Theorem 1hevtxdg1en 16186

Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a multigraph 𝐺 with only one edge 𝐸 is 1 if 𝐷 is incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hevtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1hextxdg0fi.fi	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
1hevtxdg1en.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
1hevtxdg1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hevtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐸)
1hevtxdg1en.l	⊢ (𝜑 → 𝐸 ≈ 2o)

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg1en	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Proof of Theorem 1hevtxdg1en

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2231	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		eqid 2231	. . 3 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
4		eqid 2231	. . 3 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
5		1hevtxdg1en.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
6		1hevtxdg0.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
7		1hevtxdg0.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
8	6, 7	eleqtrrd 2311	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
9		1hevtxdg0.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
10	9	dmeqd 4933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
11		1hevtxdg1.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
12		dmsnopg 5208	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
14	10, 13	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
15		1hevtxdg0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		snfig 6992	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ∈ Fin)
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
18	14, 17	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) ∈ Fin)
19		1hextxdg0fi.fi	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
20	7, 19	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
21	1, 2, 3, 4, 5, 8, 18, 20	vtxdumgrfival 16176	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
22	14	rabeqdv 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
23	22	fveq2d 5644	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
24		fveq2 5640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
25	24	eleq2d 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
26	25	rabsnif 3738	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅)
27		1hevtxdg1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐸)
28	9	fveq1d 5642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
29		fvsng 5851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
30	15, 11, 29	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
31	28, 30	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
32	27, 31	eleqtrrd 2311	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
33	32	iftrued 3612	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅) = {𝐴})
34	26, 33	eqtrid 2276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝐴})
35	34	fveq2d 5644	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝐴}))
36		hashsng 11064	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
37	15, 36	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
38	35, 37	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
39	21, 23, 38	3eqtrd 2268	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514  ∅c0 3494  ifcif 3605  𝒫 cpw 3652  {csn 3669  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ‘cfv 5326  2_oc2o 6579   ≈ cen 6910  Fincfn 6912  1c1 8036  ♯chash 11041  Vtxcvtx 15890  iEdgciedg 15891  UMGraphcumgr 15970  VtxDegcvtxdg 16164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-recs 6474  df-frec 6560  df-1o 6585  df-2o 6586  df-er 6705  df-en 6913  df-dom 6914  df-fin 6915  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-7 9210  df-8 9211  df-9 9212  df-n0 9406  df-z 9483  df-dec 9615  df-uz 9759  df-xadd 10011  df-fz 10247  df-ihash 11042  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-edgf 15883  df-vtx 15892  df-iedg 15893  df-upgren 15971  df-umgren 15972  df-vtxdg 16165

This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1fi  16187  p1evtxdp1fi  16191