Theorem 1hevtxdg1en 16549

Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a multigraph 𝐺 with only one edge 𝐸 is 1 if 𝐷 is incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hevtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1hextxdg0fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
1hevtxdg1en.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
1hevtxdg1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hevtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐸)
1hevtxdg1en.l	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg1en	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Proof of Theorem 1hevtxdg1en

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
4		eqid 2238	. . 3 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
5		1hevtxdg1en.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
6		1hevtxdg0.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
7		1hevtxdg0.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
8	6, 7	eleqtrrd 2318	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
9		1hevtxdg0.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
10	9	dmeqd 4983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
11		1hevtxdg1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
12		dmsnopg 5259	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
14	10, 13	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
15		1hevtxdg0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		snfig 7103	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ∈ Fin)
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
18	14, 17	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
19		1hextxdg0fi.fi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
20	7, 19	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
21	1, 2, 3, 4, 5, 8, 18, 20	vtxdumgrfival 16539	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
22	14	rabeqdv 2815	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
23	22	fveq2d 5699	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
24		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
25	24	eleq2d 2308	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
26	25	rabsnif 3778	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅)
27		1hevtxdg1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐸)
28	9	fveq1d 5697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
29		fvsng 5911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
30	15, 11, 29	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
31	28, 30	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
32	27, 31	eleqtrrd 2318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
33	32	iftrued 3647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅) = {𝐴})
34	26, 33	eqtrid 2283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝐴})
35	34	fveq2d 5699	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝐴}))
36		hashsng 11237	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
37	15, 36	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
38	35, 37	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
39	21, 23, 38	3eqtrd 2275	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  ∅c0 3520  ifcif 3638  𝒫 cpw 3688  {csn 3709  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  dom cdm 4774  ‘cfv 5377  2_oc2o 6681   ≈ cen 7020  Fincfn 7022  1c1 8180  ♯chash 11214  Vtxcvtx 16253  iEdgciedg 16254  UMGraphcumgr 16333  VtxDegcvtxdg 16527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-xadd 10175  df-fz 10412  df-ihash 11215  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-upgren 16334  df-umgren 16335  df-vtxdg 16528

This theorem is used by:  1hegrvtxdg1fi  16550  p1evtxdp1fi  16554