Theorem cos2tsin 11494

Description: Double-angle formula for cosine in terms of sine. (Contributed by NM, 12-Sep-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2tsin	|- ( A e. CC -> ( cos ` ( 2 x. A ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) )

Proof of Theorem cos2tsin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos2t 11493	. 2 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( 2 x. A ) ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
2		sincl 11449	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
3	2	sqcld 10453	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( sin ` A ) ^ 2 ) e. CC )
4		coscl 11450	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
5	4	sqcld 10453	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC )
6		2cn 8815	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
7		adddi 7776	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( sin ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) )
8	6, 7	mp3an1 1303	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) )
9	3, 5, 8	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) )
10		sincossq 11491	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
11	10	oveq2d 5798	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( ( sin ` A ) ^ 2 ) + ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. 1 ) )
12	9, 11	eqtr3d 2175	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. 1 ) )
13		2t1e2 8897	. . . . 5 |- ( 2 x. 1 ) = 2
14	12, 13	eqtrdi 2189	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = 2 )
15		mulcl 7771	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( sin ` A ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) e. CC )
16	6, 3, 15	sylancr 411	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) e. CC )
17		mulcl 7771	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( ( cos ` A ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) e. CC )
18	6, 5, 17	sylancr 411	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) e. CC )
19		subadd 7989	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( ( 2 - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) <-> ( ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = 2 ) )
20	6, 19	mp3an1 1303	. . . . 5 |- ( ( ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( ( 2 - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) <-> ( ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = 2 ) )
21	16, 18, 20	syl2anc 409	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( 2 - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) <-> ( ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) ) = 2 ) )
22	14, 21	mpbird 166	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 2 - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) )
23	22	oveq1d 5797	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 2 - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) - 1 ) = ( ( 2 x. ( ( cos ` A ) ^ 2 ) ) - 1 ) )
24		ax-1cn 7737	. . . . 5 |- 1 e. CC
25		sub32 8020	. . . . 5 |- ( ( 2 e. CC /\ ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 2 - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) - 1 ) = ( ( 2 - 1 ) - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) )
26	6, 24, 25	mp3an13 1307	. . . 4 |- ( ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) e. CC -> ( ( 2 - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) - 1 ) = ( ( 2 - 1 ) - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) )
27	16, 26	syl 14	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( 2 - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) - 1 ) = ( ( 2 - 1 ) - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) )
28		2m1e1 8862	. . . 4 |- ( 2 - 1 ) = 1
29	28	oveq1i 5792	. . 3 |- ( ( 2 - 1 ) - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) )
30	27, 29	eqtrdi 2189	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 2 - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) - 1 ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) )
31	1, 23, 30	3eqtr2d 2179	1 |- ( A e. CC -> ( cos ` ( 2 x. A ) ) = ( 1 - ( 2 x. ( ( sin ` A ) ^ 2 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   1c1 7645   + caddc 7647   x. cmul 7649   - cmin 7957   2c2 8795   ^cexp 10323   sincsin 11387   cosccos 11388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-disj 3915  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-ico 9707  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-fac 10504  df-bc 10526  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155  df-ef 11391  df-sin 11393  df-cos 11394

This theorem is referenced by: (None)