴)) < π‘Ÿ ↔ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < π‘Œ ∧ π‘Œ < (𝐴 + π‘Ÿ))))
6561, 64mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < π‘Œ ∧ π‘Œ < (𝐴 + π‘Ÿ)))
6665simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < π‘Œ)
6765simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ π‘Œ < (𝐴 + π‘Ÿ))
6862, 63resubcld 11641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
6968rexrd 11263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
7062, 63readdcld 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴 + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
7170rexrd 11263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
72 elioo2 13366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < π‘Œ ∧ π‘Œ < (𝐴 + π‘Ÿ))))
7369, 71, 72syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (π‘Œ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < π‘Œ ∧ π‘Œ < (𝐴 + π‘Ÿ))))
7447, 66, 67, 73mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ π‘Œ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
7544, 74sselid 3973 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ π‘Œ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))
7675fvresd 6902 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘Œ) = (πΉβ€˜π‘Œ))
7720, 45eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑍 ∈ ℝ)
7877ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝑍 ∈ ℝ)
79 xmetsym 24197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
809, 11, 20, 79syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
8152oveqd 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝑍𝐽𝐴) = (𝑍((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴))
8255remetdval 24649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝑍((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴) = (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐴)))
8377, 54, 82syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝑍((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴) = (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐴)))
8480, 81, 833eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐴𝐽𝑍) = (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐴)))
8584ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴𝐽𝑍) = (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐴)))
86 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ)
8785, 86eqbrtrrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐴)) < π‘Ÿ)
8878, 62, 63absdifltd 15382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((absβ€˜(𝑍 βˆ’ 𝐴)) < π‘Ÿ ↔ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + π‘Ÿ))))
8987, 88mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + π‘Ÿ)))
9089simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝑍)
9189simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝑍 < (𝐴 + π‘Ÿ))
92 elioo2 13366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) β†’ (𝑍 ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + π‘Ÿ))))
9369, 71, 92syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝑍 ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + π‘Ÿ))))
9478, 90, 91, 93mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝑍 ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
9544, 94sselid 3973 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝑍 ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))
9695fvresd 6902 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘))
9776, 96oveq12d 7420 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘)) = ((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘)))
9897fveq2d 6886 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))))
999ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ 𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
100 elicc2 13390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + π‘Ÿ) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐴 + π‘Ÿ))))
10168, 70, 100syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐴 + π‘Ÿ))))
102101biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐴 + π‘Ÿ)))
103102simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
10445ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ 𝑆 = ℝ)
105103, 104eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
10611ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
107 xmetcl 24181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯𝐽𝐴) ∈ ℝ*)
10899, 105, 106, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯𝐽𝐴) ∈ ℝ*)
10963adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
110109rexrd 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
11116ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
11252ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ 𝐽 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
113112oveqd 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯𝐽𝐴) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴))
11462adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
11555remetdval 24649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)))
116103, 114, 115syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝐴) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)))
117113, 116eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯𝐽𝐴) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)))
118102simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ≀ π‘₯)
119102simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘₯ ≀ (𝐴 + π‘Ÿ))
120103, 114, 109absdifled 15383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) ≀ π‘Ÿ ↔ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝐴 + π‘Ÿ))))
121118, 119, 120mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐴)) ≀ π‘Ÿ)
122117, 121eqbrtrd 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯𝐽𝐴) ≀ π‘Ÿ)
123 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘Ÿ < 𝑅)
124108, 110, 111, 122, 123xrlelttrd 13140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯𝐽𝐴) < 𝑅)
125 elbl3 24242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) ↔ (π‘₯𝐽𝐴) < 𝑅))
12699, 111, 106, 105, 125syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) ↔ (π‘₯𝐽𝐴) < 𝑅))
127124, 126mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅))
128127ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅)))
129128ssrdv 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅))
130129, 13sseqtrrdi 4026 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐡)
131130resabs1d 6003 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) = (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))))
132 ax-resscn 11164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ βŠ† β„‚
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
134 dvlip2.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
135134ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
136 dvlip2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† dom (𝑆 D 𝐹))
137 dvlip2.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
1385, 134, 137dvbss 25774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑋)
139136, 138sstrd 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
140139ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
141135, 140fssresd 6749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„‚)
142 blssm 24268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) βŠ† 𝑆)
1439, 11, 16, 142syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) βŠ† 𝑆)
14413, 143eqsstrid 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑆)
145144, 45sseqtrd 4015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
146145ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
147132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
148134ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
149137ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
150149, 45sseqtrd 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
151 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
152151tgioo2 24663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
153151, 152dvres 25784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) ∧ (𝑋 βŠ† ℝ ∧ 𝐡 βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΅)))
154147, 148, 150, 145, 153syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΅)))
155 retop 24622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
15652fveq2d 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (ballβ€˜π½) = (ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))))
157156oveqd 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) = (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑅))
15813, 157eqtrid 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐡 = (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑅))
15952, 9eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†))
160 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
16155, 160tgioo 24656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
162161blopn 24353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑅) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
163159, 11, 16, 162syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐴(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑅) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
164158, 163eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐡 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
165 isopn3i 22930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΅) = 𝐡)
166155, 164, 165sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΅) = 𝐡)
167166reseq2d 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜π΅)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ 𝐡))
168154, 167eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ 𝐡))
169168dmeqd 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ 𝐡))
170 dmres 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ 𝐡) = (𝐡 ∩ dom (ℝ D 𝐹))
171136ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† dom (𝑆 D 𝐹))
17245oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝑆 D 𝐹) = (ℝ D 𝐹))
173172dmeqd 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℝ D 𝐹))
174171, 173sseqtrd 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
175 df-ss 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐡 βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ (𝐡 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐡)
176174, 175sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (𝐡 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐡)
177170, 176eqtrid 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ 𝐡) = 𝐡)
178169, 177eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = 𝐡)
179178ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = 𝐡)
180 dvcn 25795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„‚ ∧ 𝐡 βŠ† ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = 𝐡) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚))
181133, 141, 146, 179, 180syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚))
182 rescncf 24761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐡 β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) ∈ (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))–cnβ†’β„‚)))
183130, 181, 182sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) ∈ (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))–cnβ†’β„‚))
184131, 183eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) ∈ (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))–cnβ†’β„‚))
185130, 146sstrd 3985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† ℝ)
186151, 152dvres 25784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐡):π΅βŸΆβ„‚) ∧ (𝐡 βŠ† ℝ ∧ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))))
187133, 141, 146, 185, 186syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (ℝ D ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))))
188131oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (ℝ D ((𝐹 β†Ύ 𝐡) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))))
189 iccntr 24681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + π‘Ÿ) ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) = ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
19068, 70, 189syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) = ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
191190reseq2d 5972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))))
192187, 188, 1913eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))))
193192dmeqd 5896 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) = dom ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))))
194 dmres 5994 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) = (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
19544, 130sstrid 3986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐡)
196195, 179sseqtrrd 4016 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)))
197 df-ss 3958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) βŠ† dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) ↔ (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))) = ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
198196, 197sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))) = ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
199194, 198eqtrid 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ dom ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) = ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
200193, 199eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) = ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))
201 dvlip2.m . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
202201ad4antr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
203192fveq1d 6884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))))β€˜π‘₯) = (((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘₯))
204 fvres 6901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘₯) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))β€˜π‘₯))
205203, 204sylan9eq 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))))β€˜π‘₯) = ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))β€˜π‘₯))
206172reseq1d 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ 𝐡))
207168, 206eqtr4d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡)) = ((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡))
208207fveq1d 6884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯))
209208ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ 𝐡))β€˜π‘₯) = (((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯))
210195sselda 3975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
211210fvresd 6902 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (((𝑆 D 𝐹) β†Ύ 𝐡)β€˜π‘₯) = ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯))
212205, 209, 2113eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))))β€˜π‘₯) = ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯))
213212fveq2d 6886 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))))β€˜π‘₯)) = (absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
214 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ πœ‘)
215 dvlip2.l . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)
216214, 210, 215syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)
217213, 216eqbrtrd 5161 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (absβ€˜((ℝ D (𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))))β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)
21868, 70, 184, 200, 202, 217dvlip 25870 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) ∧ (π‘Œ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
219218ex 412 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ ((π‘Œ ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ))) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍)))))
22075, 95, 219mp2and 696 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘Œ) βˆ’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)[,](𝐴 + π‘Ÿ)))β€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
22198, 220eqbrtrrd 5163 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) ∧ π‘Ÿ < 𝑅)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
222221exp32 420 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (((π΄π½π‘Œ) < π‘Ÿ ∧ (𝐴𝐽𝑍) < π‘Ÿ) β†’ (π‘Ÿ < 𝑅 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))))
22343, 222sylbid 239 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ β†’ (π‘Ÿ < 𝑅 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))))
224223impd 410 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < 𝑅) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍)))))
22540, 224sylan2 592 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ π‘Ÿ ∈ β„š) β†’ ((if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < 𝑅) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍)))))
226225rexlimdva 3147 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ β„š (if((π΄π½π‘Œ) ≀ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (π΄π½π‘Œ)) < π‘Ÿ ∧ π‘Ÿ < 𝑅) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍)))))
22739, 226mpd 15 . 2 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = ℝ) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
228 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝑆 = β„‚)
229228sqxpeqd 5699 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝑆 Γ— 𝑆) = (β„‚ Γ— β„‚))
230229reseq2d 5972 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚)))
231 absf 15286 . . . . . . . . . . . . . 14 abs:β„‚βŸΆβ„
232 subf 11461 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
233 fco 6732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ βˆ’ :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚) β†’ (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„)
234231, 232, 233mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„
235 ffn 6708 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ βˆ’ ):(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„ β†’ (abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚))
236 fnresdm 6660 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ βˆ’ ) Fn (β„‚ Γ— β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚)) = (abs ∘ βˆ’ ))
237234, 235, 236mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (β„‚ Γ— β„‚)) = (abs ∘ βˆ’ )
238230, 237eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)) = (abs ∘ βˆ’ ))
2391, 238eqtrid 2776 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐽 = (abs ∘ βˆ’ ))
240239fveq2d 6886 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (ballβ€˜π½) = (ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))
241240oveqd 7419 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝐴(ballβ€˜π½)𝑅) = (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
24213, 241eqtrid 2776 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐡 = (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
243242eleq2d 2811 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ↔ π‘Œ ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)))
244242eleq2d 2811 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝑍 ∈ 𝐡 ↔ 𝑍 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)))
245243, 244anbi12d 630 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ ((π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ↔ (π‘Œ ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))))
246245biimpa 476 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)))
247137adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
248247, 228sseqtrd 4015 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
249134adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
25010adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
251250, 228eleqtrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
25215adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
253 eqid 2724 . . . . 5 (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) = (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)
254136adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝐡 βŠ† dom (𝑆 D 𝐹))
255228oveq1d 7417 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝑆 D 𝐹) = (β„‚ D 𝐹))
256255dmeqd 5896 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = dom (β„‚ D 𝐹))
257254, 242, 2563sstr3d 4021 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† dom (β„‚ D 𝐹))
258201adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
259215ex 412 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀))
260259adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀))
261242eleq2d 2811 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)))
262255fveq1d 6884 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) = ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯))
263262fveq2d 6886 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)) = (absβ€˜((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
264263breq1d 5149 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ ((absβ€˜((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀 ↔ (absβ€˜((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀))
265260, 261, 2643imtr3d 293 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) β†’ (absβ€˜((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀))
266265imp 406 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (absβ€˜((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ≀ 𝑀)
267248, 249, 251, 252, 253, 257, 258, 266dvlipcn 25871 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) ∧ (π‘Œ ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
268246, 267syldan 590 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑆 = β„‚) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
269268an32s 649 . 2 (((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑆 = β„‚) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
270 elpri 4643 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
2713, 270syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
272271adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = β„‚))
273227, 269, 272mpjaodan 955 1 ((πœ‘ ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘Œ) βˆ’ (πΉβ€˜π‘))) ≀ (𝑀 Β· (absβ€˜(π‘Œ βˆ’ 𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  ifcif 4521  {cpr 4623   class class class wbr 5139   Γ— cxp 5665  dom cdm 5667  ran crn 5668   β†Ύ cres 5669   ∘ ccom 5671   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  β„cr 11106   + caddc 11110   Β· cmul 11112  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  β„šcq 12931  (,)cioo 13325  [,]cicc 13328  abscabs 15183  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  βˆžMetcxmet 21219  ballcbl 21221  MetOpencmopn 21224  β„‚fldccnfld 21234  Topctop 22739  intcnt 22865  β€“cnβ†’ccncf 24740   D cdv 25736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-cmp 23235  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-limc 25739  df-dv 25740
This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  26277  dvconstbi  43643
  Copyright terms: Public domain W3C validator