Theorem 6gcd4e2 11719

Description: The greatest common divisor of six and four is two. To calculate this gcd, a simple form of Euclid's algorithm is used: (6 gcd 4) = ((4 + 2) gcd 4) = (2 gcd 4) and (2 gcd 4) = (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 2) = 2. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
6gcd4e2	⊢ (6 gcd 4) = 2

Proof of Theorem 6gcd4e2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 8909	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9099	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		4z 9108	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℤ
4		gcdcom 11698	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (6 gcd 4) = (4 gcd 6))
5	2, 3, 4	mp2an 423	. 2 ⊢ (6 gcd 4) = (4 gcd 6)
6		4cn 8822	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℂ
7		2cn 8815	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
8		4p2e6 8887	. . . 4 ⊢ (4 + 2) = 6
9	6, 7, 8	addcomli 7931	. . 3 ⊢ (2 + 4) = 6
10	9	oveq2i 5793	. 2 ⊢ (4 gcd (2 + 4)) = (4 gcd 6)
11		2z 9106	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		gcdadd 11709	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2)))
13	11, 11, 12	mp2an 423	. . . 4 ⊢ (2 gcd 2) = (2 gcd (2 + 2))
14		2p2e4 8871	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
15	14	oveq2i 5793	. . . . 5 ⊢ (2 gcd (2 + 2)) = (2 gcd 4)
16		gcdcom 11698	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (2 gcd 4) = (4 gcd 2))
17	11, 3, 16	mp2an 423	. . . . 5 ⊢ (2 gcd 4) = (4 gcd 2)
18	15, 17	eqtri 2161	. . . 4 ⊢ (2 gcd (2 + 2)) = (4 gcd 2)
19	13, 18	eqtri 2161	. . 3 ⊢ (2 gcd 2) = (4 gcd 2)
20		gcdid 11710	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2 gcd 2) = (abs‘2))
21	11, 20	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2 gcd 2) = (abs‘2)
22		2re 8814	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
23		0le2 8834	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
24		absid 10875	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
25	22, 23, 24	mp2an 423	. . . 4 ⊢ (abs‘2) = 2
26	21, 25	eqtri 2161	. . 3 ⊢ (2 gcd 2) = 2
27		gcdadd 11709	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4)))
28	3, 11, 27	mp2an 423	. . 3 ⊢ (4 gcd 2) = (4 gcd (2 + 4))
29	19, 26, 28	3eqtr3ri 2170	. 2 ⊢ (4 gcd (2 + 4)) = 2
30	5, 10, 29	3eqtr2i 2167	1 ⊢ (6 gcd 4) = 2

Syntax hints:   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℝcr 7643  0cc0 7644   + caddc 7647   ≤ cle 7825  2c2 8795  4c4 8797  6c6 8799  ℤcz 9078  abscabs 10801   gcd cgcd 11671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-sup 6879  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-dvds 11530  df-gcd 11672

This theorem is referenced by:  6lcm4e12  11804