Theorem stdbdmopn 24712

Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐶 generates the same topology as 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
stdbdmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
stdbdmopn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
stdbdmopn	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥, 𝑦)   𝐽(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem stdbdmopn

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 13044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
2	1	ad2antll 742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
3		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
4	2, 3	ifcld 4539	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*)
5		rpre 13043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
6	5	ad2antll 742	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
7		rpgt0 13047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
8	7	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑟)
9		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑅)
10		breq2 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → (0 < 𝑟 ↔ 0 < if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
11		breq2 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → (0 < 𝑅 ↔ 0 < if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
12	10, 11	ifboth 4532	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 𝑟 ∧ 0 < 𝑅) → 0 < if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅))
13	8, 9, 12	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅))
14		0xr 11274	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
15		xrltle 13192	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*) → (0 < if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → 0 ≤ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
16	14, 4, 15	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (0 < if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → 0 ≤ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
17	13, 16	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅))
18		xrmin1 13221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)
19	2, 3, 18	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)
20		xrrege0 13218	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∧ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ)
21	4, 6, 17, 19, 20	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ)
22	21, 13	elrpd 13075	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ+)
23		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
24		xrmin2 13222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)
25	2, 3, 24	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)
26	23, 4, 25	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅))
27		stdbdmet.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
28	27	stdbdbl 24711	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)) → (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
29	26, 28	syldan 603	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
30	29	eqcomd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
31		breq1 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑠 ≤ 𝑟 ↔ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟))
32		oveq2 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
33		oveq2 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
34	32, 33	eqeq12d 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → ((𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅))))
35	31, 34	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → ((𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) ↔ (if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))))
36	35	rspcev 3584	. . . 4 ⊢ ((if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ+ ∧ (if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
37	22, 19, 30, 36	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
38	37	ralrimivva 3211	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
39		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
40	27	stdbdxmet 24709	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41		stdbdmopn.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
42		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
43	41, 42	metequiv2 24704	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
44	39, 40, 43	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
45	38, 44	mpd 16	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  ifcif 4492   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  ℝcr 11117  0cc0 11118  ℝ^*cxr 11260   < clt 11261   ≤ cle 11262  ℝ⁺crp 13034  ∞Metcxmet 21544  ballcbl 21546  MetOpencmopn 21549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13397  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-bases 23140

This theorem is used by:  mopnex  24713  xlebnum  25161