Theorem funimass4 5369

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → ((F “ A) ⊆ B ↔ ∀x ∈ A (F ‘x) ∈ B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F

Proof of Theorem funimass4

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3263	. 2 ⊢ ((F “ A) ⊆ B ↔ ∀y(y ∈ (F “ A) → y ∈ B))
2		ssel2 3269	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ⊆ dom F ∧ x ∈ A) → x ∈ dom F)
3		eqcom 2355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = (F ‘x) ↔ (F ‘x) = y)
4		funbrfvb 5361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun F ∧ x ∈ dom F) → ((F ‘x) = y ↔ xFy))
5	3, 4	syl5bb 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun F ∧ x ∈ dom F) → (y = (F ‘x) ↔ xFy))
6	2, 5	sylan2 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun F ∧ (A ⊆ dom F ∧ x ∈ A)) → (y = (F ‘x) ↔ xFy))
7	6	anassrs 629	. . . . . . . 8 ⊢ (((Fun F ∧ A ⊆ dom F) ∧ x ∈ A) → (y = (F ‘x) ↔ xFy))
8	7	rexbidva 2632	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → (∃x ∈ A y = (F ‘x) ↔ ∃x ∈ A xFy))
9		elima 4755	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ (F “ A) ↔ ∃x ∈ A xFy)
10	8, 9	syl6rbbr 255	. . . . . 6 ⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → (y ∈ (F “ A) ↔ ∃x ∈ A y = (F ‘x)))
11	10	imbi1d 308	. . . . 5 ⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → ((y ∈ (F “ A) → y ∈ B) ↔ (∃x ∈ A y = (F ‘x) → y ∈ B)))
12		r19.23v 2731	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ A (y = (F ‘x) → y ∈ B) ↔ (∃x ∈ A y = (F ‘x) → y ∈ B))
13	11, 12	syl6bbr 254	. . . 4 ⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → ((y ∈ (F “ A) → y ∈ B) ↔ ∀x ∈ A (y = (F ‘x) → y ∈ B)))
14	13	albidv 1625	. . 3 ⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → (∀y(y ∈ (F “ A) → y ∈ B) ↔ ∀y∀x ∈ A (y = (F ‘x) → y ∈ B)))
15		ralcom4 2878	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ A ∀y(y = (F ‘x) → y ∈ B) ↔ ∀y∀x ∈ A (y = (F ‘x) → y ∈ B))
16		fvex 5340	. . . . . 6 ⊢ (F ‘x) ∈ V
17		eleq1 2413	. . . . . 6 ⊢ (y = (F ‘x) → (y ∈ B ↔ (F ‘x) ∈ B))
18	16, 17	ceqsalv 2886	. . . . 5 ⊢ (∀y(y = (F ‘x) → y ∈ B) ↔ (F ‘x) ∈ B)
19	18	ralbii 2639	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ A ∀y(y = (F ‘x) → y ∈ B) ↔ ∀x ∈ A (F ‘x) ∈ B)
20	15, 19	bitr3i 242	. . 3 ⊢ (∀y∀x ∈ A (y = (F ‘x) → y ∈ B) ↔ ∀x ∈ A (F ‘x) ∈ B)
21	14, 20	syl6bb 252	. 2 ⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → (∀y(y ∈ (F “ A) → y ∈ B) ↔ ∀x ∈ A (F ‘x) ∈ B))
22	1, 21	syl5bb 248	1 ⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → ((F “ A) ⊆ B ↔ ∀x ∈ A (F ‘x) ∈ B))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∀wral 2615  ∃wrex 2616   ⊆ wss 3258   class class class wbr 4640   “ cima 4723  dom cdm 4773  Fun wfun 4776   ‘cfv 4782

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-fun 4790  df-fn 4791  df-fv 4796

This theorem is used by:  funimass3  5405  funimass5  5406  funconstss  5407  funimassov  5610