MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stdbdmopn 24531
Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐶 generates the same topology as 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
stdbdmopn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
stdbdmopn ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdmopn
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpxr 13044 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
21ad2antll 729 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
3 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
42, 3ifcld 4572 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*)
5 rpre 13043 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
65ad2antll 729 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
7 rpgt0 13047 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
87ad2antll 729 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑟)
9 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑅)
10 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑟 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (0 < 𝑟 ↔ 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
11 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑅 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (0 < 𝑅 ↔ 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
1210, 11ifboth 4565 . . . . . . . 8 ((0 < 𝑟 ∧ 0 < 𝑅) → 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))
138, 9, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))
14 0xr 11308 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
15 xrltle 13191 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*) → (0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → 0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
1614, 4, 15sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → 0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
1713, 16mpd 15 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))
18 xrmin1 13219 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)
192, 3, 18syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)
20 xrrege0 13216 . . . . . 6 (((if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ)
214, 6, 17, 19, 20syl22anc 839 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ)
2221, 13elrpd 13074 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ+)
23 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑧𝑋)
24 xrmin2 13220 . . . . . . . 8 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)
252, 3, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)
2623, 4, 253jca 1129 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧𝑋 ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅))
27 stdbdmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
2827stdbdbl 24530 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋 ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)) → (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
2926, 28syldan 591 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
3029eqcomd 2743 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
31 breq1 5146 . . . . . 6 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑠𝑟 ↔ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟))
32 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
33 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
3432, 33eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → ((𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))))
3531, 34anbi12d 632 . . . . 5 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → ((𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) ↔ (if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))))
3635rspcev 3622 . . . 4 ((if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ+ ∧ (if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
3722, 19, 30, 36syl12anc 837 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
3837ralrimivva 3202 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
39 simp1 1137 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
4027stdbdxmet 24528 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41 stdbdmopn.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
42 eqid 2737 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
4341, 42metequiv2 24523 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
4439, 40, 43syl2anc 584 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
4538, 44mpd 15 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11154  0cc0 11155  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  +crp 13034  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351  MetOpencmopn 21354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-bases 22953
This theorem is referenced by:  mopnex  24532  xlebnum  24997
  Copyright terms: Public domain W3C validator