Theorem 6gcd4e2 11427

Description: The greatest common divisor of six and four is two. To calculate this gcd, a simple form of Euclid's algorithm is used: ( 6 gcd 4 ) = ( ( 4 + 2 ) gcd 4 ) = ( 2 gcd 4 ) and ( 2 gcd 4 ) = ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) = ( 2 gcd 2 ) = 2. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6gcd4e2	|- ( 6 gcd 4 ) = 2

Proof of Theorem 6gcd4e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 8679	. . . 4 |- 6 e. NN
2	1	nnzi 8869	. . 3 |- 6 e. ZZ
3		4z 8878	. . 3 |- 4 e. ZZ
4		gcdcom 11408	. . 3 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) = ( 4 gcd 6 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 418	. 2 |- ( 6 gcd 4 ) = ( 4 gcd 6 )
6		4cn 8598	. . . 4 |- 4 e. CC
7		2cn 8591	. . . 4 |- 2 e. CC
8		4p2e6 8657	. . . 4 |- ( 4 + 2 ) = 6
9	6, 7, 8	addcomli 7724	. . 3 |- ( 2 + 4 ) = 6
10	9	oveq2i 5701	. 2 |- ( 4 gcd ( 2 + 4 ) ) = ( 4 gcd 6 )
11		2z 8876	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
12		gcdadd 11419	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( 2 gcd 2 ) = ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) )
13	11, 11, 12	mp2an 418	. . . 4 |- ( 2 gcd 2 ) = ( 2 gcd ( 2 + 2 ) )
14		2p2e4 8641	. . . . . 6 |- ( 2 + 2 ) = 4
15	14	oveq2i 5701	. . . . 5 |- ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) = ( 2 gcd 4 )
16		gcdcom 11408	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 2 gcd 4 ) = ( 4 gcd 2 ) )
17	11, 3, 16	mp2an 418	. . . . 5 |- ( 2 gcd 4 ) = ( 4 gcd 2 )
18	15, 17	eqtri 2115	. . . 4 |- ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) = ( 4 gcd 2 )
19	13, 18	eqtri 2115	. . 3 |- ( 2 gcd 2 ) = ( 4 gcd 2 )
20		gcdid 11420	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 gcd 2 ) = ( abs ` 2 ) )
21	11, 20	ax-mp 7	. . . 4 |- ( 2 gcd 2 ) = ( abs ` 2 )
22		2re 8590	. . . . 5 |- 2 e. RR
23		0le2 8610	. . . . 5 |- 0 <_ 2
24		absid 10635	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
25	22, 23, 24	mp2an 418	. . . 4 |- ( abs ` 2 ) = 2
26	21, 25	eqtri 2115	. . 3 |- ( 2 gcd 2 ) = 2
27		gcdadd 11419	. . . 4 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( 4 gcd 2 ) = ( 4 gcd ( 2 + 4 ) ) )
28	3, 11, 27	mp2an 418	. . 3 |- ( 4 gcd 2 ) = ( 4 gcd ( 2 + 4 ) )
29	19, 26, 28	3eqtr3ri 2124	. 2 |- ( 4 gcd ( 2 + 4 ) ) = 2
30	5, 10, 29	3eqtr2i 2121	1 |- ( 6 gcd 4 ) = 2

Syntax hints:   = wceq 1296   e. wcel 1445   class class class wbr 3867   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   RRcr 7446   0cc0 7447   + caddc 7450   <_ cle 7620   2c2 8571   4c4 8573   6c6 8575   ZZcz 8848   abscabs 10561   gcd cgcd 11381

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-sup 6759  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-5 8582  df-6 8583  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-fl 9826  df-mod 9879  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563  df-dvds 11240  df-gcd 11382

This theorem is referenced by:  6lcm4e12  11512