Theorem 6gcd4e2 12013

Description: The greatest common divisor of six and four is two. To calculate this gcd, a simple form of Euclid's algorithm is used: ( 6 gcd 4 ) = ( ( 4 + 2 ) gcd 4 ) = ( 2 gcd 4 ) and ( 2 gcd 4 ) = ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) = ( 2 gcd 2 ) = 2. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6gcd4e2	|- ( 6 gcd 4 ) = 2

Proof of Theorem 6gcd4e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 9101	. . . 4 |- 6 e. NN
2	1	nnzi 9291	. . 3 |- 6 e. ZZ
3		4z 9300	. . 3 |- 4 e. ZZ
4		gcdcom 11991	. . 3 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 4 ) = ( 4 gcd 6 ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 |- ( 6 gcd 4 ) = ( 4 gcd 6 )
6		4cn 9014	. . . 4 |- 4 e. CC
7		2cn 9007	. . . 4 |- 2 e. CC
8		4p2e6 9079	. . . 4 |- ( 4 + 2 ) = 6
9	6, 7, 8	addcomli 8119	. . 3 |- ( 2 + 4 ) = 6
10	9	oveq2i 5901	. 2 |- ( 4 gcd ( 2 + 4 ) ) = ( 4 gcd 6 )
11		2z 9298	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
12		gcdadd 12003	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( 2 gcd 2 ) = ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) )
13	11, 11, 12	mp2an 426	. . . 4 |- ( 2 gcd 2 ) = ( 2 gcd ( 2 + 2 ) )
14		2p2e4 9063	. . . . . 6 |- ( 2 + 2 ) = 4
15	14	oveq2i 5901	. . . . 5 |- ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) = ( 2 gcd 4 )
16		gcdcom 11991	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( 2 gcd 4 ) = ( 4 gcd 2 ) )
17	11, 3, 16	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 2 gcd 4 ) = ( 4 gcd 2 )
18	15, 17	eqtri 2209	. . . 4 |- ( 2 gcd ( 2 + 2 ) ) = ( 4 gcd 2 )
19	13, 18	eqtri 2209	. . 3 |- ( 2 gcd 2 ) = ( 4 gcd 2 )
20		gcdid 12004	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 gcd 2 ) = ( abs ` 2 ) )
21	11, 20	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 2 gcd 2 ) = ( abs ` 2 )
22		2re 9006	. . . . 5 |- 2 e. RR
23		0le2 9026	. . . . 5 |- 0 <_ 2
24		absid 11097	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
25	22, 23, 24	mp2an 426	. . . 4 |- ( abs ` 2 ) = 2
26	21, 25	eqtri 2209	. . 3 |- ( 2 gcd 2 ) = 2
27		gcdadd 12003	. . . 4 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( 4 gcd 2 ) = ( 4 gcd ( 2 + 4 ) ) )
28	3, 11, 27	mp2an 426	. . 3 |- ( 4 gcd 2 ) = ( 4 gcd ( 2 + 4 ) )
29	19, 26, 28	3eqtr3ri 2218	. 2 |- ( 4 gcd ( 2 + 4 ) ) = 2
30	5, 10, 29	3eqtr2i 2215	1 |- ( 6 gcd 4 ) = 2

Syntax hints:   = wceq 1363   e. wcel 2159   class class class wbr 4017   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   RRcr 7827   0cc0 7828   + caddc 7831   <_ cle 8010   2c2 8987   4c4 8989   6c6 8991   ZZcz 9270   abscabs 11023   gcd cgcd 11960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947  ax-caucvg 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-sup 7000  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-q 9637  df-rp 9671  df-fz 10026  df-fzo 10160  df-fl 10287  df-mod 10340  df-seqfrec 10463  df-exp 10537  df-cj 10868  df-re 10869  df-im 10870  df-rsqrt 11024  df-abs 11025  df-dvds 11812  df-gcd 11961

This theorem is referenced by:  6lcm4e12  12104