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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > bcmono | Unicode version | ||
| Description: The binomial coefficient is monotone in its second argument, up to the midway point. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| bcmono |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
         |
are mutually distinct and distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | simpl2 1032 |
. . 3
 | |
| 2 | simpl1 1031 |
. . 3
| |
| 3 | eluzel2 9928 |
. . . . . 6
 | |
| 4 | 3 | 3ad2ant2 1050 |
. . . . 5
|
| 5 | 4 | anim1i 340 |
. . . 4
|
| 6 | elnn0z 9659 |
. . . 4
 | |
| 7 | 5, 6 | sylibr 134 |
. . 3
|
| 8 | simpl3 1033 |
. . 3
| |
| 9 | breq1 4133 |
. . . . . . 7
| |
| 10 | oveq2 6093 |
. . . . . . . 8
| |
| 11 | 10 | breq2d 4142 |
. . . . . . 7
|
| 12 | 9, 11 | imbi12d 234 |
. . . . . 6
|
| 13 | 12 | imbi2d 230 |
. . . . 5
|
| 14 | breq1 4133 |
. . . . . . 7
| |
| 15 | oveq2 6093 |
. . . . . . . 8
| |
| 16 | 15 | breq2d 4142 |
. . . . . . 7
|
| 17 | 14, 16 | imbi12d 234 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | imbi2d 230 |
. . . . 5
|
| 19 | breq1 4133 |
. . . . . . 7
 
| |
| 20 | oveq2 6093 |
. . . . . . . 8
| |
| 21 | 20 | breq2d 4142 |
. . . . . . 7
|
| 22 | 19, 21 | imbi12d 234 |
. . . . . 6
|
| 23 | 22 | imbi2d 230 |
. . . . 5
|
| 24 | breq1 4133 |
. . . . . . 7
| |
| 25 | oveq2 6093 |
. . . . . . . 8
| |
| 26 | 25 | breq2d 4142 |
. . . . . . 7
|
| 27 | 24, 26 | imbi12d 234 |
. . . . . 6
|
| 28 | 27 | imbi2d 230 |
. . . . 5
|
| 29 | bccl 11207 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 30 | 29 | nn0red 9623 |
. . . . . . . . 9
 |
| 31 | 30 | leidd 8842 |
. . . . . . . 8
|
| 32 | 31 | a1d 22 |
. . . . . . 7
|
| 33 | 32 | expcom 116 |
. . . . . 6
|
| 34 | 33 | adantrd 279 |
. . . . 5
|
| 35 | eluzelz 9933 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 36 | 35 | 3ad2ant1 1049 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 37 | 36 | zred 9770 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 38 | 37 | lep1d 9262 |
. . . . . . . . . 10
|
| 39 | peano2re 8462 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 40 | 37, 39 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 41 | nn0re 9574 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 42 | 41 | 3ad2ant2 1050 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 43 | 42 | rehalfcld 9554 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 44 | letr 8408 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 45 | 37, 40, 43, 44 | syl3anc 1278 |
. . . . . . . . . 10
|
| 46 | 38, 45 | mpand 433 |
. . . . . . . . 9
|
| 47 | 46 | imim1d 75 |
. . . . . . . 8
|
| 48 | eluznn0 10001 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 49 | 41 | 3ad2ant2 1050 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 50 | nn0re 9574 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 51 | 50 | 3ad2ant1 1049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 52 | nn0p1nn 9604 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
 | |
| 53 | 52 | 3ad2ant1 1049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 54 | 53 | nnnn0d 9622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 55 | 54 | nn0red 9623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 56 | 53 | nncnd 9319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 |
| 57 | 56 | 2timesd 9550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 |
| 58 | simp3 1030 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 59 | 2re 9375 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 60 | 2pos 9396 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 | |
| 61 | 59, 60 | pm3.2i 272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 62 | 61 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 63 | lemuldiv2 9213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 64 | 55, 49, 62, 63 | syl3anc 1278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 65 | 58, 64 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 66 | 57, 65 | eqbrtrrd 4154 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 67 | 51 | lep1d 9262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 68 | 49, 51, 55, 55, 66, 67 | lesub3d 8891 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 |
| 69 | nnre 9312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 70 | nngt0 9330 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 71 | 69, 70 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 72 | 53, 71 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 73 | nn0z 9666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 74 | 73 | 3ad2ant2 1050 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 75 | nn0z 9666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 76 | 75 | 3ad2ant1 1049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 77 | 74, 76 | zsubcld 9775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 78 | 49 | rehalfcld 9554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 79 | 49, 59 | jctir 313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 80 | nn0ge0 9590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 81 | 80 | 3ad2ant2 1050 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 82 | 1le2 9515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
| |
| 83 | 81, 82 | jctir 313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 84 | lemulge12 9198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 85 | 79, 83, 84 | syl2anc 415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 86 | ledivmul 9208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 87 | 49, 49, 62, 86 | syl3anc 1278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 88 | 85, 87 | mpbird 167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 89 | 55, 78, 49, 58, 88 | letrd 8450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 90 | 1red 8341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 91 | 51, 90, 49 | leaddsub2d 8875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 92 | 89, 91 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 93 | elnnz1 9669 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 94 | 77, 92, 93 | sylanbrc 421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 95 | nnre 9312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 96 | nngt0 9330 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 97 | 95, 96 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 98 | 94, 97 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 99 | faccl 11175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
 | |
| 100 | 99 | 3ad2ant2 1050 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 101 | nnm1nn0 9606 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 102 | faccl 11175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 103 | 94, 101, 102 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 104 | faccl 11175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 105 | 104 | 3ad2ant1 1049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 106 | 103, 105 | nnmulcld 9354 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 107 | nnrp 10066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
 | |
| 108 | nnrp 10066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 109 | rpdivcl 10082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 110 | 107, 108, 109 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 111 | 100, 106, 110 | syl2anc 415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 112 | 111 | rpregt0d 10106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 113 | lediv2 9222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 114 | 72, 98, 112, 113 | syl3anc 1278 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 115 | 68, 114 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 116 | facnn2 11174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 117 | 94, 116 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 118 | 117 | oveq1d 6100 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 119 | 103 | nncnd 9319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 120 | 105 | nncnd 9319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 121 | 77 | zcnd 9771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 122 | 119, 120, 121 | mul32d 8479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 123 | 118, 122 | eqtr4d 2274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 124 | 123 | oveq2d 6101 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 125 | 0zd 9658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 126 | nn0ge0 9590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 127 | 126 | 3ad2ant1 1049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 128 | 51, 55, 49, 67, 89 | letrd 8450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 129 | 125, 74, 76, 127, 128 | elfzd 10421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 |
| 130 | bcval2 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 131 | 129, 130 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 132 | 100 | nncnd 9319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 133 | 106 | nncnd 9319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 134 | 106 | nnap0d 9351 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
# |
| 135 | 94 | nnap0d 9351 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
# |
| 136 | 132, 133, 121, 134, 135 | divdivap1d 9153 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 137 | 124, 131, 136 | 3eqtr4d 2281 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 138 | nn0cn 9575 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 139 | 138 | 3ad2ant2 1050 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 140 | nn0cn 9575 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 141 | 140 | 3ad2ant1 1049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 142 | 1cnd 8342 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 143 | 139, 141, 142 | subsub4d 8668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 144 | 143 | eqcomd 2244 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 145 | 144 | fveq2d 5699 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 146 | facp1 11170 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 147 | 146 | 3ad2ant1 1049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 148 | 145, 147 | oveq12d 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 149 | 119, 120, 56 | mulassd 8349 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 150 | 148, 149 | eqtr4d 2274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 151 | 150 | oveq2d 6101 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 152 | 53 | nnzd 9769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 153 | 54 | nn0ge0d 9625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 154 | 125, 74, 152, 153, 89 | elfzd 10421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 155 | bcval2 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 156 | 154, 155 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 157 | 53 | nnap0d 9351 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
# |
| 158 | 132, 133, 56, 134, 157 | divdivap1d 9153 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 159 | 151, 156, 158 | 3eqtr4d 2281 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 160 | 115, 137, 159 | 3brtr4d 4162 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 161 | 160 | 3exp 1233 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 162 | 48, 161 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 163 | 162 | 3impia 1231 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 164 | 163 | 3coml 1241 |
. . . . . . . . . 10
|
| 165 | simp2 1029 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 166 | nn0z 9666 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 167 | 166 | 3ad2ant3 1051 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 168 | 165, 167, 29 | syl2anc 415 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 169 | 168 | nn0red 9623 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 170 | bccl 11207 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 171 | 165, 36, 170 | syl2anc 415 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 172 | 171 | nn0red 9623 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 173 | 36 | peano2zd 9773 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 174 | bccl 11207 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 175 | 165, 173, 174 | syl2anc 415 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 176 | 175 | nn0red 9623 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 177 | letr 8408 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 178 | 169, 172, 176, 177 | syl3anc 1278 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 179 | 178 | expcomd 1491 |
. . . . . . . . . 10
|
| 180 | 164, 179 | syld 45 |
. . . . . . . . 9
|
| 181 | 180 | a2d 26 |
. . . . . . . 8
|
| 182 | 47, 181 | syld 45 |
. . . . . . 7
|
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. . . . . 6
|
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. . . . 5
|
| 185 | 13, 18, 23, 28, 34, 184 | uzind4 9990 |
. . . 4
|
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. . 3
|
| 187 | 1, 2, 7, 8, 186 | syl121anc 1283 |
. 2
|
| 188 | simpl1 1031 |
. . . 4
| |
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. . . 4
|
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. . . 4
 | |
| 191 | bcval4 11192 |
. . . 4
| |
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. . 3
|
| 193 | simpl2 1032 |
. . . . . 6
| |
| 194 | eluzelz 9933 |
. . . . . 6
| |
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. . . . 5
|
| 196 | bccl 11207 |
. . . . 5
| |
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. . . 4
|
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. . 3
|
| 199 | 192, 198 | eqbrtrd 4152 |
. 2
|
| 200 | 0z 9657 |
. . 3
| |
| 201 | zlelttric 9691 |
. . 3
| |
| 202 | 200, 4, 201 | sylancr 418 |
. 2
|
| 203 | 187, 199, 202 | mpjaodan 810 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| This proof depends on syntax axioms:
wi 4
wa 104
wb 105 wo 720 w3a 1009 wceq 1402 wcel 2209 class class class wbr 4130
cfv 5377
(class class class)co 6085 cc 8177 cr 8178 cc0 8179 c1 8180 caddc 8182 cmul 8184 clt 8360 cle 8361 cmin 8497 cdiv 9003 cn 9305 c2 9356 cn0 9565 cz 9646 cuz 9923 crp 10056 cfz 10413 cfa 11165 cbc 11187 |
| This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297 |
| This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8904 df-ap 8911 df-div 9004 df-inn 9306 df-2 9364 df-n0 9566 df-z 9647 df-uz 9924 df-q 10022 df-rp 10057 df-fz 10414 df-seqfrec 10887 df-fac 11166 df-bc 11188 |
| This theorem is used by: bcmax 16125 |
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