MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stdbdmopn 24547
Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐶 generates the same topology as 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
stdbdmopn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
stdbdmopn ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdmopn
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpxr 13042 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
21ad2antll 729 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
3 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
42, 3ifcld 4577 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*)
5 rpre 13041 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
65ad2antll 729 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
7 rpgt0 13045 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
87ad2antll 729 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑟)
9 simpl3 1192 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑅)
10 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑟 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (0 < 𝑟 ↔ 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
11 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑅 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (0 < 𝑅 ↔ 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
1210, 11ifboth 4570 . . . . . . . 8 ((0 < 𝑟 ∧ 0 < 𝑅) → 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))
138, 9, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))
14 0xr 11306 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
15 xrltle 13188 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*) → (0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → 0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
1614, 4, 15sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → 0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
1713, 16mpd 15 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))
18 xrmin1 13216 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)
192, 3, 18syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)
20 xrrege0 13213 . . . . . 6 (((if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ)
214, 6, 17, 19, 20syl22anc 839 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ)
2221, 13elrpd 13072 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ+)
23 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑧𝑋)
24 xrmin2 13217 . . . . . . . 8 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)
252, 3, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)
2623, 4, 253jca 1127 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧𝑋 ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅))
27 stdbdmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
2827stdbdbl 24546 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋 ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)) → (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
2926, 28syldan 591 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
3029eqcomd 2741 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
31 breq1 5151 . . . . . 6 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑠𝑟 ↔ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟))
32 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
33 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
3432, 33eqeq12d 2751 . . . . . 6 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → ((𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))))
3531, 34anbi12d 632 . . . . 5 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → ((𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) ↔ (if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))))
3635rspcev 3622 . . . 4 ((if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ+ ∧ (if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
3722, 19, 30, 36syl12anc 837 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
3837ralrimivva 3200 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
39 simp1 1135 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
4027stdbdxmet 24544 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41 stdbdmopn.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
42 eqid 2735 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
4341, 42metequiv2 24539 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
4439, 40, 43syl2anc 584 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
4538, 44mpd 15 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11152  0cc0 11153  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  +crp 13032  ∞Metcxmet 21367  ballcbl 21369  MetOpencmopn 21372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-bases 22969
This theorem is referenced by:  mopnex  24548  xlebnum  25011
  Copyright terms: Public domain W3C validator