Theorem bcp1ctr 16318

Description: Ratio of two central binomial coefficients. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcp1ctr	|- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) )

Proof of Theorem bcp1ctr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2t1e2 9468	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
2		df-2 9373	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
3	1, 2	eqtri 2259	. . . . . 6 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
4	3	oveq2i 6099	. . . . 5 |- ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) )
5		nn0cn 9585	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
6		2cn 9385	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
7		ax-1cn 8279	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
8		adddi 8318	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
9	6, 7, 8	mp3an13 1369	. . . . . 6 |- ( N e. CC -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
10	5, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + ( 2 x. 1 ) ) )
11		2nn0 9592	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
12		nn0mulcl 9611	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
13	11, 12	mpan 428	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) e. NN0 )
14	13	nn0cnd 9634	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) e. CC )
15		addass 8316	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
16	7, 7, 15	mp3an23 1370	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. N ) e. CC -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
17	14, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. N ) + ( 1 + 1 ) ) )
18	4, 10, 17	3eqtr4a 2297	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) )
19	18	oveq1d 6103	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
20		peano2nn0 9615	. . . . 5 |- ( ( 2 x. N ) e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 )
21	13, 20	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 )
22		nn0p1nn 9614	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
23	22	nnzd 9779	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ZZ )
24		bcpasc 11227	. . . 4 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
25	21, 23, 24	syl2anc 415	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) )
26	19, 25	eqtr4d 2274	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
27		nn0z 9676	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
28		bccl 11228	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. N ) e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN0 )
29	13, 27, 28	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN0 )
30	29	nn0cnd 9634	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. CC )
31		2cnd 9387	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> 2 e. CC )
32	21	nn0red 9633	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
33	32, 22	nndivred 9364	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) e. RR )
34	33	recnd 8361	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) e. CC )
35	30, 31, 34	mul12d 8486	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) )
36		1cnd 8349	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> 1 e. CC )
37	14, 36, 5	addsubd 8666	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) = ( ( ( 2 x. N ) - N ) + 1 ) )
38	5	2timesd 9560	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
39	5, 5, 38	mvrladdd 8701	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) - N ) = N )
40	39	oveq1d 6103	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) - N ) + 1 ) = ( N + 1 ) )
41	37, 40	eqtr2d 2272	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) )
42	41	oveq2d 6104	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) )
43	42	oveq2d 6104	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) ) )
44		fzctr 10558	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )
45		bcp1n 11222	. . . . . . 7 |- ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - N ) ) ) )
47	43, 46	eqtr4d 2274	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
48	47	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
49	35, 48	eqtrd 2271	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
50		bccmpl 11215	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) )
51	21, 23, 50	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) )
52	22	nncnd 9328	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. CC )
53	38	oveq1d 6103	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) = ( ( N + N ) + 1 ) )
54	5, 5, 36	addassd 8355	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + N ) + 1 ) = ( N + ( N + 1 ) ) )
55	53, 54	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) = ( N + ( N + 1 ) ) )
56	5, 52, 55	mvrraddd 8700	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) = N )
57	56	oveq2d 6104	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) - ( N + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
58	51, 57	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
59		pncan 8540	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
60	5, 7, 59	sylancl 417	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
61	60	oveq2d 6104	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) )
62	58, 61	oveq12d 6106	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
63		bccl 11228	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) e. NN0 )
64	21, 27, 63	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) e. NN0 )
65	64	nn0cnd 9634	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) e. CC )
66	65	2timesd 9560	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
67	62, 66	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C N ) ) )
68	49, 67	eqtr4d 2274	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( N + 1 ) ) + ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) _C ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
69	26, 68	eqtr4d 2274	1 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 x. ( N + 1 ) ) _C ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) _C N ) x. ( 2 x. ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( N + 1 ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   CCcc 8184   0cc0 8186   1c1 8187   + caddc 8189   x. cmul 8191   - cmin 8505   / cdiv 9011   2c2 9365   NN0cn0 9575   ZZcz 9656   ...cfz 10429   _C cbc 11208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-seqfrec 10907  df-fac 11187  df-bc 11209

This theorem is used by:  bclbnd  16319