New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  funimass4 GIF version

Theorem funimass4 5368
 Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
funimass4 ((Fun F A dom F) → ((FA) Bx A (Fx) B))
Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F

Proof of Theorem funimass4
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfss2 3262 . 2 ((FA) By(y (FA) → y B))
2 ssel2 3268 . . . . . . . . . 10 ((A dom F x A) → x dom F)
3 eqcom 2355 . . . . . . . . . . 11 (y = (Fx) ↔ (Fx) = y)
4 funbrfvb 5360 . . . . . . . . . . 11 ((Fun F x dom F) → ((Fx) = yxFy))
53, 4syl5bb 248 . . . . . . . . . 10 ((Fun F x dom F) → (y = (Fx) ↔ xFy))
62, 5sylan2 460 . . . . . . . . 9 ((Fun F (A dom F x A)) → (y = (Fx) ↔ xFy))
76anassrs 629 . . . . . . . 8 (((Fun F A dom F) x A) → (y = (Fx) ↔ xFy))
87rexbidva 2631 . . . . . . 7 ((Fun F A dom F) → (x A y = (Fx) ↔ x A xFy))
9 elima 4754 . . . . . . 7 (y (FA) ↔ x A xFy)
108, 9syl6rbbr 255 . . . . . 6 ((Fun F A dom F) → (y (FA) ↔ x A y = (Fx)))
1110imbi1d 308 . . . . 5 ((Fun F A dom F) → ((y (FA) → y B) ↔ (x A y = (Fx) → y B)))
12 r19.23v 2730 . . . . 5 (x A (y = (Fx) → y B) ↔ (x A y = (Fx) → y B))
1311, 12syl6bbr 254 . . . 4 ((Fun F A dom F) → ((y (FA) → y B) ↔ x A (y = (Fx) → y B)))
1413albidv 1625 . . 3 ((Fun F A dom F) → (y(y (FA) → y B) ↔ yx A (y = (Fx) → y B)))
15 ralcom4 2877 . . . 4 (x A y(y = (Fx) → y B) ↔ yx A (y = (Fx) → y B))
16 fvex 5339 . . . . . 6 (Fx) V
17 eleq1 2413 . . . . . 6 (y = (Fx) → (y B ↔ (Fx) B))
1816, 17ceqsalv 2885 . . . . 5 (y(y = (Fx) → y B) ↔ (Fx) B)
1918ralbii 2638 . . . 4 (x A y(y = (Fx) → y B) ↔ x A (Fx) B)
2015, 19bitr3i 242 . . 3 (yx A (y = (Fx) → y B) ↔ x A (Fx) B)
2114, 20syl6bb 252 . 2 ((Fun F A dom F) → (y(y (FA) → y B) ↔ x A (Fx) B))
221, 21syl5bb 248 1 ((Fun F A dom F) → ((FA) Bx A (Fx) B))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∀wral 2614  ∃wrex 2615   ⊆ wss 3257   class class class wbr 4639   “ cima 4722  dom cdm 4772  Fun wfun 4775   ‘cfv 4781 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-fv 4795 This theorem is referenced by:  funimass3  5404  funimass5  5405  funconstss  5406  funimassov  5609
 Copyright terms: Public domain W3C validator