ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcmax Unicode version
Theorem bcmax 16125
Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcmax |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) _C K ) <_ ( ( 2 x. N ) _C N ) )
Proof of Theorem bcmax
StepHypRef Expression
1 2nn0 9582 . . . 4 |- 2 e. NN0
2 simpll 531 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. NN0 )
3 nn0mulcl 9601 . . . 4 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
41, 2, 3sylancr 418 . . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
5 simpr 110 . . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
6 nn0re 9574 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
76leidd 8842 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N <_ N )
8 nn0cn 9575 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
9 2cn 9376 . . . . . . 7 |- 2 e. CC
10 2ap0 9398 . . . . . . 7 |- 2 # 0
11 divcanap3 9029 . . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
129, 10, 11mp3an23 1370 . . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
138, 12syl 14 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
147, 13breqtrrd 4158 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> N <_ ( ( 2 x. N ) / 2 ) )
152, 14syl 14 . . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N <_ ( ( 2 x. N ) / 2 ) )
16 bcmono 16124 . . 3 |- ( ( ( 2 x. N ) e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) /\ N <_ ( ( 2 x. N ) / 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C K ) <_ ( ( 2 x. N ) _C N ) )
174, 5, 15, 16syl3anc 1278 . 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C K ) <_ ( ( 2 x. N ) _C N ) )
18 simpll 531 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. NN0 )
191, 18, 3sylancr 418 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
20 simplr 533 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K e. ZZ )
21 bccmpl 11194 . . . 4 |- ( ( ( 2 x. N ) e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) _C K ) = ( ( 2 x. N ) _C ( ( 2 x. N ) - K ) ) )
2219, 20, 21syl2anc 415 . . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C K ) = ( ( 2 x. N ) _C ( ( 2 x. N ) - K ) ) )
2318nn0red 9623 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. RR )
2423recnd 8354 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. CC )
25242timesd 9550 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
2620zred 9770 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K e. RR )
27 eluzle 9936 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ K )
2827adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ K )
2923, 26, 23, 28leadd2dd 8888 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( N + N ) <_ ( N + K ) )
3025, 29eqbrtrd 4152 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 2 x. N ) <_ ( N + K ) )
3119nn0red 9623 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
3231, 26, 23lesubaddd 8870 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) - K ) <_ N <-> ( 2 x. N ) <_ ( N + K ) ) )
3330, 32mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( 2 x. N ) - K ) <_ N )
3419nn0zd 9768 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
3534, 20zsubcld 9775 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( 2 x. N ) - K ) e. ZZ )
3618nn0zd 9768 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
37 eluz 9937 . . . . . 6 |- ( ( ( ( 2 x. N ) - K ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( ( 2 x. N ) - K ) ) <-> ( ( 2 x. N ) - K ) <_ N ) )
3835, 36, 37syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( ( 2 x. N ) - K ) ) <-> ( ( 2 x. N ) - K ) <_ N ) )
3933, 38mpbird 167 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( 2 x. N ) - K ) ) )
4018, 14syl 14 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ ( ( 2 x. N ) / 2 ) )
41 bcmono 16124 . . . 4 |- ( ( ( 2 x. N ) e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` ( ( 2 x. N ) - K ) ) /\ N <_ ( ( 2 x. N ) / 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C ( ( 2 x. N ) - K ) ) <_ ( ( 2 x. N ) _C N ) )
4219, 39, 40, 41syl3anc 1278 . . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C ( ( 2 x. N ) - K ) ) <_ ( ( 2 x. N ) _C N ) )
4322, 42eqbrtrd 4152 . 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C K ) <_ ( ( 2 x. N ) _C N ) )
44 simpr 110 . . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
45 nn0z 9666 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4645adantr 276 . . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
47 uztric 9946 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) \/ K e. ( ZZ>= ` N ) ) )
4844, 46, 47syl2anc 415 . 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) \/ K e. ( ZZ>= ` N ) ) )
4917, 43, 48mpjaodan 810 1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) _C K ) <_ ( ( 2 x. N ) _C N ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   + caddc 8182   x. cmul 8184   <_ cle 8361   - cmin 8497   # cap 8910   / cdiv 9003   2c2 9356   NN0cn0 9565   ZZcz 9646   ZZ>=cuz 9923   _C cbc 11187
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-seqfrec 10887  df-fac 11166  df-bc 11188
This theorem is used by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator