Theorem bcmax 16125

Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcmax	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))

Proof of Theorem bcmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9582	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		simpll 531	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nn0mulcl 9601	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	sylancr 418	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
5		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6		nn0re 9574	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	6	leidd 8842	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ 𝑁)
8		nn0cn 9575	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
9		2cn 9376	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		2ap0 9398	. . . . . . 7 ⊢ 2 # 0
11		divcanap3 9029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
12	9, 10, 11	mp3an23 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
13	8, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
14	7, 13	breqtrrd 4158	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
15	2, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
16		bcmono 16124	. . 3 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
17	4, 5, 15, 16	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
18		simpll 531	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	1, 18, 3	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
20		simplr 533	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
21		bccmpl 11194	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
22	19, 20, 21	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
23	18	nn0red 9623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	recnd 8354	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
25	24	2timesd 9550	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
26	20	zred 9770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
27		eluzle 9936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝐾)
28	27	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ 𝐾)
29	23, 26, 23, 28	leadd2dd 8888	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 + 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
30	25, 29	eqbrtrd 4152	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
31	19	nn0red 9623	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
32	31, 26, 23	lesubaddd 8870	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
33	30, 32	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
34	19	nn0zd 9768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
35	34, 20	zsubcld 9775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
36	18	nn0zd 9768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37		eluz 9937	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
38	35, 36, 37	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
39	33, 38	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)))
40	18, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
41		bcmono 16124	. . . 4 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
42	19, 39, 40, 41	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
43	22, 42	eqbrtrd 4152	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
44		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
45		nn0z 9666	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
46	45	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
47		uztric 9946	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
48	44, 46, 47	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
49	17, 43, 48	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  0cc0 8179   + caddc 8182   · cmul 8184   ≤ cle 8361   − cmin 8497   # cap 8910   / cdiv 9003  2c2 9356  ℕ₀cn0 9565  ℤcz 9646  ℤ_≥cuz 9923  Ccbc 11187

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-seqfrec 10887  df-fac 11166  df-bc 11188

This theorem is used by: (None)