Theorem 6gcd4e2 12135

Description: The greatest common divisor of six and four is two. To calculate this gcd, a simple form of Euclid's algorithm is used: ( 6 gcd 4 ) = ( ( 4 + 2 ) gcd 4 ) = ( 2 gcd 4 ) and ( 2 gcd 4 ) = ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) = ( 2 gcd 2 ) = 2. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6gcd4e2	|- ( 6 gcd 4 ) = 2

Proof of Theorem 6gcd4e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 9150	. . . 4 |- 6 e. NN
2	1	nnzi 9341	. . 3 |- 6 e. ZZ
3		4z 9350	. . 3 |- 4 e. ZZ
4		gcdcom 12113	. . 3 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) = ( 4 gcd 6 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 |- ( 6 gcd 4 ) = ( 4 gcd 6 )
6		4cn 9062	. . . 4 |- 4 e. CC
7		2cn 9055	. . . 4 |- 2 e. CC
8		4p2e6 9128	. . . 4 |- ( 4 + 2 ) = 6
9	6, 7, 8	addcomli 8166	. . 3 |- ( 2 + 4 ) = 6
10	9	oveq2i 5930	. 2 |- ( 4 gcd ( 2 + 4 ) ) = ( 4 gcd 6 )
11		2z 9348	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
12		gcdadd 12125	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( 2 gcd 2 ) = ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) )
13	11, 11, 12	mp2an 426	. . . 4 |- ( 2 gcd 2 ) = ( 2 gcd ( 2 + 2 ) )
14		2p2e4 9111	. . . . . 6 |- ( 2 + 2 ) = 4
15	14	oveq2i 5930	. . . . 5 |- ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) = ( 2 gcd 4 )
16		gcdcom 12113	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 2 gcd 4 ) = ( 4 gcd 2 ) )
17	11, 3, 16	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 2 gcd 4 ) = ( 4 gcd 2 )
18	15, 17	eqtri 2214	. . . 4 |- ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) = ( 4 gcd 2 )
19	13, 18	eqtri 2214	. . 3 |- ( 2 gcd 2 ) = ( 4 gcd 2 )
20		gcdid 12126	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 gcd 2 ) = ( abs ` 2 ) )
21	11, 20	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 2 gcd 2 ) = ( abs ` 2 )
22		2re 9054	. . . . 5 |- 2 e. RR
23		0le2 9074	. . . . 5 |- 0 <_ 2
24		absid 11218	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
25	22, 23, 24	mp2an 426	. . . 4 |- ( abs ` 2 ) = 2
26	21, 25	eqtri 2214	. . 3 |- ( 2 gcd 2 ) = 2
27		gcdadd 12125	. . . 4 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( 4 gcd 2 ) = ( 4 gcd ( 2 + 4 ) ) )
28	3, 11, 27	mp2an 426	. . 3 |- ( 4 gcd 2 ) = ( 4 gcd ( 2 + 4 ) )
29	19, 26, 28	3eqtr3ri 2223	. 2 |- ( 4 gcd ( 2 + 4 ) ) = 2
30	5, 10, 29	3eqtr2i 2220	1 |- ( 6 gcd 4 ) = 2

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   RRcr 7873   0cc0 7874   + caddc 7877   <_ cle 8057   2c2 9035   4c4 9037   6c6 9039   ZZcz 9320   abscabs 11144   gcd cgcd 12082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-sup 7045  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-fl 10342  df-mod 10397  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-dvds 11934  df-gcd 12083

This theorem is referenced by:  6lcm4e12  12228