Theorem funimass4 5368

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → ((F “ A) ⊆ B ↔ ∀x ∈ A (F ‘x) ∈ B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F

Proof of Theorem funimass4

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3262	. 2 ⊢ ((F “ A) ⊆ B ↔ ∀y(y ∈ (F “ A) → y ∈ B))
2		ssel2 3268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ⊆ dom F ∧ x ∈ A) → x ∈ dom F)
3		eqcom 2355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = (F ‘x) ↔ (F ‘x) = y)
4		funbrfvb 5360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun F ∧ x ∈ dom F) → ((F ‘x) = y ↔ xFy))
5	3, 4	syl5bb 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun F ∧ x ∈ dom F) → (y = (F ‘x) ↔ xFy))
6	2, 5	sylan2 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun F ∧ (A ⊆ dom F ∧ x ∈ A)) → (y = (F ‘x) ↔ xFy))
7	6	anassrs 629	. . . . . . . 8 ⊢ (((Fun F ∧ A ⊆ dom F) ∧ x ∈ A) → (y = (F ‘x) ↔ xFy))
8	7	rexbidva 2631	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → (∃x ∈ A y = (F ‘x) ↔ ∃x ∈ A xFy))
9		elima 4754	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ (F “ A) ↔ ∃x ∈ A xFy)
10	8, 9	syl6rbbr 255	. . . . . 6 ⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → (y ∈ (F “ A) ↔ ∃x ∈ A y = (F ‘x)))
11	10	imbi1d 308	. . . . 5 ⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → ((y ∈ (F “ A) → y ∈ B) ↔ (∃x ∈ A y = (F ‘x) → y ∈ B)))
12		r19.23v 2730	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ A (y = (F ‘x) → y ∈ B) ↔ (∃x ∈ A y = (F ‘x) → y ∈ B))
13	11, 12	syl6bbr 254	. . . 4 ⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → ((y ∈ (F “ A) → y ∈ B) ↔ ∀x ∈ A (y = (F ‘x) → y ∈ B)))
14	13	albidv 1625	. . 3 ⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → (∀y(y ∈ (F “ A) → y ∈ B) ↔ ∀y∀x ∈ A (y = (F ‘x) → y ∈ B)))
15		ralcom4 2877	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ A ∀y(y = (F ‘x) → y ∈ B) ↔ ∀y∀x ∈ A (y = (F ‘x) → y ∈ B))
16		fvex 5339	. . . . . 6 ⊢ (F ‘x) ∈ V
17		eleq1 2413	. . . . . 6 ⊢ (y = (F ‘x) → (y ∈ B ↔ (F ‘x) ∈ B))
18	16, 17	ceqsalv 2885	. . . . 5 ⊢ (∀y(y = (F ‘x) → y ∈ B) ↔ (F ‘x) ∈ B)
19	18	ralbii 2638	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ A ∀y(y = (F ‘x) → y ∈ B) ↔ ∀x ∈ A (F ‘x) ∈ B)
20	15, 19	bitr3i 242	. . 3 ⊢ (∀y∀x ∈ A (y = (F ‘x) → y ∈ B) ↔ ∀x ∈ A (F ‘x) ∈ B)
21	14, 20	syl6bb 252	. 2 ⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → (∀y(y ∈ (F “ A) → y ∈ B) ↔ ∀x ∈ A (F ‘x) ∈ B))
22	1, 21	syl5bb 248	1 ⊢ ((Fun F ∧ A ⊆ dom F) → ((F “ A) ⊆ B ↔ ∀x ∈ A (F ‘x) ∈ B))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∀wral 2614  ∃wrex 2615   ⊆ wss 3257   class class class wbr 4639   “ cima 4722  dom cdm 4772  Fun wfun 4775   ‘cfv 4781

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-fv 4795

This theorem is referenced by:  funimass3  5404  funimass5  5405  funconstss  5406  funimassov  5609