MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  stdbdmopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stdbdmopn 24027
Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐢 generates the same topology as 𝐢. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
stdbdmopn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
stdbdmopn ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem stdbdmopn
Dummy variables π‘Ÿ 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpxr 12983 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
21ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
3 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
42, 3ifcld 4575 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ*)
5 rpre 12982 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
65ad2antll 728 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
7 rpgt0 12986 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ÿ)
87ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 < π‘Ÿ)
9 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 < 𝑅)
10 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ (0 < π‘Ÿ ↔ 0 < if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
11 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑅 = if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ (0 < 𝑅 ↔ 0 < if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
1210, 11ifboth 4568 . . . . . . . 8 ((0 < π‘Ÿ ∧ 0 < 𝑅) β†’ 0 < if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅))
138, 9, 12syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 < if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅))
14 0xr 11261 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
15 xrltle 13128 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ*) β†’ (0 < if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ 0 ≀ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
1614, 4, 15sylancr 588 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (0 < if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ 0 ≀ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
1713, 16mpd 15 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 ≀ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅))
18 xrmin1 13156 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ π‘Ÿ)
192, 3, 18syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ π‘Ÿ)
20 xrrege0 13153 . . . . . 6 (((if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (0 ≀ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∧ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ π‘Ÿ)) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ)
214, 6, 17, 19, 20syl22anc 838 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ)
2221, 13elrpd 13013 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ+)
23 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
24 xrmin2 13157 . . . . . . . 8 ((π‘Ÿ ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ 𝑅)
252, 3, 24syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ 𝑅)
2623, 4, 253jca 1129 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ 𝑅))
27 stdbdmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((π‘₯𝐢𝑦) ≀ 𝑅, (π‘₯𝐢𝑦), 𝑅))
2827stdbdbl 24026 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ 𝑅)) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)) = (𝑧(ballβ€˜πΆ)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
2926, 28syldan 592 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)) = (𝑧(ballβ€˜πΆ)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
3029eqcomd 2739 . . . 4 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝑧(ballβ€˜πΆ)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)) = (𝑧(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
31 breq1 5152 . . . . . 6 (𝑠 = if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ (𝑠 ≀ π‘Ÿ ↔ if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ π‘Ÿ))
32 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑠 = if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ (𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜πΆ)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
33 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑠 = if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))
3432, 33eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑠 = if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ ((𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠) ↔ (𝑧(ballβ€˜πΆ)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)) = (𝑧(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅))))
3531, 34anbi12d 632 . . . . 5 (𝑠 = if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) β†’ ((𝑠 ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠)) ↔ (if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)) = (𝑧(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))))
3635rspcev 3613 . . . 4 ((if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ∈ ℝ+ ∧ (if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅) ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)) = (𝑧(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 𝑅, π‘Ÿ, 𝑅)))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (𝑠 ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠)))
3722, 19, 30, 36syl12anc 836 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (𝑠 ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠)))
3837ralrimivva 3201 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (𝑠 ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠)))
39 simp1 1137 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4027stdbdxmet 24024 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
41 stdbdmopn.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
42 eqid 2733 . . . 4 (MetOpenβ€˜π·) = (MetOpenβ€˜π·)
4341, 42metequiv2 24019 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (𝑠 ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠)) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)))
4439, 40, 43syl2anc 585 . 2 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ (𝑠 ≀ π‘Ÿ ∧ (𝑧(ballβ€˜πΆ)𝑠) = (𝑧(ballβ€˜π·)𝑠)) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)))
4538, 44mpd 15 1 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  ifcif 4529   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  β„cr 11109  0cc0 11110  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-bases 22449
This theorem is referenced by:  mopnex  24028  xlebnum  24481
  Copyright terms: Public domain W3C validator