Theorem dvconstss 15018

Description: Derivative of a constant function defined on an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvconstss.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvconstss.j	|- J = ( K ↾t S )
dvconstss.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
dvconstss.x	|- ( ph -> X e. J )
dvconstss.a	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
dvconstss	|- ( ph -> ( S _D ( X X. { A } ) ) = ( X X. { 0 } ) )

Proof of Theorem dvconstss

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvconstss.s	. 2 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
2		dvconstss.j	. 2 |- J = ( K ↾t S )
3		dvconstss.k	. 2 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4		dvconstss.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
5		fconst6g 5459	. . 3 |- ( A e. CC -> ( X X. { A } ) : X --> CC )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( X X. { A } ) : X --> CC )
7		dvconstss.x	. 2 |- ( ph -> X e. J )
8		simpr2 1006	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> z e. X )
9		fvconst2g 5779	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ z e. X ) -> ( ( X X. { A } ) ` z ) = A )
10	4, 8, 9	syl2an2r 595	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( X X. { A } ) ` z ) = A )
11		simpr1 1005	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> x e. X )
12		fvconst2g 5779	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. X ) -> ( ( X X. { A } ) ` x ) = A )
13	4, 11, 12	syl2an2r 595	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( X X. { A } ) ` x ) = A )
14	10, 13	oveq12d 5943	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) = ( A - A ) )
15	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> A e. CC )
16	15	subidd 8342	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( A - A ) = 0 )
17	14, 16	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) = 0 )
18	17	oveq1d 5940	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = ( 0 / ( z - x ) ) )
19		restsspw 12951	. . . . . . . . . . 11 |- ( K ↾t S ) C_ ~P S
20	2, 19	eqsstri 3216	. . . . . . . . . 10 |- J C_ ~P S
21	20, 7	sselid 3182	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ~P S )
22	21	elpwid 3617	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X C_ S )
23		recnprss 15007	. . . . . . . . 9 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
24	1, 23	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ CC )
25	22, 24	sstrd 3194	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ CC )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> X C_ CC )
27	26, 8	sseldd 3185	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> z e. CC )
28	26, 11	sseldd 3185	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> x e. CC )
29	27, 28	subcld 8354	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( z - x ) e. CC )
30		simpr3 1007	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> z # x )
31	27, 28, 30	subap0d 8688	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( z - x ) # 0 )
32	29, 31	div0apd 8831	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( 0 / ( z - x ) ) = 0 )
33	18, 32	eqtrd 2229	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = 0 )
34		0cn 8035	. 2 |- 0 e. CC
35	1, 2, 3, 6, 7, 33, 34	dvidsslem 15013	1 |- ( ph -> ( S _D ( X X. { A } ) ) = ( X X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   ~Pcpw 3606   {csn 3623   {cpr 3624   class class class wbr 4034   X. cxp 4662   o. ccom 4668   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   - cmin 8214   # cap 8625   / cdiv 8716   abscabs 11179   ↾_t crest 12941   MetOpencmopn 14173   _D cdv 14975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-pm 6719  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-ntr 14416  df-cn 14508  df-cnp 14509  df-cncf 14891  df-limced 14976  df-dvap 14977

This theorem is referenced by:  dvmptfsum  15045