Theorem stdbdmopn 24656

Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐶 generates the same topology as 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
stdbdmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
stdbdmopn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
stdbdmopn	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem stdbdmopn

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpxr 13027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
2	1	ad2antll 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
3		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
4	2, 3	ifcld 4535	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*)
5		rpre 13026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
6	5	ad2antll 741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
7		rpgt0 13030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
8	7	ad2antll 741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑟)
9		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝑅)
10		breq2 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → (0 < 𝑟 ↔ 0 < if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
11		breq2 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → (0 < 𝑅 ↔ 0 < if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
12	10, 11	ifboth 4528	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 < 𝑟 ∧ 0 < 𝑅) → 0 < if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅))
13	8, 9, 12	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅))
14		0xr 11257	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
15		xrltle 13175	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ*) → (0 < if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → 0 ≤ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
16	14, 4, 15	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (0 < if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → 0 ≤ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
17	13, 16	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅))
18		xrmin1 13204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)
19	2, 3, 18	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)
20		xrrege0 13201	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∧ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟)) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ)
21	4, 6, 17, 19, 20	syl22anc 851	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ)
22	21, 13	elrpd 13058	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ+)
23		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
24		xrmin2 13205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)
25	2, 3, 24	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)
26	23, 4, 25	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅))
27		stdbdmet.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑥𝐶𝑦) ≤ 𝑅, (𝑥𝐶𝑦), 𝑅))
28	27	stdbdbl 24655	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑅)) → (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
29	26, 28	syldan 602	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
30	29	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
31		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑠 ≤ 𝑟 ↔ if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟))
32		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
33		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))
34	32, 33	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → ((𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠) ↔ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅))))
35	31, 34	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) → ((𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) ↔ (if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))))
36	35	rspcev 3582	. . . 4 ⊢ ((if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ∈ ℝ+ ∧ (if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅) ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)) = (𝑧(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 𝑅, 𝑟, 𝑅)))) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
37	22, 19, 30, 36	syl12anc 849	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
38	37	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)))
39		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
40	27	stdbdxmet 24653	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41		stdbdmopn.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
42		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
43	41, 42	metequiv2 24648	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
44	39, 40, 43	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑧(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑧(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)))
45	38, 44	mpd 16	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ifcif 4488   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℝcr 11100  0cc0 11101  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℝ⁺crp 13017  ∞Metcxmet 21488  ballcbl 21490  MetOpencmopn 21493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-icc 13380  df-topgen 17497  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-bases 23084

This theorem is referenced by:  mopnex  24657  xlebnum  25105