Theorem 1hevtxdg0fi 16548

Description: The vertex degree of vertex D in a finite pseudograph G with only one edge E is 0 if D is not incident with the edge E. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
1hevtxdg0.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1hevtxdg0.a	|- ( ph -> A e. X )
1hevtxdg0.d	|- ( ph -> D e. V )
1hextxdg0fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )
1hextxdg0fi.p	|- ( ph -> G e. UPGraph )
1hevtxdg0.e	|- ( ph -> E e. Y )
1hevtxdg0.n	|- ( ph -> D e/ E )

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg0fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 )

Proof of Theorem 1hevtxdg0fi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hevtxdg0.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e/ E )
2		df-nel 2516	. . . . . . 7 |- ( D e/ E <-> -. D e. E )
3	1, 2	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> -. D e. E )
4		1hevtxdg0.i	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
5	4	fveq1d 5697	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = ( { <. A , E >. } ` A ) )
6		1hevtxdg0.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. X )
7		1hevtxdg0.e	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. Y )
8		fvsng 5911	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ E e. Y ) -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
9	6, 7, 8	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
10	5, 9	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = E )
11	3, 10	neleqtrrd 2337	. . . . 5 |- ( ph -> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) )
12		fveq2 5695	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( (iEdg ` G ) ` x ) = ( (iEdg ` G ) ` A ) )
13	12	eleq2d 2308	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
14	13	notbid 677	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
15	14	ralsng 3749	. . . . . 6 |- ( A e. X -> ( A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
16	6, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
17	11, 16	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
18	4	dmeqd 4983	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , E >. } )
19		dmsnopg 5259	. . . . . 6 |- ( E e. Y -> dom { <. A , E >. } = { A } )
20	7, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom { <. A , E >. } = { A } )
21	18, 20	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
22	17, 21	raleqtrrdv 2759	. . 3 |- ( ph -> A. x e. dom (iEdg ` G ) -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
23		ralnex 2538	. . 3 |- ( A. x e. dom (iEdg ` G ) -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
24	22, 23	sylib 122	. 2 |- ( ph -> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
25		eqid 2238	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
26		eqid 2238	. . 3 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
27		eqid 2238	. . 3 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
28		snfig 7103	. . . . 5 |- ( A e. X -> { A } e. Fin )
29	6, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. Fin )
30	21, 29	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
31		1hevtxdg0.v	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
32		1hextxdg0fi.fi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
33	31, 32	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. Fin )
34		1hevtxdg0.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. V )
35	34, 31	eleqtrrd 2318	. . 3 |- ( ph -> D e. (Vtx ` G ) )
36		1hextxdg0fi.p	. . 3 |- ( ph -> G e. UPGraph )
37	25, 26, 27, 30, 33, 35, 36	vtxd0nedgbfi 16540	. 2 |- ( ph -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 <-> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) ) )
38	24, 37	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   e/ wnel 2515   A.wral 2528   E.wrex 2529   {csn 3709   <.cop 3712   dom cdm 4774   ` cfv 5377   Fincfn 7022   0cc0 8179  Vtxcvtx 16253  iEdgciedg 16254  UPGraphcupgr 16332  VtxDegcvtxdg 16527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-xadd 10175  df-fz 10412  df-ihash 11215  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-upgren 16334  df-vtxdg 16528

This theorem is used by:  p1evtxdeqfi  16553  eupth2lem3lem6fi  16712