dvlip2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dvlip2 25947

Description: Combine the results of dvlip 25945 and dvlipcn 25946 into one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvlip2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvlip2.j	⊢ 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
dvlip2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvlip2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvlip2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
dvlip2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ^*)
dvlip2.b	⊢ 𝐵 = (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)
dvlip2.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
dvlip2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
dvlip2.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
dvlip2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐹 𝑥,𝐽 𝜑,𝑥 𝑥,𝑀 𝑥,𝑅 𝑥,𝑆 𝑥,𝑌 𝑥,𝑍 Allowed substitution hint: 𝑋(𝑥)

Proof of Theorem dvlip2 Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlip2.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
2		cnxmet 24707	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		dvlip2.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4		recnprss 25852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		xmetres2 24296	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
7	2, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
8	1, 7	eqeltrid 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
9	8	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
10		dvlip2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
11	10	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑆)
12		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13		dvlip2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)
14	12, 13	eleqtrdi 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
15		dvlip2.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ^*)
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
17		elbl 24323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
18	9, 11, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
19	14, 18	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅))
20	19	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ 𝑆)
21		xmetcl 24266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ^*)
22	9, 11, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ^*)
23		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	23, 13	eleqtrdi 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
25		elbl 24323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)))
26	9, 11, 16, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)))
27	24, 26	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅))
28	27	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ 𝑆)
29		xmetcl 24266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ^*)
30	9, 11, 28, 29	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ^*)
31	22, 30	ifcld 4523	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) ∈ ℝ^*)
32	19	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)
33	27	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)
34		breq1 5098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐽𝑍) = if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) → ((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ↔ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅))
35		breq1 5098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐽𝑌) = if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) → ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑅 ↔ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅))
36	34, 35	ifboth 4516	. . . . 5 ⊢ (((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅)
37	32, 33, 36	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅)
38		qbtwnxr 13106	. . . 4 ⊢ ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ ℝ^* ∧ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅) → ∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅))
39	31, 16, 37, 38	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅))
40		qre 12857	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
41		rexr 11169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ^*)
42		xrmaxlt 13087	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)))
43	30, 22, 41, 42	syl2an3an 1424	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)))
44		ioossicc 13340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑆 = ℝ)
46	28, 45	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
47	46	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ℝ)
48		xmetsym 24282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑌) = (𝑌𝐽𝐴))
49	9, 11, 28, 48	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) = (𝑌𝐽𝐴))
50	45	sqxpeqd 5653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
51	50	reseq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
52	1, 51	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
53	52	oveqd 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌𝐽𝐴) = (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
54	11, 45	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
55		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
56	55	remetdval 24724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
57	46, 54, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
58	49, 53, 57	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
59	58	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑌) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
60		simprll 778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑌) < 𝑟)
61	59, 60	eqbrtrrd 5119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(𝑌 − 𝐴)) < 𝑟)
62	54	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ)
63		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ)
64	47, 62, 63	absdifltd 15350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((abs‘(𝑌 − 𝐴)) < 𝑟 ↔ ((𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
65	61, 64	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟)))
66	65	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) < 𝑌)
67	65	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))
68	62, 63	resubcld 11556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ)
69	68	rexrd 11173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ^*)
70	62, 63	readdcld 11152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ)
71	70	rexrd 11173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ^*)
72		elioo2 13293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ^*) → (𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
73	69, 71, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
74	47, 66, 67, 73	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
75	44, 74	sselid 3928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))
76	75	fvresd 6851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) = (𝐹‘𝑌))
77	20, 45	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ ℝ)
78	77	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ℝ)
79		xmetsym 24282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
80	9, 11, 20, 79	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
81	52	oveqd 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍𝐽𝐴) = (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
82	55	remetdval 24724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
83	77, 54, 82	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
84	80, 81, 83	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
85	84	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑍) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
86		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)
87	85, 86	eqbrtrrd 5119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(𝑍 − 𝐴)) < 𝑟)
88	78, 62, 63	absdifltd 15350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((abs‘(𝑍 − 𝐴)) < 𝑟 ↔ ((𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
89	87, 88	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟)))
90	89	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) < 𝑍)
91	89	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))
92		elioo2 13293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ^*) → (𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
93	69, 71, 92	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
94	78, 90, 91, 93	mpbir3and 1343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
95	44, 94	sselid 3928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))
96	95	fvresd 6851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍) = (𝐹‘𝑍))
97	76, 96	oveq12d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍)) = ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍)))
98	97	fveq2d 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) = (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))))
99	9	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
100		elicc2 13318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
101	68, 70, 100	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
102	101	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟)))
103	102	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℝ)
104	45	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑆 = ℝ)
105	103, 104	eleqtrrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
106	11	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
107		xmetcl 24266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥𝐽𝐴) ∈ ℝ^*)
108	99, 105, 106, 107	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) ∈ ℝ^*)
109	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ)
110	109	rexrd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
111	16	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
112	52	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
113	112	oveqd 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
114	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐴 ∈ ℝ)
115	55	remetdval 24724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
116	103, 114, 115	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
117	113, 116	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
118	102	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥)
119	102	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))
120	103, 114, 109	absdifled 15351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) ≤ 𝑟 ↔ ((𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
121	118, 119, 120	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ≤ 𝑟)
122	117, 121	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) ≤ 𝑟)
123		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 < 𝑅)
124	108, 110, 111, 122, 123	xrlelttrd 13065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅)
125		elbl3 24327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆)) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅))
126	99, 111, 106, 105, 125	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅))
127	124, 126	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
128	127	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)))
129	128	ssrdv 3936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
130	129, 13	sseqtrrdi 3972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵)
131	130	resabs1d 5964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))
132		ax-resscn 11074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ℝ ⊆ ℂ)
134		dvlip2.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
135	134	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
136		dvlip2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
137		dvlip2.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
138	5, 134, 137	dvbss 25849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
139	136, 138	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
140	139	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
141	135, 140	fssresd 6698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
142		blssm 24353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ⊆ 𝑆)
143	9, 11, 16, 142	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ⊆ 𝑆)
144	13, 143	eqsstrid 3969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ 𝑆)
145	144, 45	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
146	145	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
147	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
148	134	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
149	137	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
150	149, 45	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
151		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
152		tgioo4 24740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
153	151, 152	dvres 25859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)))
154	147, 148, 150, 145, 153	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)))
155		retop 24696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
156	52	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ball‘𝐽) = (ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
157	156	oveqd 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) = (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅))
158	13, 157	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 = (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅))
159	52, 9	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘𝑆))
160		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
161	55, 160	tgioo 24731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
162	161	blopn 24435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
163	159, 11, 16, 162	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
164	158, 163	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ∈ (topGen‘ran (,)))
165		isopn3i 23017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵) = 𝐵)
166	155, 164, 165	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵) = 𝐵)
167	166	reseq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
168	154, 167	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
169	168	dmeqd 5851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
170		dmres 5968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹))
171	136	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
172	45	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 D 𝐹) = (ℝ D 𝐹))
173	172	dmeqd 5851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℝ D 𝐹))
174	171, 173	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
175		dfss2 3916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐵)
176	174, 175	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐵)
177	170, 176	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵) = 𝐵)
178	169, 177	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵)
179	178	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵)
180		dvcn 25870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ))
181	133, 141, 146, 179, 180	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ))
182		rescncf 24837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ)))
183	130, 181, 182	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ))
184	131, 183	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ))
185	130, 146	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ ℝ)
186	151, 152	dvres 25859	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
187	133, 141, 146, 185, 186	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
188	131	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
189		iccntr 24757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
190	68, 70, 189	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
191	190	reseq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
192	187, 188, 191	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
193	192	dmeqd 5851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = dom ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
194		dmres 5968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) = (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)))
195	44, 130	sstrid 3942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵)
196	195, 179	sseqtrrd 3968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)))
197		dfss2 3916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↔ (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
198	196, 197	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
199	194, 198	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
200	193, 199	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
201		dvlip2.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
202	201	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑀 ∈ ℝ)
203	192	fveq1d 6833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = (((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))‘𝑥))
204		fvres 6850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥))
205	203, 204	sylan9eq 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥))
206	172	reseq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
207	168, 206	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
208	207	fveq1d 6833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥))
209	208	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥))
210	195	sselda 3930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
211	210	fvresd 6851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
212	205, 209, 211	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
213	212	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥)) = (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
214		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝜑)
215		dvlip2.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
216	214, 210, 215	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
217	213, 216	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥)) ≤ 𝑀)
218	68, 70, 184, 200, 202, 217	dvlip 25945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ (𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
219	218	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
220	75, 95, 219	mp2and 699	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
221	98, 220	eqbrtrrd 5119	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
222	221	exp32 420	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) → (𝑟 < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))))
223	43, 222	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 → (𝑟 < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))))
224	223	impd 410	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
225	40, 224	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
226	225	rexlimdva 3134	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
227	39, 226	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
228		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 = ℂ)
229	228	sqxpeqd 5653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
230	229	reseq2d 5935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
231		absf 15252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
232		subf 11373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
233		fco 6683	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
234	231, 232, 233	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
235		ffn 6659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
236		fnresdm 6608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
237	234, 235, 236	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
238	230, 237	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = (abs ∘ − ))
239	1, 238	eqtrid 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐽 = (abs ∘ − ))
240	239	fveq2d 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (ball‘𝐽) = (ball‘(abs ∘ − )))
241	240	oveqd 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
242	13, 241	eqtrid 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐵 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
243	242	eleq2d 2819	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
244	242	eleq2d 2819	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑍 ∈ 𝐵 ↔ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
245	243, 244	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))))
246	245	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
247	137	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
248	247, 228	sseqtrd 3967	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
249	134	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
250	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑆)
251	250, 228	eleqtrd 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
252	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
253		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
254	136	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
255	228	oveq1d 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 D 𝐹) = (ℂ D 𝐹))
256	255	dmeqd 5851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℂ D 𝐹))
257	254, 242, 256	3sstr3d 3985	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
258	201	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑀 ∈ ℝ)
259	215	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
260	259	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
261	242	eleq2d 2819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
262	255	fveq1d 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))
263	262	fveq2d 6835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
264	263	breq1d 5105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
265	260, 261, 264	3imtr3d 293	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
266	265	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
267	248, 249, 251, 252, 253, 257, 258, 266	dvlipcn 25946	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
268	246, 267	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
269	268	an32s 652	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
270		elpri 4601	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
271	3, 270	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
272	271	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
273	227, 269, 272	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ∃wrex 3057 ∩ cin 3897 ⊆ wss 3898 ifcif 4476 {cpr 4579 class class class wbr 5095 × cxp 5619 dom cdm 5621 ran crn 5622 ↾ cres 5623 ∘ ccom 5625 Fn wfn 6484 ⟶wf 6485 ‘cfv 6489 (class class class)co 7355 ℂcc 11015 ℝcr 11016 + caddc 11020 · cmul 11022 ℝ^*cxr 11156 < clt 11157 ≤ cle 11158 − cmin 11355 ℚcq 12852 (,)cioo 13252 [,]cicc 13255 abscabs 15148 TopOpenctopn 17332 topGenctg 17348 ∞Metcxmet 21285 ballcbl 21287 MetOpencmopn 21290 ℂ_fldccnfld 21300 Topctop 22828 intcnt 22952 –cn→ccncf 24816 D cdv 25811

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2182 ax-ext 2705 ax-rep 5221 ax-sep 5238 ax-nul 5248 ax-pow 5307 ax-pr 5374 ax-un 7677 ax-cnex 11073 ax-resscn 11074 ax-1cn 11075 ax-icn 11076 ax-addcl 11077 ax-addrcl 11078 ax-mulcl 11079 ax-mulrcl 11080 ax-mulcom 11081 ax-addass 11082 ax-mulass 11083 ax-distr 11084 ax-i2m1 11085 ax-1ne0 11086 ax-1rid 11087 ax-rnegex 11088 ax-rrecex 11089 ax-cnre 11090 ax-pre-lttri 11091 ax-pre-lttrn 11092 ax-pre-ltadd 11093 ax-pre-mulgt0 11094 ax-pre-sup 11095 ax-addf 11096

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2725 df-clel 2808 df-nfc 2882 df-ne 2930 df-nel 3034 df-ral 3049 df-rex 3058 df-rmo 3347 df-reu 3348 df-rab 3397 df-v 3439 df-sbc 3738 df-csb 3847 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-pss 3918 df-nul 4283 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-tp 4582 df-op 4584 df-uni 4861 df-int 4900 df-iun 4945 df-iin 4946 df-br 5096 df-opab 5158 df-mpt 5177 df-tr 5203 df-id 5516 df-eprel 5521 df-po 5529 df-so 5530 df-fr 5574 df-se 5575 df-we 5576 df-xp 5627 df-rel 5628 df-cnv 5629 df-co 5630 df-dm 5631 df-rn 5632 df-res 5633 df-ima 5634 df-pred 6256 df-ord 6317 df-on 6318 df-lim 6319 df-suc 6320 df-iota 6445 df-fun 6491 df-fn 6492 df-f 6493 df-f1 6494 df-fo 6495 df-f1o 6496 df-fv 6497 df-isom 6498 df-riota 7312 df-ov 7358 df-oprab 7359 df-mpo 7360 df-of 7619 df-om 7806 df-1st 7930 df-2nd 7931 df-supp 8100 df-frecs 8220 df-wrecs 8251 df-recs 8300 df-rdg 8338 df-1o 8394 df-2o 8395 df-er 8631 df-map 8761 df-pm 8762 df-ixp 8832 df-en 8880 df-dom 8881 df-sdom 8882 df-fin 8883 df-fsupp 9257 df-fi 9306 df-sup 9337 df-inf 9338 df-oi 9407 df-card 9843 df-pnf 11159 df-mnf 11160 df-xr 11161 df-ltxr 11162 df-le 11163 df-sub 11357 df-neg 11358 df-div 11786 df-nn 12137 df-2 12199 df-3 12200 df-4 12201 df-5 12202 df-6 12203 df-7 12204 df-8 12205 df-9 12206 df-n0 12393 df-z 12480 df-dec 12599 df-uz 12743 df-q 12853 df-rp 12897 df-xneg 13017 df-xadd 13018 df-xmul 13019 df-ioo 13256 df-ico 13258 df-icc 13259 df-fz 13415 df-fzo 13562 df-seq 13916 df-exp 13976 df-hash 14245 df-cj 15013 df-re 15014 df-im 15015 df-sqrt 15149 df-abs 15150 df-struct 17065 df-sets 17082 df-slot 17100 df-ndx 17112 df-base 17128 df-ress 17149 df-plusg 17181 df-mulr 17182 df-starv 17183 df-sca 17184 df-vsca 17185 df-ip 17186 df-tset 17187 df-ple 17188 df-ds 17190 df-unif 17191 df-hom 17192 df-cco 17193 df-rest 17333 df-topn 17334 df-0g 17352 df-gsum 17353 df-topgen 17354 df-pt 17355 df-prds 17358 df-xrs 17414 df-qtop 17419 df-imas 17420 df-xps 17422 df-mre 17496 df-mrc 17497 df-acs 17499 df-mgm 18556 df-sgrp 18635 df-mnd 18651 df-submnd 18700 df-mulg 18989 df-cntz 19237 df-cmn 19702 df-psmet 21292 df-xmet 21293 df-met 21294 df-bl 21295 df-mopn 21296 df-fbas 21297 df-fg 21298 df-cnfld 21301 df-top 22829 df-topon 22846 df-topsp 22868 df-bases 22881 df-cld 22954 df-ntr 22955 df-cls 22956 df-nei 23033 df-lp 23071 df-perf 23072 df-cn 23162 df-cnp 23163 df-haus 23250 df-cmp 23322 df-tx 23497 df-hmeo 23690 df-fil 23781 df-fm 23873 df-flim 23874 df-flf 23875 df-xms 24255 df-ms 24256 df-tms 24257 df-cncf 24818 df-limc 25814 df-dv 25815

This theorem is referenced by: ulmdvlem1 26356 dvconstbi 44491

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