Theorem 6gcd4e2 12587

Description: The greatest common divisor of six and four is two. To calculate this gcd, a simple form of Euclid's algorithm is used: (6 gcd 4) = ((4 + 2) gcd 4) = (2 gcd 4) and (2 gcd 4) = (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 2) = 2. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6gcd4e2	⊢ (6 gcd 4) = 2

Proof of Theorem 6gcd4e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 9312	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9503	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		4z 9512	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
4		gcdcom 12565	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) = (4 gcd 6))
5	2, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (6 gcd 4) = (4 gcd 6)
6		4cn 9224	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		2cn 9217	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		4p2e6 9290	. . . 4 ⊢ (4 + 2) = 6
9	6, 7, 8	addcomli 8327	. . 3 ⊢ (2 + 4) = 6
10	9	oveq2i 6032	. 2 ⊢ (4 gcd (2 + 4)) = (4 gcd 6)
11		2z 9510	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		gcdadd 12577	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2)))
13	11, 11, 12	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2))
14		2p2e4 9273	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
15	14	oveq2i 6032	. . . . 5 ⊢ (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 4)
16		gcdcom 12565	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (2 gcd 4) = (4 gcd 2))
17	11, 3, 16	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (2 gcd 4) = (4 gcd 2)
18	15, 17	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ (2 gcd (2 + 2)) = (4 gcd 2)
19	13, 18	eqtri 2252	. . 3 ⊢ (2 gcd 2) = (4 gcd 2)
20		gcdid 12578	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2 gcd 2) = (abs‘2))
21	11, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2 gcd 2) = (abs‘2)
22		2re 9216	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		0le2 9236	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
24		absid 11652	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
25	22, 23, 24	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (abs‘2) = 2
26	21, 25	eqtri 2252	. . 3 ⊢ (2 gcd 2) = 2
27		gcdadd 12577	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4)))
28	3, 11, 27	mp2an 426	. . 3 ⊢ (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4))
29	19, 26, 28	3eqtr3ri 2261	. 2 ⊢ (4 gcd (2 + 4)) = 2
30	5, 10, 29	3eqtr2i 2258	1 ⊢ (6 gcd 4) = 2

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6021  ℝcr 8034  0cc0 8035   + caddc 8038   ≤ cle 8218  2c2 9197  4c4 9199  6c6 9201  ℤcz 9482  abscabs 11578   gcd cgcd 12545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-mulrcl 8134  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-precex 8145  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151  ax-pre-mulgt0 8152  ax-pre-mulext 8153  ax-arch 8154  ax-caucvg 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-recs 6474  df-frec 6560  df-sup 7186  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-reap 8758  df-ap 8765  df-div 8856  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759  df-q 9857  df-rp 9892  df-fz 10247  df-fzo 10381  df-fl 10534  df-mod 10589  df-seqfrec 10714  df-exp 10805  df-cj 11423  df-re 11424  df-im 11425  df-rsqrt 11579  df-abs 11580  df-dvds 12370  df-gcd 12546

This theorem is referenced by:  6lcm4e12  12680