Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  6gcd4e2 GIF version

Theorem 6gcd4e2 11694
 Description: The greatest common divisor of six and four is two. To calculate this gcd, a simple form of Euclid's algorithm is used: (6 gcd 4) = ((4 + 2) gcd 4) = (2 gcd 4) and (2 gcd 4) = (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 2) = 2. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
6gcd4e2 (6 gcd 4) = 2

Proof of Theorem 6gcd4e2
StepHypRef Expression
1 6nn 8897 . . . 4 6 ∈ ℕ
21nnzi 9087 . . 3 6 ∈ ℤ
3 4z 9096 . . 3 4 ∈ ℤ
4 gcdcom 11673 . . 3 ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) = (4 gcd 6))
52, 3, 4mp2an 422 . 2 (6 gcd 4) = (4 gcd 6)
6 4cn 8810 . . . 4 4 ∈ ℂ
7 2cn 8803 . . . 4 2 ∈ ℂ
8 4p2e6 8875 . . . 4 (4 + 2) = 6
96, 7, 8addcomli 7919 . . 3 (2 + 4) = 6
109oveq2i 5785 . 2 (4 gcd (2 + 4)) = (4 gcd 6)
11 2z 9094 . . . . 5 2 ∈ ℤ
12 gcdadd 11684 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2)))
1311, 11, 12mp2an 422 . . . 4 (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2))
14 2p2e4 8859 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
1514oveq2i 5785 . . . . 5 (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 4)
16 gcdcom 11673 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (2 gcd 4) = (4 gcd 2))
1711, 3, 16mp2an 422 . . . . 5 (2 gcd 4) = (4 gcd 2)
1815, 17eqtri 2160 . . . 4 (2 gcd (2 + 2)) = (4 gcd 2)
1913, 18eqtri 2160 . . 3 (2 gcd 2) = (4 gcd 2)
20 gcdid 11685 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → (2 gcd 2) = (abs‘2))
2111, 20ax-mp 5 . . . 4 (2 gcd 2) = (abs‘2)
22 2re 8802 . . . . 5 2 ∈ ℝ
23 0le2 8822 . . . . 5 0 ≤ 2
24 absid 10855 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
2522, 23, 24mp2an 422 . . . 4 (abs‘2) = 2
2621, 25eqtri 2160 . . 3 (2 gcd 2) = 2
27 gcdadd 11684 . . . 4 ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4)))
283, 11, 27mp2an 422 . . 3 (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4))
2919, 26, 283eqtr3ri 2169 . 2 (4 gcd (2 + 4)) = 2
305, 10, 293eqtr2i 2166 1 (6 gcd 4) = 2
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7631  0cc0 7632   + caddc 7635   ≤ cle 7813  2c2 8783  4c4 8785  6c6 8787  ℤcz 9066  abscabs 10781   gcd cgcd 11646 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-5 8794  df-6 8795  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-fl 10055  df-mod 10108  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-dvds 11505  df-gcd 11647 This theorem is referenced by:  6lcm4e12  11779
 Copyright terms: Public domain W3C validator