Theorem cos2tsin 12262

Description: Double-angle formula for cosine in terms of sine. (Contributed by NM, 12-Sep-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos2tsin	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))

Proof of Theorem cos2tsin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cos2t 12261	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
2		sincl 12217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
3	2	sqcld 10893	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
4		coscl 12218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
5	4	sqcld 10893	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
6		2cn 9181	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
7		adddi 8131	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))))
8	6, 7	mp3an1 1358	. . . . . . 7 ⊢ ((((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))))
9	3, 5, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))))
10		sincossq 12259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
11	10	oveq2d 6017	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))) = (2 · 1))
12	9, 11	eqtr3d 2264	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = (2 · 1))
13		2t1e2 9264	. . . . 5 ⊢ (2 · 1) = 2
14	12, 13	eqtrdi 2278	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2)
15		mulcl 8126	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
16	6, 3, 15	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
17		mulcl 8126	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
18	6, 5, 17	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
19		subadd 8349	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ) → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2))
20	6, 19	mp3an1 1358	. . . . 5 ⊢ (((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ) → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2))
21	16, 18, 20	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)) ↔ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) + (2 · ((cos‘𝐴)↑2))) = 2))
22	14, 21	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (2 · ((cos‘𝐴)↑2)))
23	22	oveq1d 6016	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 · ((cos‘𝐴)↑2)) − 1))
24		ax-1cn 8092	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
25		sub32 8380	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
26	6, 24, 25	mp3an13 1362	. . . 4 ⊢ ((2 · ((sin‘𝐴)↑2)) ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
27	16, 26	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
28		2m1e1 9228	. . . 4 ⊢ (2 − 1) = 1
29	28	oveq1i 6011	. . 3 ⊢ ((2 − 1) − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2)))
30	27, 29	eqtrdi 2278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))) − 1) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))
31	1, 23, 30	3eqtr2d 2268	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · 𝐴)) = (1 − (2 · ((sin‘𝐴)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  ℂcc 7997  1c1 8000   + caddc 8002   · cmul 8004   − cmin 8317  2c2 9161  ↑cexp 10760  sincsin 12155  cosccos 12156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-sup 7151  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-ico 10090  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-fac 10948  df-bc 10970  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-sumdc 11865  df-ef 12159  df-sin 12161  df-cos 12162

This theorem is referenced by: (None)