dvlip2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dvlip2 26154

Description: Combine the results of dvlip 26152 and dvlipcn 26153 into one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvlip2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvlip2.j	⊢ 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
dvlip2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvlip2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvlip2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
dvlip2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ^*)
dvlip2.b	⊢ 𝐵 = (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)
dvlip2.d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
dvlip2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
dvlip2.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
dvlip2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐹 𝑥,𝐽 𝜑,𝑥 𝑥,𝑀 𝑥,𝑅 𝑥,𝑆 𝑥,𝑌 𝑥,𝑍 Allowed substitution hint: 𝑋(𝑥)

Proof of Theorem dvlip2 Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvlip2.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆))
2		cnxmet 24929	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		dvlip2.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4		recnprss 26063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		xmetres2 24518	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
7	2, 5, 6	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (∞Met‘𝑆))
8	1, 7	eqeltrid 2867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
9	8	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
10		dvlip2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
11	10	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑆)
12		simplrr 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13		dvlip2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)
14	12, 13	eleqtrdi 2873	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
15		dvlip2.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ^*)
16	15	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
17		elbl 24545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
18	9, 11, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)))
19	14, 18	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅))
20	19	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ 𝑆)
21		xmetcl 24488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ^*)
22	9, 11, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ^*)
23		simplrl 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	23, 13	eleqtrdi 2873	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
25		elbl 24545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)))
26	9, 11, 16, 25	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)))
27	24, 26	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅))
28	27	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ 𝑆)
29		xmetcl 24488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ^*)
30	9, 11, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ^*)
31	22, 30	ifcld 4534	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) ∈ ℝ^*)
32	19	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) < 𝑅)
33	27	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅)
34		breq1 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐽𝑍) = if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) → ((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ↔ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅))
35		breq1 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝐽𝑌) = if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) → ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑅 ↔ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅))
36	34, 35	ifboth 4527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴𝐽𝑍) < 𝑅 ∧ (𝐴𝐽𝑌) < 𝑅) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅)
37	32, 33, 36	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅)
38		qbtwnxr 13221	. . . 4 ⊢ ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ ℝ^* ∧ if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑅) → ∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅))
39	31, 16, 37, 38	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅))
40		qre 12972	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
41		rexr 11250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ^*)
42		xrmaxlt 13202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴𝐽𝑌) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴𝐽𝑍) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)))
43	30, 22, 41, 42	syl2an3an 1449	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ↔ ((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)))
44		ioossicc 13455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))
45		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑆 = ℝ)
46	28, 45	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ)
47	46	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ℝ)
48		xmetsym 24504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑌) = (𝑌𝐽𝐴))
49	9, 11, 28, 48	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) = (𝑌𝐽𝐴))
50	45	sqxpeqd 5693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℝ × ℝ))
51	50	reseq2d 5978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
52	1, 51	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
53	52	oveqd 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌𝐽𝐴) = (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
54	11, 45	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
55		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
56	55	remetdval 24946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
57	46, 54, 56	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑌((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
58	49, 53, 57	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑌) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
59	58	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑌) = (abs‘(𝑌 − 𝐴)))
60		simprll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑌) < 𝑟)
61	59, 60	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(𝑌 − 𝐴)) < 𝑟)
62	54	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ)
63		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑟 ∈ ℝ)
64	47, 62, 63	absdifltd 15483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((abs‘(𝑌 − 𝐴)) < 𝑟 ↔ ((𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
65	61, 64	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟)))
66	65	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) < 𝑌)
67	65	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))
68	62, 63	resubcld 11637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ)
69	68	rexrd 11254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ^*)
70	62, 63	readdcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ)
71	70	rexrd 11254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ^*)
72		elioo2 13408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ^*) → (𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
73	69, 71, 72	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐴 + 𝑟))))
74	47, 66, 67, 73	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
75	44, 74	sselid 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))
76	75	fvresd 6901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) = (𝐹‘𝑌))
77	20, 45	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑍 ∈ ℝ)
78	77	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ℝ)
79		xmetsym 24504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
80	9, 11, 20, 79	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) = (𝑍𝐽𝐴))
81	52	oveqd 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍𝐽𝐴) = (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
82	55	remetdval 24946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
83	77, 54, 82	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑍((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
84	80, 81, 83	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴𝐽𝑍) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
85	84	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑍) = (abs‘(𝑍 − 𝐴)))
86		simprlr 791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟)
87	85, 86	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(𝑍 − 𝐴)) < 𝑟)
88	78, 62, 63	absdifltd 15483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((abs‘(𝑍 − 𝐴)) < 𝑟 ↔ ((𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
89	87, 88	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟)))
90	89	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐴 − 𝑟) < 𝑍)
91	89	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))
92		elioo2 13408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ^* ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ^*) → (𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
93	69, 71, 92	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑍 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) < 𝑍 ∧ 𝑍 < (𝐴 + 𝑟))))
94	78, 90, 91, 93	mpbir3and 1361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
95	44, 94	sselid 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))
96	95	fvresd 6901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍) = (𝐹‘𝑍))
97	76, 96	oveq12d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍)) = ((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍)))
98	97	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) = (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))))
99	9	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆))
100		elicc2 13433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
101	68, 70, 100	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
102	101	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟)))
103	102	simp1d 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ ℝ)
104	45	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑆 = ℝ)
105	103, 104	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
106	11	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐴 ∈ 𝑆)
107		xmetcl 24488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑥𝐽𝐴) ∈ ℝ^*)
108	99, 105, 106, 107	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) ∈ ℝ^*)
109	63	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ)
110	109	rexrd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
111	16	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
112	52	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐽 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
113	112	oveqd 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴))
114	62	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝐴 ∈ ℝ)
115	55	remetdval 24946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
116	103, 114, 115	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))𝐴) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
117	113, 116	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
118	102	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥)
119	102	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))
120	103, 114, 109	absdifled 15484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) ≤ 𝑟 ↔ ((𝐴 − 𝑟) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝐴 + 𝑟))))
121	118, 119, 120	mpbir2and 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (abs‘(𝑥 − 𝐴)) ≤ 𝑟)
122	117, 121	eqbrtrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) ≤ 𝑟)
123		simplrr 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑟 < 𝑅)
124	108, 110, 111, 122, 123	xrlelttrd 13180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅)
125		elbl3 24549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆)) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅))
126	99, 111, 106, 105, 125	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ↔ (𝑥𝐽𝐴) < 𝑅))
127	124, 126	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
128	127	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅)))
129	128	ssrdv 3943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ (𝐴(ball‘𝐽)𝑅))
130	129, 13	sseqtrrdi 3978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵)
131	130	resabs1d 6007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))
132		ax-resscn 11152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ℝ ⊆ ℂ)
134		dvlip2.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
135	134	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
136		dvlip2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
137		dvlip2.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
138	5, 134, 137	dvbss 26060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
139	136, 138	sstrd 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
140	139	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
141	135, 140	fssresd 6745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ)
142		blssm 24575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐽 ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ⊆ 𝑆)
143	9, 11, 16, 142	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) ⊆ 𝑆)
144	13, 143	eqsstrid 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ 𝑆)
145	144, 45	sseqtrd 3973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ ℝ)
146	145	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝐵 ⊆ ℝ)
147	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ℝ ⊆ ℂ)
148	134	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
149	137	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
150	149, 45	sseqtrd 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝑋 ⊆ ℝ)
151		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
152		tgioo4 24962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
153	151, 152	dvres 26070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)))
154	147, 148, 150, 145, 153	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)))
155		retop 24918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
156	52	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ball‘𝐽) = (ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
157	156	oveqd 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) = (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅))
158	13, 157	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 = (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅))
159	52, 9	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘𝑆))
160		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
161	55, 160	tgioo 24953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
162	161	blopn 24657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘𝑆) ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
163	159, 11, 16, 162	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐴(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
164	158, 163	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ∈ (topGen‘ran (,)))
165		isopn3i 23239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵) = 𝐵)
166	155, 164, 165	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵) = 𝐵)
167	166	reseq2d 5978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
168	154, 167	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
169	168	dmeqd 5895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
170		dmres 6011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹))
171	136	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
172	45	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝑆 D 𝐹) = (ℝ D 𝐹))
173	172	dmeqd 5895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℝ D 𝐹))
174	171, 173	sseqtrd 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → 𝐵 ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
175		dfss2 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐵)
176	174, 175	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (𝐵 ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = 𝐵)
177	170, 176	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵) = 𝐵)
178	169, 177	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵)
179	178	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵)
180		dvcn 26080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = 𝐵) → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ))
181	133, 141, 146, 179, 180	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ))
182		rescncf 25056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵) ∈ (𝐵–cn→ℂ) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ)))
183	130, 181, 182	sylc 66	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ))
184	131, 183	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) ∈ (((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))–cn→ℂ))
185	130, 146	sstrd 3947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ ℝ)
186	151, 152	dvres 26070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ 𝐵):𝐵⟶ℂ) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
187	133, 141, 146, 185, 186	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
188	131	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D ((𝐹 ↾ 𝐵) ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))))
189		iccntr 24979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
190	68, 70, 189	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
191	190	reseq2d 5978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
192	187, 188, 191	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
193	192	dmeqd 5895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = dom ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))))
194		dmres 6011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) = (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)))
195	44, 130	sstrid 3948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ 𝐵)
196	195, 179	sseqtrrd 3974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)))
197		dfss2 3923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ⊆ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↔ (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
198	196, 197	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) ∩ dom (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
199	194, 198	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
200	193, 199	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) = ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))
201		dvlip2.m	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
202	201	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝑀 ∈ ℝ)
203	192	fveq1d 6883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = (((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))‘𝑥))
204		fvres 6900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) ↾ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟)))‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥))
205	203, 204	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥))
206	172	reseq1d 5977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) = ((ℝ D 𝐹) ↾ 𝐵))
207	168, 206	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
208	207	fveq1d 6883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥))
209	208	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ 𝐵))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥))
210	195	sselda 3937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
211	210	fvresd 6901	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
212	205, 209, 211	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
213	212	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥)) = (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
214		simp-4l 794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → 𝜑)
215		dvlip2.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
216	214, 210, 215	syl2an2r 697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
217	213, 216	eqbrtrd 5133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝑟)(,)(𝐴 + 𝑟))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))))‘𝑥)) ≤ 𝑀)
218	68, 70, 184, 200, 202, 217	dvlip 26152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) ∧ (𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
219	218	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → ((𝑌 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)) ∧ 𝑍 ∈ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟))) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
220	75, 95, 219	mp2and 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘(((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑌) − ((𝐹 ↾ ((𝐴 − 𝑟)[,](𝐴 + 𝑟)))‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
221	98, 220	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) ∧ 𝑟 < 𝑅)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
222	221	exp32 425	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((𝐴𝐽𝑌) < 𝑟 ∧ (𝐴𝐽𝑍) < 𝑟) → (𝑟 < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))))
223	43, 222	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 → (𝑟 < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))))
224	223	impd 415	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
225	40, 224	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
226	225	rexlimdva 3166	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ (if((𝐴𝐽𝑌) ≤ (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑍), (𝐴𝐽𝑌)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < 𝑅) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍)))))
227	39, 226	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
228		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 = ℂ)
229	228	sqxpeqd 5693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 × 𝑆) = (ℂ × ℂ))
230	229	reseq2d 5978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)))
231		absf 15385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
232		subf 11454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
233		fco 6730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
234	231, 232, 233	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
235		ffn 6705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ → (abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ))
236		fnresdm 6654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs ∘ − ) Fn (ℂ × ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − ))
237	234, 235, 236	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℂ × ℂ)) = (abs ∘ − )
238	230, 237	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑆 × 𝑆)) = (abs ∘ − ))
239	1, 238	eqtrid 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐽 = (abs ∘ − ))
240	239	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (ball‘𝐽) = (ball‘(abs ∘ − )))
241	240	oveqd 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝐴(ball‘𝐽)𝑅) = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
242	13, 241	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐵 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
243	242	eleq2d 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑌 ∈ 𝐵 ↔ 𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
244	242	eleq2d 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑍 ∈ 𝐵 ↔ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
245	243, 244	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ↔ (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))))
246	245	biimpa 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
247	137	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
248	247, 228	sseqtrd 3973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
249	134	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
250	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑆)
251	250, 228	eleqtrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
252	15	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ^*)
253		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
254	136	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝐵 ⊆ dom (𝑆 D 𝐹))
255	228	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑆 D 𝐹) = (ℂ D 𝐹))
256	255	dmeqd 5895	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → dom (𝑆 D 𝐹) = dom (ℂ D 𝐹))
257	254, 242, 256	3sstr3d 3991	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ dom (ℂ D 𝐹))
258	201	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → 𝑀 ∈ ℝ)
259	215	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
260	259	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
261	242	eleq2d 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
262	255	fveq1d 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))
263	262	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
264	263	breq1d 5119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → ((abs‘((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀 ↔ (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
265	260, 261, 264	3imtr3d 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀))
266	265	imp 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑀)
267	248, 249, 251, 252, 253, 257, 258, 266	dvlipcn 26153	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
268	246, 267	syldan 602	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 = ℂ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
269	268	an32s 664	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑆 = ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))
270		elpri 4613	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
271	3, 270	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
272	271	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
273	227, 269, 272	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝑌) − (𝐹‘𝑍))) ≤ (𝑀 · (abs‘(𝑌 − 𝑍))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∨ wo 860 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ∃wrex 3089 ∩ cin 3904 ⊆ wss 3905 ifcif 4487 {cpr 4591 class class class wbr 5109 × cxp 5659 dom cdm 5661 ran crn 5662 ↾ cres 5663 ∘ ccom 5665 Fn wfn 6531 ⟶wf 6532 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℂcc 11093 ℝcr 11094 + caddc 11098 · cmul 11100 ℝ^*cxr 11237 < clt 11238 ≤ cle 11239 − cmin 11436 ℚcq 12967 (,)cioo 13367 [,]cicc 13370 abscabs 15281 TopOpenctopn 17469 topGenctg 17485 ∞Metcxmet 21507 ballcbl 21509 MetOpencmopn 21512 ℂ_fldccnfld 21522 Topctop 23050 intcnt 23174 –cn→ccncf 25035 D cdv 26022

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5257 ax-nul 5269 ax-pow 5336 ax-pr 5404 ax-un 7732 ax-cnex 11151 ax-resscn 11152 ax-1cn 11153 ax-icn 11154 ax-addcl 11155 ax-addrcl 11156 ax-mulcl 11157 ax-mulrcl 11158 ax-mulcom 11159 ax-addass 11160 ax-mulass 11161 ax-distr 11162 ax-i2m1 11163 ax-1ne0 11164 ax-1rid 11165 ax-rnegex 11166 ax-rrecex 11167 ax-cnre 11168 ax-pre-lttri 11169 ax-pre-lttrn 11170 ax-pre-ltadd 11171 ax-pre-mulgt0 11172 ax-pre-sup 11173 ax-addf 11174

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3745 df-csb 3854 df-dif 3908 df-un 3910 df-in 3912 df-ss 3922 df-pss 3925 df-nul 4287 df-if 4488 df-pw 4564 df-sn 4590 df-pr 4592 df-tp 4594 df-op 4596 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-iin 4959 df-br 5110 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5556 df-eprel 5561 df-po 5569 df-so 5570 df-fr 5614 df-se 5615 df-we 5616 df-xp 5667 df-rel 5668 df-cnv 5669 df-co 5670 df-dm 5671 df-rn 5672 df-res 5673 df-ima 5674 df-pred 6302 df-ord 6363 df-on 6364 df-lim 6365 df-suc 6366 df-iota 6492 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-of 7674 df-om 7859 df-1st 7982 df-2nd 7983 df-supp 8153 df-frecs 8274 df-wrecs 8305 df-recs 8354 df-rdg 8393 df-1o 8449 df-2o 8450 df-er 8690 df-map 8822 df-pm 8823 df-ixp 8892 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-fsupp 9318 df-fi 9367 df-sup 9398 df-inf 9399 df-oi 9468 df-card 9921 df-pnf 11240 df-mnf 11241 df-xr 11242 df-ltxr 11243 df-le 11244 df-sub 11438 df-neg 11439 df-div 11867 df-nn 12229 df-2 12298 df-3 12299 df-4 12300 df-5 12301 df-6 12302 df-7 12303 df-8 12304 df-9 12305 df-n0 12500 df-z 12587 df-dec 12707 df-uz 12858 df-q 12968 df-rp 13012 df-xneg 13132 df-xadd 13133 df-xmul 13134 df-ioo 13371 df-ico 13373 df-icc 13374 df-fz 13531 df-fzo 13679 df-seq 14034 df-exp 14094 df-hash 14363 df-cj 15146 df-re 15147 df-im 15148 df-sqrt 15282 df-abs 15283 df-struct 17202 df-sets 17219 df-slot 17237 df-ndx 17249 df-base 17265 df-ress 17286 df-plusg 17318 df-mulr 17319 df-starv 17320 df-sca 17321 df-vsca 17322 df-ip 17323 df-tset 17324 df-ple 17325 df-ds 17327 df-unif 17328 df-hom 17329 df-cco 17330 df-rest 17470 df-topn 17471 df-0g 17489 df-gsum 17490 df-topgen 17491 df-pt 17492 df-prds 17495 df-xrs 17551 df-qtop 17556 df-imas 17557 df-xps 17559 df-mre 17633 df-mrc 17634 df-acs 17636 df-mgm 18693 df-sgrp 18772 df-mnd 18788 df-submnd 18837 df-mulg 19129 df-cntz 19382 df-cmn 19847 df-psmet 21514 df-xmet 21515 df-met 21516 df-bl 21517 df-mopn 21518 df-fbas 21519 df-fg 21520 df-cnfld 21523 df-top 23051 df-topon 23068 df-topsp 23090 df-bases 23103 df-cld 23176 df-ntr 23177 df-cls 23178 df-nei 23255 df-lp 23293 df-perf 23294 df-cn 23384 df-cnp 23385 df-haus 23472 df-cmp 23544 df-tx 23719 df-hmeo 23912 df-fil 24003 df-fm 24095 df-flim 24096 df-flf 24097 df-xms 24477 df-ms 24478 df-tms 24479 df-cncf 25037 df-limc 26025 df-dv 26026

This theorem is referenced by: ulmdvlem1 26563 dvconstbi 45044

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