dvlip2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dvlip2 25359

Description: Combine the results of dvlip 25357 and dvlipcn 25358 into one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvlip2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvlip2.j	⊢ 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
dvlip2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvlip2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvlip2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
dvlip2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ^*)
dvlip2.b	⊢ 𝐵 = (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)
dvlip2.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
dvlip2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
dvlip2.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
dvlip2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐹 𝑥,𝐽 𝜑,𝑥 𝑥,𝑀 𝑥,𝑅 𝑥,𝑆 𝑥,𝑌 𝑥,𝑍 Allowed substitution hint: 𝑋(𝑥)

Proof of Theorem dvlip2 Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlip2.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
2		cnxmet 24136	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		dvlip2.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4		recnprss 25268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		xmetres2 23714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
7	2, 5, 6	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
8	1, 7	eqeltrid 2842	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
9	8	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
10		dvlip2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
11	10	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑆)
12		simplrr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13		dvlip2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)
14	12, 13	eleqtrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
15		dvlip2.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ^*)
16	15	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
17		elbl 23741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
18	9, 11, 16, 17	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
19	14, 18	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅))
20	19	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ 𝑆)
21		xmetcl 23684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ^*)
22	9, 11, 20, 21	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ^*)
23		simplrl 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	23, 13	eleqtrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
25		elbl 23741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)))
26	9, 11, 16, 25	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)))
27	24, 26	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅))
28	27	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ 𝑆)
29		xmetcl 23684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ^*)
30	9, 11, 28, 29	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ^*)
31	22, 30	ifcld 4532	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) ∈ ℝ^*)
32	19	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)
33	27	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)
34		breq1 5108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐽𝑍) = if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) → ((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ↔ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅))
35		breq1 5108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐽𝑌) = if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) → ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑅 ↔ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅))
36	34, 35	ifboth 4525	. . . . 5 ⊢ (((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅)
37	32, 33, 36	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅)
38		qbtwnxr 13119	. . . 4 ⊢ ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ ℝ^* ∧ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅) → ∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅))
39	31, 16, 37, 38	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅))
40		qre 12878	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
41		rexr 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ^*)
42		xrmaxlt 13100	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)))
43	30, 22, 41, 42	syl2an3an 1422	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)))
44		ioossicc 13350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))
45		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑆 = ℝ)
46	28, 45	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
47	46	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ℝ)
48		xmetsym 23700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑌) = (𝑌𝐽𝐴))
49	9, 11, 28, 48	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) = (𝑌𝐽𝐴))
50	45	sqxpeqd 5665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
51	50	reseq2d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
52	1, 51	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
53	52	oveqd 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌𝐽𝐴) = (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
54	11, 45	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
55		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
56	55	remetdval 24152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
57	46, 54, 56	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
58	49, 53, 57	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
59	58	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑌) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
60		simprll 777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑌) < 𝑟)
61	59, 60	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(𝑌 − 𝐴)) < 𝑟)
62	54	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ)
63		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ)
64	47, 62, 63	absdifltd 15318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((abs‘(𝑌 − 𝐴)) < 𝑟 ↔ ((𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
65	61, 64	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟)))
66	65	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) < 𝑌)
67	65	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))
68	62, 63	resubcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ)
69	68	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ^*)
70	62, 63	readdcld 11184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ)
71	70	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ^*)
72		elioo2 13305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ^*) → (𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
73	69, 71, 72	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
74	47, 66, 67, 73	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
75	44, 74	sselid 3942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))
76	75	fvresd 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) = (𝐹‘𝑌))
77	20, 45	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ ℝ)
78	77	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ℝ)
79		xmetsym 23700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
80	9, 11, 20, 79	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
81	52	oveqd 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍𝐽𝐴) = (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
82	55	remetdval 24152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
83	77, 54, 82	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
84	80, 81, 83	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
85	84	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑍) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
86		simprlr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)
87	85, 86	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(𝑍 − 𝐴)) < 𝑟)
88	78, 62, 63	absdifltd 15318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((abs‘(𝑍 − 𝐴)) < 𝑟 ↔ ((𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
89	87, 88	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟)))
90	89	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) < 𝑍)
91	89	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))
92		elioo2 13305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ^*) → (𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
93	69, 71, 92	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
94	78, 90, 91, 93	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
95	44, 94	sselid 3942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))
96	95	fvresd 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍) = (𝐹‘𝑍))
97	76, 96	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍)) = ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍)))
98	97	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) = (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))))
99	9	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
100		elicc2 13329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
101	68, 70, 100	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
102	101	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟)))
103	102	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℝ)
104	45	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑆 = ℝ)
105	103, 104	eleqtrrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
106	11	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
107		xmetcl 23684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥𝐽𝐴) ∈ ℝ^*)
108	99, 105, 106, 107	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) ∈ ℝ^*)
109	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ)
110	109	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
111	16	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
112	52	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
113	112	oveqd 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
114	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐴 ∈ ℝ)
115	55	remetdval 24152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
116	103, 114, 115	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
117	113, 116	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
118	102	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥)
119	102	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))
120	103, 114, 109	absdifled 15319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) ≤ 𝑟 ↔ ((𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
121	118, 119, 120	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ≤ 𝑟)
122	117, 121	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) ≤ 𝑟)
123		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 < 𝑅)
124	108, 110, 111, 122, 123	xrlelttrd 13079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅)
125		elbl3 23745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆)) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅))
126	99, 111, 106, 105, 125	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅))
127	124, 126	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
128	127	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)))
129	128	ssrdv 3950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
130	129, 13	sseqtrrdi 3995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵)
131	130	resabs1d 5968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))
132		ax-resscn 11108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ℝ ⊆ ℂ)
134		dvlip2.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
135	134	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
136		dvlip2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
137		dvlip2.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
138	5, 134, 137	dvbss 25265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
139	136, 138	sstrd 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
140	139	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
141	135, 140	fssresd 6709	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
142		blssm 23771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ⊆ 𝑆)
143	9, 11, 16, 142	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ⊆ 𝑆)
144	13, 143	eqsstrid 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ 𝑆)
145	144, 45	sseqtrd 3984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
146	145	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
147	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
148	134	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
149	137	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
150	149, 45	sseqtrd 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
151		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
152	151	tgioo2 24166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
153	151, 152	dvres 25275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)))
154	147, 148, 150, 145, 153	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)))
155		retop 24125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
156	52	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ball‘𝐽) = (ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
157	156	oveqd 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) = (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅))
158	13, 157	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 = (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅))
159	52, 9	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘𝑆))
160		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
161	55, 160	tgioo 24159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
162	161	blopn 23856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
163	159, 11, 16, 162	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
164	158, 163	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ∈ (topGen‘ran (,)))
165		isopn3i 22433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵) = 𝐵)
166	155, 164, 165	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵) = 𝐵)
167	166	reseq2d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
168	154, 167	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
169	168	dmeqd 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
170		dmres 5959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹))
171	136	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
172	45	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 D 𝐹) = (ℝ D 𝐹))
173	172	dmeqd 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℝ D 𝐹))
174	171, 173	sseqtrd 3984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
175		df-ss 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐵)
176	174, 175	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐵)
177	170, 176	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵) = 𝐵)
178	169, 177	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵)
179	178	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵)
180		dvcn 25285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ))
181	133, 141, 146, 179, 180	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ))
182		rescncf 24260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ)))
183	130, 181, 182	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ))
184	131, 183	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ))
185	130, 146	sstrd 3954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ ℝ)
186	151, 152	dvres 25275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
187	133, 141, 146, 185, 186	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
188	131	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
189		iccntr 24184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
190	68, 70, 189	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
191	190	reseq2d 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
192	187, 188, 191	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
193	192	dmeqd 5861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = dom ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
194		dmres 5959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) = (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)))
195	44, 130	sstrid 3955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵)
196	195, 179	sseqtrrd 3985	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)))
197		df-ss 3927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↔ (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
198	196, 197	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
199	194, 198	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
200	193, 199	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
201		dvlip2.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
202	201	ad4antr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑀 ∈ ℝ)
203	192	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = (((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))‘𝑥))
204		fvres 6861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥))
205	203, 204	sylan9eq 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥))
206	172	reseq1d 5936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
207	168, 206	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
208	207	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥))
209	208	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥))
210	195	sselda 3944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
211	210	fvresd 6862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
212	205, 209, 211	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
213	212	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥)) = (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
214		simp-4l 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝜑)
215		dvlip2.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
216	214, 210, 215	syl2an2r 683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
217	213, 216	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥)) ≤ 𝑀)
218	68, 70, 184, 200, 202, 217	dvlip 25357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ (𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
219	218	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
220	75, 95, 219	mp2and 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
221	98, 220	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
222	221	exp32 421	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) → (𝑟 < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))))
223	43, 222	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 → (𝑟 < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))))
224	223	impd 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
225	40, 224	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
226	225	rexlimdva 3152	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
227	39, 226	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
228		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 = ℂ)
229	228	sqxpeqd 5665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
230	229	reseq2d 5937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
231		absf 15222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
232		subf 11403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
233		fco 6692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
234	231, 232, 233	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
235		ffn 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
236		fnresdm 6620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
237	234, 235, 236	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
238	230, 237	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = (abs ∘ − ))
239	1, 238	eqtrid 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐽 = (abs ∘ − ))
240	239	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (ball‘𝐽) = (ball‘(abs ∘ − )))
241	240	oveqd 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
242	13, 241	eqtrid 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐵 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
243	242	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
244	242	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑍 ∈ 𝐵 ↔ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
245	243, 244	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))))
246	245	biimpa 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
247	137	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
248	247, 228	sseqtrd 3984	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
249	134	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
250	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑆)
251	250, 228	eleqtrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
252	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
253		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
254	136	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
255	228	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 D 𝐹) = (ℂ D 𝐹))
256	255	dmeqd 5861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℂ D 𝐹))
257	254, 242, 256	3sstr3d 3990	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
258	201	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑀 ∈ ℝ)
259	215	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
260	259	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
261	242	eleq2d 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
262	255	fveq1d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))
263	262	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
264	263	breq1d 5115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
265	260, 261, 264	3imtr3d 292	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
266	265	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
267	248, 249, 251, 252, 253, 257, 258, 266	dvlipcn 25358	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
268	246, 267	syldan 591	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
269	268	an32s 650	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
270		elpri 4608	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
271	3, 270	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
272	271	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
273	227, 269, 272	mpjaodan 957	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 845 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∃wrex 3073 ∩ cin 3909 ⊆ wss 3910 ifcif 4486 {cpr 4588 class class class wbr 5105 × cxp 5631 dom cdm 5633 ran crn 5634 ↾ cres 5635 ∘ ccom 5637 Fn wfn 6491 ⟶wf 6492 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℂcc 11049 ℝcr 11050 + caddc 11054 · cmul 11056 ℝ^*cxr 11188 < clt 11189 ≤ cle 11190 − cmin 11385 ℚcq 12873 (,)cioo 13264 [,]cicc 13267 abscabs 15119 TopOpenctopn 17303 topGenctg 17319 ∞Metcxmet 20781 ballcbl 20783 MetOpencmopn 20786 ℂ_fldccnfld 20796 Topctop 22242 intcnt 22368 –cn→ccncf 24239 D cdv 25227

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129 ax-addf 11130 ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-tp 4591 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-iin 4957 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-se 5589 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-isom 6505 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-of 7617 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-supp 8093 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-2o 8413 df-er 8648 df-map 8767 df-pm 8768 df-ixp 8836 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fsupp 9306 df-fi 9347 df-sup 9378 df-inf 9379 df-oi 9446 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-4 12218 df-5 12219 df-6 12220 df-7 12221 df-8 12222 df-9 12223 df-n0 12414 df-z 12500 df-dec 12619 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12916 df-xneg 13033 df-xadd 13034 df-xmul 13035 df-ioo 13268 df-ico 13270 df-icc 13271 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-seq 13907 df-exp 13968 df-hash 14231 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-struct 17019 df-sets 17036 df-slot 17054 df-ndx 17066 df-base 17084 df-ress 17113 df-plusg 17146 df-mulr 17147 df-starv 17148 df-sca 17149 df-vsca 17150 df-ip 17151 df-tset 17152 df-ple 17153 df-ds 17155 df-unif 17156 df-hom 17157 df-cco 17158 df-rest 17304 df-topn 17305 df-0g 17323 df-gsum 17324 df-topgen 17325 df-pt 17326 df-prds 17329 df-xrs 17384 df-qtop 17389 df-imas 17390 df-xps 17392 df-mre 17466 df-mrc 17467 df-acs 17469 df-mgm 18497 df-sgrp 18546 df-mnd 18557 df-submnd 18602 df-mulg 18873 df-cntz 19097 df-cmn 19564 df-psmet 20788 df-xmet 20789 df-met 20790 df-bl 20791 df-mopn 20792 df-fbas 20793 df-fg 20794 df-cnfld 20797 df-top 22243 df-topon 22260 df-topsp 22282 df-bases 22296 df-cld 22370 df-ntr 22371 df-cls 22372 df-nei 22449 df-lp 22487 df-perf 22488 df-cn 22578 df-cnp 22579 df-haus 22666 df-cmp 22738 df-tx 22913 df-hmeo 23106 df-fil 23197 df-fm 23289 df-flim 23290 df-flf 23291 df-xms 23673 df-ms 23674 df-tms 23675 df-cncf 24241 df-limc 25230 df-dv 25231

This theorem is referenced by: ulmdvlem1 25759 dvconstbi 42604

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