Theorem 1hevtxdg1en 16429

Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a multigraph 𝐺 with only one edge 𝐸 is 1 if 𝐷 is incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hevtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1hextxdg0fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
1hevtxdg1en.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
1hevtxdg1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hevtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐸)
1hevtxdg1en.l	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg1en	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Proof of Theorem 1hevtxdg1en

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2234	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		eqid 2234	. . 3 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
4		eqid 2234	. . 3 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
5		1hevtxdg1en.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
6		1hevtxdg0.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
7		1hevtxdg0.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
8	6, 7	eleqtrrd 2314	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
9		1hevtxdg0.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
10	9	dmeqd 4963	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
11		1hevtxdg1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
12		dmsnopg 5239	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
14	10, 13	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
15		1hevtxdg0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		snfig 7069	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ∈ Fin)
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
18	14, 17	eqeltrd 2311	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
19		1hextxdg0fi.fi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
20	7, 19	eqeltrd 2311	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
21	1, 2, 3, 4, 5, 8, 18, 20	vtxdumgrfival 16419	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
22	14	rabeqdv 2809	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
23	22	fveq2d 5679	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
24		fveq2 5675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
25	24	eleq2d 2304	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
26	25	rabsnif 3763	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅)
27		1hevtxdg1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐸)
28	9	fveq1d 5677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
29		fvsng 5885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
30	15, 11, 29	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
31	28, 30	eqtrd 2267	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
32	27, 31	eleqtrrd 2314	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
33	32	iftrued 3633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅) = {𝐴})
34	26, 33	eqtrid 2279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝐴})
35	34	fveq2d 5679	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝐴}))
36		hashsng 11186	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
37	15, 36	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
38	35, 37	eqtrd 2267	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
39	21, 23, 38	3eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526  ∅c0 3512  ifcif 3624  𝒫 cpw 3674  {csn 3694  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114  dom cdm 4754  ‘cfv 5357  2_oc2o 6654   ≈ cen 6986  Fincfn 6988  1c1 8144  ♯chash 11163  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  UMGraphcumgr 16213  VtxDegcvtxdg 16407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-xadd 10125  df-fz 10362  df-ihash 11164  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-upgren 16214  df-umgren 16215  df-vtxdg 16408

This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1fi  16430  p1evtxdp1fi  16434