Theorem 1hevtxdg0fi 16231

Description: The vertex degree of vertex D in a finite pseudograph G with only one edge E is 0 if D is not incident with the edge E. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
1hevtxdg0.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1hevtxdg0.a	|- ( ph -> A e. X )
1hevtxdg0.d	|- ( ph -> D e. V )
1hextxdg0fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )
1hextxdg0fi.p	|- ( ph -> G e. UPGraph )
1hevtxdg0.e	|- ( ph -> E e. Y )
1hevtxdg0.n	|- ( ph -> D e/ E )

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg0fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 )

Proof of Theorem 1hevtxdg0fi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hevtxdg0.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e/ E )
2		df-nel 2499	. . . . . . 7 |- ( D e/ E <-> -. D e. E )
3	1, 2	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> -. D e. E )
4		1hevtxdg0.i	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
5	4	fveq1d 5650	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = ( { <. A , E >. } ` A ) )
6		1hevtxdg0.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. X )
7		1hevtxdg0.e	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. Y )
8		fvsng 5858	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ E e. Y ) -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
10	5, 9	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = E )
11	3, 10	neleqtrrd 2330	. . . . 5 |- ( ph -> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) )
12		fveq2 5648	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( (iEdg ` G ) ` x ) = ( (iEdg ` G ) ` A ) )
13	12	eleq2d 2301	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
14	13	notbid 673	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
15	14	ralsng 3713	. . . . . 6 |- ( A e. X -> ( A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
16	6, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
17	11, 16	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
18	4	dmeqd 4939	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , E >. } )
19		dmsnopg 5215	. . . . . 6 |- ( E e. Y -> dom { <. A , E >. } = { A } )
20	7, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom { <. A , E >. } = { A } )
21	18, 20	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
22	17, 21	raleqtrrdv 2741	. . 3 |- ( ph -> A. x e. dom (iEdg ` G ) -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
23		ralnex 2521	. . 3 |- ( A. x e. dom (iEdg ` G ) -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
24	22, 23	sylib 122	. 2 |- ( ph -> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
25		eqid 2231	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
26		eqid 2231	. . 3 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
27		eqid 2231	. . 3 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
28		snfig 7032	. . . . 5 |- ( A e. X -> { A } e. Fin )
29	6, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. Fin )
30	21, 29	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
31		1hevtxdg0.v	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
32		1hextxdg0fi.fi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
33	31, 32	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. Fin )
34		1hevtxdg0.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. V )
35	34, 31	eleqtrrd 2311	. . 3 |- ( ph -> D e. (Vtx ` G ) )
36		1hextxdg0fi.p	. . 3 |- ( ph -> G e. UPGraph )
37	25, 26, 27, 30, 33, 35, 36	vtxd0nedgbfi 16223	. 2 |- ( ph -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 <-> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) ) )
38	24, 37	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   e/ wnel 2498   A.wral 2511   E.wrex 2512   {csn 3673   <.cop 3676   dom cdm 4731   ` cfv 5333   Fincfn 6952   0cc0 8075  Vtxcvtx 15936  iEdgciedg 15937  UPGraphcupgr 16015  VtxDegcvtxdg 16210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-xadd 10052  df-fz 10289  df-ihash 11084  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938  df-iedg 15939  df-upgren 16017  df-vtxdg 16211

This theorem is referenced by:  p1evtxdeqfi  16236  eupth2lem3lem6fi  16395