MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlip2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlip2 25159
Description: Combine the results of dvlip 25157 and dvlipcn 25158 into one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvlip2.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvlip2.j 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
dvlip2.x (𝜑𝑋𝑆)
dvlip2.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvlip2.a (𝜑𝐴𝑆)
dvlip2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
dvlip2.b 𝐵 = (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)
dvlip2.d (𝜑𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
dvlip2.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
dvlip2.l ((𝜑𝑥𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
dvlip2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑀   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem dvlip2
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvlip2.j . . . . . . . 8 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
2 cnxmet 23936 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 dvlip2.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4 recnprss 25068 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 xmetres2 23514 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
72, 5, 6sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
81, 7eqeltrid 2843 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
98ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
10 dvlip2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
1110ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐴𝑆)
12 simplrr 775 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍𝐵)
13 dvlip2.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)
1412, 13eleqtrdi 2849 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
15 dvlip2.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
1615ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
17 elbl 23541 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑍𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
189, 11, 16, 17syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑍𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
1914, 18mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅))
2019simpld 495 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍𝑆)
21 xmetcl 23484 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑍𝑆) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*)
229, 11, 20, 21syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*)
23 simplrl 774 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌𝐵)
2423, 13eleqtrdi 2849 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
25 elbl 23541 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑌𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)))
269, 11, 16, 25syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑌𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)))
2724, 26mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅))
2827simpld 495 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌𝑆)
29 xmetcl 23484 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑌𝑆) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ*)
309, 11, 28, 29syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ*)
3122, 30ifcld 4505 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) ∈ ℝ*)
3219simprd 496 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)
3327simprd 496 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)
34 breq1 5077 . . . . . 6 ((𝐴𝐽𝑍) = if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) → ((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ↔ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅))
35 breq1 5077 . . . . . 6 ((𝐴𝐽𝑌) = if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) → ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑅 ↔ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅))
3634, 35ifboth 4498 . . . . 5 (((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅)
3732, 33, 36syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅)
38 qbtwnxr 12934 . . . 4 ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅) → ∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅))
3931, 16, 37, 38syl3anc 1370 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅))
40 qre 12693 . . . . 5 (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
41 rexr 11021 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
42 xrmaxlt 12915 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)))
4330, 22, 41, 42syl2an3an 1421 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)))
44 ioossicc 13165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))
45 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑆 = ℝ)
4628, 45eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
4746ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ℝ)
48 xmetsym 23500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑌𝑆) → (𝐴𝐽𝑌) = (𝑌𝐽𝐴))
499, 11, 28, 48syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) = (𝑌𝐽𝐴))
5045sqxpeqd 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
5150reseq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
521, 51eqtrid 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
5352oveqd 7292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌𝐽𝐴) = (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
5411, 45eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
55 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
5655remetdval 23952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑌𝐴)))
5746, 54, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑌𝐴)))
5849, 53, 573eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) = (abs‘(𝑌𝐴)))
5958ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑌) = (abs‘(𝑌𝐴)))
60 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑌) < 𝑟)
6159, 60eqbrtrrd 5098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(𝑌𝐴)) < 𝑟)
6254ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ)
63 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ)
6447, 62, 63absdifltd 15145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((abs‘(𝑌𝐴)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝑟) < 𝑌𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
6561, 64mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟) < 𝑌𝑌 < (𝐴 + 𝑟)))
6665simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝑟) < 𝑌)
6765simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))
6862, 63resubcld 11403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝑟) ∈ ℝ)
6968rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝑟) ∈ ℝ*)
7062, 63readdcld 11004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ)
7170rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ*)
72 elioo2 13120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) < 𝑌𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
7369, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) < 𝑌𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
7447, 66, 67, 73mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
7544, 74sselid 3919 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))
7675fvresd 6794 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) = (𝐹𝑌))
7720, 45eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ ℝ)
7877ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ℝ)
79 xmetsym 23500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑍𝑆) → (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
809, 11, 20, 79syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
8152oveqd 7292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍𝐽𝐴) = (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
8255remetdval 23952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑍𝐴)))
8377, 54, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑍𝐴)))
8480, 81, 833eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) = (abs‘(𝑍𝐴)))
8584ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑍) = (abs‘(𝑍𝐴)))
86 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)
8785, 86eqbrtrrd 5098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(𝑍𝐴)) < 𝑟)
8878, 62, 63absdifltd 15145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((abs‘(𝑍𝐴)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝑟) < 𝑍𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
8987, 88mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟) < 𝑍𝑍 < (𝐴 + 𝑟)))
9089simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝑟) < 𝑍)
9189simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))
92 elioo2 13120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) < 𝑍𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
9369, 71, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) < 𝑍𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
9478, 90, 91, 93mpbir3and 1341 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
9544, 94sselid 3919 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))
9695fvresd 6794 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍) = (𝐹𝑍))
9776, 96oveq12d 7293 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍)) = ((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍)))
9897fveq2d 6778 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) = (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))))
999ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
100 elicc2 13144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
10168, 70, 100syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
102101biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑟) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟)))
103102simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10445ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑆 = ℝ)
105103, 104eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥𝑆)
10611ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐴𝑆)
107 xmetcl 23484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑥𝑆𝐴𝑆) → (𝑥𝐽𝐴) ∈ ℝ*)
10899, 105, 106, 107syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) ∈ ℝ*)
10963adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ)
110109rexrd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
11116ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
11252ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
113112oveqd 7292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
11462adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐴 ∈ ℝ)
11555remetdval 23952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑥𝐴)))
116103, 114, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑥𝐴)))
117113, 116eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) = (abs‘(𝑥𝐴)))
118102simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝐴𝑟) ≤ 𝑥)
119102simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))
120103, 114, 109absdifled 15146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → ((abs‘(𝑥𝐴)) ≤ 𝑟 ↔ ((𝐴𝑟) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
121118, 119, 120mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (abs‘(𝑥𝐴)) ≤ 𝑟)
122117, 121eqbrtrd 5096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) ≤ 𝑟)
123 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 < 𝑅)
124108, 110, 111, 122, 123xrlelttrd 12894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅)
125 elbl3 23545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑆𝑥𝑆)) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅))
12699, 111, 106, 105, 125syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅))
127124, 126mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
128127ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)))
129128ssrdv 3927 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
130129, 13sseqtrrdi 3972 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵)
131130resabs1d 5922 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))
132 ax-resscn 10928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ℝ ⊆ ℂ)
134 dvlip2.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
135134ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
136 dvlip2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
137 dvlip2.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋𝑆)
1385, 134, 137dvbss 25065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
139136, 138sstrd 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵𝑋)
140139ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐵𝑋)
141135, 140fssresd 6641 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
142 blssm 23571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ⊆ 𝑆)
1439, 11, 16, 142syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ⊆ 𝑆)
14413, 143eqsstrid 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵𝑆)
145144, 45sseqtrd 3961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
146145ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
147132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
148134ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
149137ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑋𝑆)
150149, 45sseqtrd 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
151 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
152151tgioo2 23966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
153151, 152dvres 25075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)))
154147, 148, 150, 145, 153syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)))
155 retop 23925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
15652fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ball‘𝐽) = (ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
157156oveqd 7292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) = (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅))
15813, 157eqtrid 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 = (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅))
15952, 9eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘𝑆))
160 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
16155, 160tgioo 23959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
162161blopn 23656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
163159, 11, 16, 162syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
164158, 163eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ∈ (topGen‘ran (,)))
165 isopn3i 22233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵) = 𝐵)
166155, 164, 165sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵) = 𝐵)
167166reseq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
168154, 167eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
169168dmeqd 5814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (ℝ D (𝐹𝐵)) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
170 dmres 5913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹))
171136ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
17245oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 D 𝐹) = (ℝ D 𝐹))
173172dmeqd 5814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℝ D 𝐹))
174171, 173sseqtrd 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
175 df-ss 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐵)
176174, 175sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐵)
177170, 176eqtrid 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵) = 𝐵)
178169, 177eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (ℝ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
179178ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹𝐵)) = 𝐵)
180 dvcn 25085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝐹𝐵)) = 𝐵) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ))
181133, 141, 146, 179, 180syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ))
182 rescncf 24060 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ) → ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ)))
183130, 181, 182sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ))
184131, 183eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ))
185130, 146sstrd 3931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ ℝ)
186151, 152dvres 25075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
187133, 141, 146, 185, 186syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
188131oveq2d 7291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D ((𝐹𝐵) ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
189 iccntr 23984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
19068, 70, 189syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
191190reseq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
192187, 188, 1913eqtr3d 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
193192dmeqd 5814 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = dom ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
194 dmres 5913 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) = (((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹𝐵)))
19544, 130sstrid 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵)
196195, 179sseqtrrd 3962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D (𝐹𝐵)))
197 df-ss 3904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D (𝐹𝐵)) ↔ (((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹𝐵))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
198196, 197sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹𝐵))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
199194, 198eqtrid 2790 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom ((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
200193, 199eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
201 dvlip2.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
202201ad4antr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑀 ∈ ℝ)
203192fveq1d 6776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = (((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))‘𝑥))
204 fvres 6793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) → (((ℝ D (𝐹𝐵)) ↾ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹𝐵))‘𝑥))
205203, 204sylan9eq 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹𝐵))‘𝑥))
206172reseq1d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
207168, 206eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹𝐵)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
208207fveq1d 6776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((ℝ D (𝐹𝐵))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥))
209208ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹𝐵))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥))
210195sselda 3921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → 𝑥𝐵)
211210fvresd 6794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
212205, 209, 2113eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
213212fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥)) = (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
214 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝜑)
215 dvlip2.l . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
216214, 210, 215syl2an2r 682 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
217213, 216eqbrtrd 5096 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥)) ≤ 𝑀)
21868, 70, 184, 200, 202, 217dvlip 25157 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ (𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
219218ex 413 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝑌 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
22075, 95, 219mp2and 696 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
22198, 220eqbrtrrd 5098 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
222221exp32 421 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) → (𝑟 < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))))
22343, 222sylbid 239 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 → (𝑟 < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))))
224223impd 411 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
22540, 224sylan2 593 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
226225rexlimdva 3213 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍)))))
22739, 226mpd 15 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
228 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑆 = ℂ)
229228sqxpeqd 5621 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
230229reseq2d 5891 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
231 absf 15049 . . . . . . . . . . . . . 14 abs:ℂ⟶ℝ
232 subf 11223 . . . . . . . . . . . . . 14 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
233 fco 6624 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
234231, 232, 233mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
235 ffn 6600 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
236 fnresdm 6551 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
237234, 235, 236mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
238230, 237eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = (abs ∘ − ))
2391, 238eqtrid 2790 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐽 = (abs ∘ − ))
240239fveq2d 6778 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (ball‘𝐽) = (ball‘(abs ∘ − )))
241240oveqd 7292 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
24213, 241eqtrid 2790 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐵 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
243242eleq2d 2824 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑌𝐵𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
244242eleq2d 2824 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑍𝐵𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
245243, 244anbi12d 631 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((𝑌𝐵𝑍𝐵) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))))
246245biimpa 477 . . . 4 (((𝜑𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
247137adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑋𝑆)
248247, 228sseqtrd 3961 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
249134adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
25010adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐴𝑆)
251250, 228eleqtrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
25215adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
253 eqid 2738 . . . . 5 (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
254136adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
255228oveq1d 7290 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑆 D 𝐹) = (ℂ D 𝐹))
256255dmeqd 5814 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℂ D 𝐹))
257254, 242, 2563sstr3d 3967 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
258201adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑆 = ℂ) → 𝑀 ∈ ℝ)
259215ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐵 → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
260259adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑥𝐵 → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
261242eleq2d 2824 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
262255fveq1d 6776 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))
263262fveq2d 6778 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
264263breq1d 5084 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 = ℂ) → ((abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
265260, 261, 2643imtr3d 293 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
266265imp 407 . . . . 5 (((𝜑𝑆 = ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
267248, 249, 251, 252, 253, 257, 258, 266dvlipcn 25158 . . . 4 (((𝜑𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
268246, 267syldan 591 . . 3 (((𝜑𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
269268an32s 649 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) ∧ 𝑆 = ℂ) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
270 elpri 4583 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
2713, 270syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
272271adantr 481 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
273227, 269, 272mpjaodan 956 1 ((𝜑 ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑌) − (𝐹𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065  cin 3886  wss 3887  ifcif 4459  {cpr 4563   class class class wbr 5074   × cxp 5587  dom cdm 5589  ran crn 5590  cres 5591  ccom 5593   Fn wfn 6428  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870   + caddc 10874   · cmul 10876  *cxr 11008   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  cq 12688  (,)cioo 13079  [,]cicc 13082  abscabs 14945  TopOpenctopn 17132  topGenctg 17148  ∞Metcxmet 20582  ballcbl 20584  MetOpencmopn 20587  fldccnfld 20597  Topctop 22042  intcnt 22168  cnccncf 24039   D cdv 25027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031
This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  25559  dvconstbi  41952
  Copyright terms: Public domain W3C validator