Theorem ccatlid 11352

Description: Concatenation of a word by the empty word on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatlid	⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem ccatlid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrd0 11307	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐵
2		ccatvalfn 11347	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝐵) → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
3	1, 2	mpan 428	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
4		hash0 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘∅) = 0
5	4	oveq1i 6085	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘∅) + (♯‘𝑆)) = (0 + (♯‘𝑆))
6		lencl 11286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 9601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℂ)
8	7	addlidd 8466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0 + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
9	5, 8	eqtrid 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘∅) + (♯‘𝑆)) = (♯‘𝑆))
10	9	eqcomd 2244	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) = ((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))
11	10	oveq2d 6091	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (0..^(♯‘𝑆)) = (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
12	11	fneq2d 5467	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((∅ ++ 𝑆) Fn (0..^(♯‘𝑆)) ↔ (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))))
13	3, 12	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) Fn (0..^(♯‘𝑆)))
14		wrdfn 11297	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
15	4	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘∅) = 0)
16	15, 9	oveq12d 6093	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))) = (0..^(♯‘𝑆)))
17	16	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
18	17	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆))))
19		ccatval2 11344	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))))
20	1, 19	mp3an1 1365	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ((♯‘∅)..^((♯‘∅) + (♯‘𝑆)))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))))
21	18, 20	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))))
22	4	oveq2i 6086	. . . . 5 ⊢ (𝑥 − (♯‘∅)) = (𝑥 − 0)
23		elfzoelz 10532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → 𝑥 ∈ ℤ)
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 9748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℂ)
26	25	subid1d 8616	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
27	22, 26	eqtrid 2283	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 − (♯‘∅)) = 𝑥)
28	27	fveq2d 5694	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘(𝑥 − (♯‘∅))) = (𝑆‘𝑥))
29	21, 28	eqtrd 2271	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((∅ ++ 𝑆)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
30	13, 14, 29	eqfnfvd 5800	1 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (∅ ++ 𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520   Fn wfn 5367  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  0cc0 8169   + caddc 8172   − cmin 8487  ℤcz 9623  ..^cfzo 10527  ♯chash 11192  Word cword 11282   ++ cconcat 11336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-concat 11337

This theorem is referenced by:  ccatidid  11356  ccat1st1st  11387  swrdccat  11485  konigsberglem1  16643  konigsberglem2  16644  konigsberglem3  16645