MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stdbdmopn 24009
Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐶 generates the same topology as 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
stdbdmopn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
stdbdmopn ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdmopn
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpxr 12979 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
21ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
3 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
42, 3ifcld 4573 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*)
5 rpre 12978 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
65ad2antll 728 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
7 rpgt0 12982 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
87ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑟)
9 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑅)
10 breq2 5151 . . . . . . . . 9 (𝑟 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (0 < 𝑟 ↔ 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
11 breq2 5151 . . . . . . . . 9 (𝑅 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (0 < 𝑅 ↔ 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
1210, 11ifboth 4566 . . . . . . . 8 ((0 < 𝑟 ∧ 0 < 𝑅) → 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))
138, 9, 12syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))
14 0xr 11257 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
15 xrltle 13124 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*) → (0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → 0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
1614, 4, 15sylancr 588 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (0 < if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → 0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
1713, 16mpd 15 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))
18 xrmin1 13152 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)
192, 3, 18syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)
20 xrrege0 13149 . . . . . 6 (((if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ)
214, 6, 17, 19, 20syl22anc 838 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ)
2221, 13elrpd 13009 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ+)
23 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑧𝑋)
24 xrmin2 13153 . . . . . . . 8 ((𝑟 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)
252, 3, 24syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)
2623, 4, 253jca 1129 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧𝑋 ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅))
27 stdbdmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
2827stdbdbl 24008 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋 ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)) → (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
2926, 28syldan 592 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
3029eqcomd 2739 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
31 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑠𝑟 ↔ if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟))
32 oveq2 7412 . . . . . . 7 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
33 oveq2 7412 . . . . . . 7 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))
3432, 33eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → ((𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅))))
3531, 34anbi12d 632 . . . . 5 (𝑠 = if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) → ((𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) ↔ (if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))))
3635rspcev 3612 . . . 4 ((if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ+ ∧ (if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟𝑅, 𝑟, 𝑅)))) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
3722, 19, 30, 36syl12anc 836 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
3837ralrimivva 3201 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
39 simp1 1137 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
4027stdbdxmet 24006 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41 stdbdmopn.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
42 eqid 2733 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
4341, 42metequiv2 24001 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
4439, 40, 43syl2anc 585 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
4538, 44mpd 15 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  ifcif 4527   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cmpo 7406  cr 11105  0cc0 11106  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245  +crp 12970  ∞Metcxmet 20914  ballcbl 20916  MetOpencmopn 20919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-topgen 17385  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-bases 22431
This theorem is referenced by:  mopnex  24010  xlebnum  24463
  Copyright terms: Public domain W3C validator