MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stdbdmopn 24034
Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐢 generates the same topology as 𝐢. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
stdbdmopn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
stdbdmopn ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem stdbdmopn
Dummy variables π‘Ÿ 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpxr 12985 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
21ad2antll 727 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
3 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
42, 3ifcld 4574 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ*)
5 rpre 12984 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
65ad2antll 727 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
7 rpgt0 12988 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ÿ)
87ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 < π‘Ÿ)
9 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 < 𝑅)
10 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ (0 < π‘Ÿ ↔ 0 < if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
11 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑅 = if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ (0 < 𝑅 ↔ 0 < if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
1210, 11ifboth 4567 . . . . . . . 8 ((0 < π‘Ÿ ∧ 0 < 𝑅) β†’ 0 < if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅))
138, 9, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 < if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅))
14 0xr 11263 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
15 xrltle 13130 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ*) β†’ (0 < if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ 0 ≀ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
1614, 4, 15sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (0 < if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ 0 ≀ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
1713, 16mpd 15 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 ≀ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅))
18 xrmin1 13158 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ π‘Ÿ)
192, 3, 18syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ π‘Ÿ)
20 xrrege0 13155 . . . . . 6 (((if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∧ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ π‘Ÿ)) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ)
214, 6, 17, 19, 20syl22anc 837 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ)
2221, 13elrpd 13015 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ+)
23 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
24 xrmin2 13159 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ 𝑅)
252, 3, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ 𝑅)
2623, 4, 253jca 1128 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ 𝑅))
27 stdbdmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
2827stdbdbl 24033 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ 𝑅)) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)) = (𝑧(ballβ€˜πΆ)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
2926, 28syldan 591 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)) = (𝑧(ballβ€˜πΆ)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
3029eqcomd 2738 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑧(ballβ€˜πΆ)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)) = (𝑧(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
31 breq1 5151 . . . . . 6 (𝑠 = if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ (𝑠 ≀ π‘Ÿ ↔ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ π‘Ÿ))
32 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑠 = if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ (𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜πΆ)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
33 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑠 = if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
3432, 33eqeq12d 2748 . . . . . 6 (𝑠 = if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ ((𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠) ↔ (𝑧(ballβ€˜πΆ)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)) = (𝑧(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅))))
3531, 34anbi12d 631 . . . . 5 (𝑠 = if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ ((𝑠 ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠)) ↔ (if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)) = (𝑧(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))))
3635rspcev 3612 . . . 4 ((if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ+ ∧ (if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)) = (𝑧(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (𝑠 ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠)))
3722, 19, 30, 36syl12anc 835 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (𝑠 ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠)))
3837ralrimivva 3200 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (𝑠 ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠)))
39 simp1 1136 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4027stdbdxmet 24031 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
41 stdbdmopn.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
42 eqid 2732 . . . 4 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
4341, 42metequiv2 24026 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (𝑠 ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠)) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)))
4439, 40, 43syl2anc 584 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (𝑠 ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠)) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)))
4538, 44mpd 15 1 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  ifcif 4528   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  β„cr 11111  0cc0 11112  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  β„+crp 12976  βˆžMetcxmet 20935  ballcbl 20937  MetOpencmopn 20940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-icc 13333  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-bases 22456
This theorem is referenced by:  mopnex  24035  xlebnum  24488
  Copyright terms: Public domain W3C validator