Theorem 1hevtxdg0fi 16753

Description: The vertex degree of vertex D in a finite pseudograph G with only one edge E is 0 if D is not incident with the edge E. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
1hevtxdg0.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1hevtxdg0.a	|- ( ph -> A e. X )
1hevtxdg0.d	|- ( ph -> D e. V )
1hextxdg0fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )
1hextxdg0fi.p	|- ( ph -> G e. UPGraph )
1hevtxdg0.e	|- ( ph -> E e. Y )
1hevtxdg0.n	|- ( ph -> D e/ E )

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg0fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 )

Proof of Theorem 1hevtxdg0fi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hevtxdg0.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e/ E )
2		df-nel 2516	. . . . . . 7 |- ( D e/ E <-> -. D e. E )
3	1, 2	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> -. D e. E )
4		1hevtxdg0.i	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
5	4	fveq1d 5700	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = ( { <. A , E >. } ` A ) )
6		1hevtxdg0.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. X )
7		1hevtxdg0.e	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. Y )
8		fvsng 5914	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ E e. Y ) -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
9	6, 7, 8	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
10	5, 9	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = E )
11	3, 10	neleqtrrd 2337	. . . . 5 |- ( ph -> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) )
12		fveq2 5698	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( (iEdg ` G ) ` x ) = ( (iEdg ` G ) ` A ) )
13	12	eleq2d 2308	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
14	13	notbid 677	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
15	14	ralsng 3749	. . . . . 6 |- ( A e. X -> ( A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
16	6, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
17	11, 16	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
18	4	dmeqd 4985	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , E >. } )
19		dmsnopg 5262	. . . . . 6 |- ( E e. Y -> dom { <. A , E >. } = { A } )
20	7, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom { <. A , E >. } = { A } )
21	18, 20	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
22	17, 21	raleqtrrdv 2759	. . 3 |- ( ph -> A. x e. dom (iEdg ` G ) -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
23		ralnex 2538	. . 3 |- ( A. x e. dom (iEdg ` G ) -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
24	22, 23	sylib 122	. 2 |- ( ph -> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
25		eqid 2238	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
26		eqid 2238	. . 3 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
27		eqid 2238	. . 3 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
28		snfig 7107	. . . . 5 |- ( A e. X -> { A } e. Fin )
29	6, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. Fin )
30	21, 29	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
31		1hevtxdg0.v	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
32		1hextxdg0fi.fi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
33	31, 32	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. Fin )
34		1hevtxdg0.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. V )
35	34, 31	eleqtrrd 2318	. . 3 |- ( ph -> D e. (Vtx ` G ) )
36		1hextxdg0fi.p	. . 3 |- ( ph -> G e. UPGraph )
37	25, 26, 27, 30, 33, 35, 36	vtxd0nedgbfi 16745	. 2 |- ( ph -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 <-> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) ) )
38	24, 37	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   e/ wnel 2515   A.wral 2528   E.wrex 2529   {csn 3709   <.cop 3712   dom cdm 4776   ` cfv 5380   Fincfn 7026   0cc0 8185  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  UPGraphcupgr 16537  VtxDegcvtxdg 16732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-xadd 10192  df-fz 10429  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-upgren 16539  df-vtxdg 16733

This theorem is used by:  p1evtxdeqfi  16758  eupth2lem3lem6fi  16917