Theorem dvconstss 15555

Description: Derivative of a constant function defined on an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvconstss.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvconstss.j	|- J = ( K ↾t S )
dvconstss.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
dvconstss.x	|- ( ph -> X e. J )
dvconstss.a	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
dvconstss	|- ( ph -> ( S _D ( X X. { A } ) ) = ( X X. { 0 } ) )

Proof of Theorem dvconstss

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvconstss.s	. 2 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
2		dvconstss.j	. 2 |- J = ( K ↾t S )
3		dvconstss.k	. 2 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4		dvconstss.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
5		fconst6g 5565	. . 3 |- ( A e. CC -> ( X X. { A } ) : X --> CC )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( X X. { A } ) : X --> CC )
7		dvconstss.x	. 2 |- ( ph -> X e. J )
8		simpr2 1031	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> z e. X )
9		fvconst2g 5897	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ z e. X ) -> ( ( X X. { A } ) ` z ) = A )
10	4, 8, 9	syl2an2r 599	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( X X. { A } ) ` z ) = A )
11		simpr1 1030	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> x e. X )
12		fvconst2g 5897	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. X ) -> ( ( X X. { A } ) ` x ) = A )
13	4, 11, 12	syl2an2r 599	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( X X. { A } ) ` x ) = A )
14	10, 13	oveq12d 6067	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) = ( A - A ) )
15	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> A e. CC )
16	15	subidd 8571	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( A - A ) = 0 )
17	14, 16	eqtrd 2265	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) = 0 )
18	17	oveq1d 6064	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = ( 0 / ( z - x ) ) )
19		restsspw 13454	. . . . . . . . . . 11 |- ( K ↾t S ) C_ ~P S
20	2, 19	eqsstri 3269	. . . . . . . . . 10 |- J C_ ~P S
21	20, 7	sselid 3235	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ~P S )
22	21	elpwid 3679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X C_ S )
23		recnprss 15544	. . . . . . . . 9 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
24	1, 23	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ CC )
25	22, 24	sstrd 3247	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ CC )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> X C_ CC )
27	26, 8	sseldd 3238	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> z e. CC )
28	26, 11	sseldd 3238	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> x e. CC )
29	27, 28	subcld 8583	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( z - x ) e. CC )
30		simpr3 1032	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> z # x )
31	27, 28, 30	subap0d 8917	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( z - x ) # 0 )
32	29, 31	div0apd 9060	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( 0 / ( z - x ) ) = 0 )
33	18, 32	eqtrd 2265	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = 0 )
34		0cn 8265	. 2 |- 0 e. CC
35	1, 2, 3, 6, 7, 33, 34	dvidsslem 15550	1 |- ( ph -> ( S _D ( X X. { A } ) ) = ( X X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   C_ wss 3210   ~Pcpw 3668   {csn 3688   {cpr 3689   class class class wbr 4108   X. cxp 4746   o. ccom 4752   -->wf 5347   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   CCcc 8124   RRcr 8125   0cc0 8126   - cmin 8443   # cap 8854   / cdiv 8945   abscabs 11678   ↾_t crest 13444   MetOpencmopn 14681   _D cdv 15512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-map 6883  df-pm 6884  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-xneg 10104  df-xadd 10105  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-rest 13446  df-topgen 13465  df-psmet 14683  df-xmet 14684  df-met 14685  df-bl 14686  df-mopn 14687  df-top 14855  df-topon 14868  df-bases 14900  df-ntr 14953  df-cn 15045  df-cnp 15046  df-cncf 15428  df-limced 15513  df-dvap 15514

This theorem is referenced by:  dvmptfsum  15582