Theorem 1hevtxdg0fi 16177

Description: The vertex degree of vertex D in a finite pseudograph G with only one edge E is 0 if D is not incident with the edge E. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
1hevtxdg0.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1hevtxdg0.a	|- ( ph -> A e. X )
1hevtxdg0.d	|- ( ph -> D e. V )
1hextxdg0fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )
1hextxdg0fi.p	|- ( ph -> G e. UPGraph )
1hevtxdg0.e	|- ( ph -> E e. Y )
1hevtxdg0.n	|- ( ph -> D e/ E )

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg0fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 )

Proof of Theorem 1hevtxdg0fi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hevtxdg0.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e/ E )
2		df-nel 2498	. . . . . . 7 |- ( D e/ E <-> -. D e. E )
3	1, 2	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> -. D e. E )
4		1hevtxdg0.i	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
5	4	fveq1d 5641	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = ( { <. A , E >. } ` A ) )
6		1hevtxdg0.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. X )
7		1hevtxdg0.e	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. Y )
8		fvsng 5850	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ E e. Y ) -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
10	5, 9	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = E )
11	3, 10	neleqtrrd 2330	. . . . 5 |- ( ph -> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) )
12		fveq2 5639	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( (iEdg ` G ) ` x ) = ( (iEdg ` G ) ` A ) )
13	12	eleq2d 2301	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
14	13	notbid 673	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
15	14	ralsng 3709	. . . . . 6 |- ( A e. X -> ( A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
16	6, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
17	11, 16	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
18	4	dmeqd 4933	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , E >. } )
19		dmsnopg 5208	. . . . . 6 |- ( E e. Y -> dom { <. A , E >. } = { A } )
20	7, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom { <. A , E >. } = { A } )
21	18, 20	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
22	17, 21	raleqtrrdv 2740	. . 3 |- ( ph -> A. x e. dom (iEdg ` G ) -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
23		ralnex 2520	. . 3 |- ( A. x e. dom (iEdg ` G ) -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
24	22, 23	sylib 122	. 2 |- ( ph -> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
25		eqid 2231	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
26		eqid 2231	. . 3 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
27		eqid 2231	. . 3 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
28		snfig 6989	. . . . 5 |- ( A e. X -> { A } e. Fin )
29	6, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. Fin )
30	21, 29	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
31		1hevtxdg0.v	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
32		1hextxdg0fi.fi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
33	31, 32	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. Fin )
34		1hevtxdg0.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. V )
35	34, 31	eleqtrrd 2311	. . 3 |- ( ph -> D e. (Vtx ` G ) )
36		1hextxdg0fi.p	. . 3 |- ( ph -> G e. UPGraph )
37	25, 26, 27, 30, 33, 35, 36	vtxd0nedgbfi 16169	. 2 |- ( ph -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 <-> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) ) )
38	24, 37	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   e/ wnel 2497   A.wral 2510   E.wrex 2511   {csn 3669   <.cop 3672   dom cdm 4725   ` cfv 5326   Fincfn 6909   0cc0 8032  Vtxcvtx 15882  iEdgciedg 15883  UPGraphcupgr 15961  VtxDegcvtxdg 16156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-xadd 10008  df-fz 10244  df-ihash 11039  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-edgf 15875  df-vtx 15884  df-iedg 15885  df-upgren 15963  df-vtxdg 16157

This theorem is referenced by:  p1evtxdeqfi  16182  eupth2lem3lem6fi  16341