Theorem dvconstss 15428

Description: Derivative of a constant function defined on an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvconstss.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvconstss.j	|- J = ( K ↾t S )
dvconstss.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
dvconstss.x	|- ( ph -> X e. J )
dvconstss.a	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
dvconstss	|- ( ph -> ( S _D ( X X. { A } ) ) = ( X X. { 0 } ) )

Proof of Theorem dvconstss

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvconstss.s	. 2 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
2		dvconstss.j	. 2 |- J = ( K ↾t S )
3		dvconstss.k	. 2 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4		dvconstss.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
5		fconst6g 5535	. . 3 |- ( A e. CC -> ( X X. { A } ) : X --> CC )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( X X. { A } ) : X --> CC )
7		dvconstss.x	. 2 |- ( ph -> X e. J )
8		simpr2 1030	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> z e. X )
9		fvconst2g 5868	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ z e. X ) -> ( ( X X. { A } ) ` z ) = A )
10	4, 8, 9	syl2an2r 599	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( X X. { A } ) ` z ) = A )
11		simpr1 1029	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> x e. X )
12		fvconst2g 5868	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. X ) -> ( ( X X. { A } ) ` x ) = A )
13	4, 11, 12	syl2an2r 599	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( X X. { A } ) ` x ) = A )
14	10, 13	oveq12d 6036	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) = ( A - A ) )
15	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> A e. CC )
16	15	subidd 8478	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( A - A ) = 0 )
17	14, 16	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) = 0 )
18	17	oveq1d 6033	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = ( 0 / ( z - x ) ) )
19		restsspw 13337	. . . . . . . . . . 11 |- ( K ↾t S ) C_ ~P S
20	2, 19	eqsstri 3259	. . . . . . . . . 10 |- J C_ ~P S
21	20, 7	sselid 3225	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ~P S )
22	21	elpwid 3663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X C_ S )
23		recnprss 15417	. . . . . . . . 9 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
24	1, 23	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ CC )
25	22, 24	sstrd 3237	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ CC )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> X C_ CC )
27	26, 8	sseldd 3228	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> z e. CC )
28	26, 11	sseldd 3228	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> x e. CC )
29	27, 28	subcld 8490	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( z - x ) e. CC )
30		simpr3 1031	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> z # x )
31	27, 28, 30	subap0d 8824	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( z - x ) # 0 )
32	29, 31	div0apd 8967	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( 0 / ( z - x ) ) = 0 )
33	18, 32	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = 0 )
34		0cn 8171	. 2 |- 0 e. CC
35	1, 2, 3, 6, 7, 33, 34	dvidsslem 15423	1 |- ( ph -> ( S _D ( X X. { A } ) ) = ( X X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   {csn 3669   {cpr 3670   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   o. ccom 4729   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   RRcr 8031   0cc0 8032   - cmin 8350   # cap 8761   / cdiv 8852   abscabs 11562   ↾_t crest 13327   MetOpencmopn 14561   _D cdv 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-map 6819  df-pm 6820  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-rest 13329  df-topgen 13348  df-psmet 14563  df-xmet 14564  df-met 14565  df-bl 14566  df-mopn 14567  df-top 14728  df-topon 14741  df-bases 14773  df-ntr 14826  df-cn 14918  df-cnp 14919  df-cncf 15301  df-limced 15386  df-dvap 15387

This theorem is referenced by:  dvmptfsum  15455