ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcmax Unicode version
Theorem bcmax 16317
Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcmax |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) _C K ) <_ ( ( 2 x. N ) _C N ) )
Proof of Theorem bcmax
StepHypRef Expression
1 2nn0 9592 . . . 4 |- 2 e. NN0
2 simpll 531 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. NN0 )
3 nn0mulcl 9611 . . . 4 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
41, 2, 3sylancr 418 . . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
5 simpr 110 . . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
6 nn0re 9584 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
76leidd 8850 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N <_ N )
8 nn0cn 9585 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
9 2cn 9385 . . . . . . 7 |- 2 e. CC
10 2ap0 9407 . . . . . . 7 |- 2 # 0
11 divcanap3 9037 . . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
129, 10, 11mp3an23 1370 . . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
138, 12syl 14 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
147, 13breqtrrd 4159 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> N <_ ( ( 2 x. N ) / 2 ) )
152, 14syl 14 . . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N <_ ( ( 2 x. N ) / 2 ) )
16 bcmono 16316 . . 3 |- ( ( ( 2 x. N ) e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` K ) /\ N <_ ( ( 2 x. N ) / 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C K ) <_ ( ( 2 x. N ) _C N ) )
174, 5, 15, 16syl3anc 1278 . 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C K ) <_ ( ( 2 x. N ) _C N ) )
18 simpll 531 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. NN0 )
191, 18, 3sylancr 418 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
20 simplr 533 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K e. ZZ )
21 bccmpl 11215 . . . 4 |- ( ( ( 2 x. N ) e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) _C K ) = ( ( 2 x. N ) _C ( ( 2 x. N ) - K ) ) )
2219, 20, 21syl2anc 415 . . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C K ) = ( ( 2 x. N ) _C ( ( 2 x. N ) - K ) ) )
2318nn0red 9633 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. RR )
2423recnd 8361 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. CC )
25242timesd 9560 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
2620zred 9780 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> K e. RR )
27 eluzle 9951 . . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ K )
2827adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ K )
2923, 26, 23, 28leadd2dd 8896 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( N + N ) <_ ( N + K ) )
3025, 29eqbrtrd 4153 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 2 x. N ) <_ ( N + K ) )
3119nn0red 9633 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
3231, 26, 23lesubaddd 8878 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) - K ) <_ N <-> ( 2 x. N ) <_ ( N + K ) ) )
3330, 32mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( 2 x. N ) - K ) <_ N )
3419nn0zd 9778 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
3534, 20zsubcld 9785 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( 2 x. N ) - K ) e. ZZ )
3618nn0zd 9778 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ZZ )
37 eluz 9952 . . . . . 6 |- ( ( ( ( 2 x. N ) - K ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( ( 2 x. N ) - K ) ) <-> ( ( 2 x. N ) - K ) <_ N ) )
3835, 36, 37syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( ( 2 x. N ) - K ) ) <-> ( ( 2 x. N ) - K ) <_ N ) )
3933, 38mpbird 167 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( 2 x. N ) - K ) ) )
4018, 14syl 14 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> N <_ ( ( 2 x. N ) / 2 ) )
41 bcmono 16316 . . . 4 |- ( ( ( 2 x. N ) e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` ( ( 2 x. N ) - K ) ) /\ N <_ ( ( 2 x. N ) / 2 ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C ( ( 2 x. N ) - K ) ) <_ ( ( 2 x. N ) _C N ) )
4219, 39, 40, 41syl3anc 1278 . . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C ( ( 2 x. N ) - K ) ) <_ ( ( 2 x. N ) _C N ) )
4322, 42eqbrtrd 4153 . 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ K e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C K ) <_ ( ( 2 x. N ) _C N ) )
44 simpr 110 . . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> K e. ZZ )
45 nn0z 9676 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4645adantr 276 . . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> N e. ZZ )
47 uztric 9961 . . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) \/ K e. ( ZZ>= ` N ) ) )
4844, 46, 47syl2anc 415 . 2 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` K ) \/ K e. ( ZZ>= ` N ) ) )
4917, 43, 48mpjaodan 810 1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) _C K ) <_ ( ( 2 x. N ) _C N ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8184   0cc0 8186   + caddc 8189   x. cmul 8191   <_ cle 8368   - cmin 8505   # cap 8918   / cdiv 9011   2c2 9365   NN0cn0 9575   ZZcz 9656   ZZ>=cuz 9938   _C cbc 11208
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-seqfrec 10907  df-fac 11187  df-bc 11209
This theorem is used by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator