Theorem dvconstss 15489

Description: Derivative of a constant function defined on an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvconstss.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvconstss.j	|- J = ( K ↾t S )
dvconstss.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
dvconstss.x	|- ( ph -> X e. J )
dvconstss.a	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
dvconstss	|- ( ph -> ( S _D ( X X. { A } ) ) = ( X X. { 0 } ) )

Proof of Theorem dvconstss

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvconstss.s	. 2 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
2		dvconstss.j	. 2 |- J = ( K ↾t S )
3		dvconstss.k	. 2 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
4		dvconstss.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
5		fconst6g 5544	. . 3 |- ( A e. CC -> ( X X. { A } ) : X --> CC )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( X X. { A } ) : X --> CC )
7		dvconstss.x	. 2 |- ( ph -> X e. J )
8		simpr2 1031	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> z e. X )
9		fvconst2g 5876	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ z e. X ) -> ( ( X X. { A } ) ` z ) = A )
10	4, 8, 9	syl2an2r 599	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( X X. { A } ) ` z ) = A )
11		simpr1 1030	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> x e. X )
12		fvconst2g 5876	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. X ) -> ( ( X X. { A } ) ` x ) = A )
13	4, 11, 12	syl2an2r 599	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( X X. { A } ) ` x ) = A )
14	10, 13	oveq12d 6046	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) = ( A - A ) )
15	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> A e. CC )
16	15	subidd 8521	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( A - A ) = 0 )
17	14, 16	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) = 0 )
18	17	oveq1d 6043	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = ( 0 / ( z - x ) ) )
19		restsspw 13393	. . . . . . . . . . 11 |- ( K ↾t S ) C_ ~P S
20	2, 19	eqsstri 3260	. . . . . . . . . 10 |- J C_ ~P S
21	20, 7	sselid 3226	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. ~P S )
22	21	elpwid 3667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X C_ S )
23		recnprss 15478	. . . . . . . . 9 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
24	1, 23	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S C_ CC )
25	22, 24	sstrd 3238	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ CC )
26	25	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> X C_ CC )
27	26, 8	sseldd 3229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> z e. CC )
28	26, 11	sseldd 3229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> x e. CC )
29	27, 28	subcld 8533	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( z - x ) e. CC )
30		simpr3 1032	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> z # x )
31	27, 28, 30	subap0d 8867	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( z - x ) # 0 )
32	29, 31	div0apd 9010	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( 0 / ( z - x ) ) = 0 )
33	18, 32	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ z e. X /\ z # x ) ) -> ( ( ( ( X X. { A } ) ` z ) - ( ( X X. { A } ) ` x ) ) / ( z - x ) ) = 0 )
34		0cn 8214	. 2 |- 0 e. CC
35	1, 2, 3, 6, 7, 33, 34	dvidsslem 15484	1 |- ( ph -> ( S _D ( X X. { A } ) ) = ( X X. { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   C_ wss 3201   ~Pcpw 3656   {csn 3673   {cpr 3674   class class class wbr 4093   X. cxp 4729   o. ccom 4735   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   - cmin 8393   # cap 8804   / cdiv 8895   abscabs 11618   ↾_t crest 13383   MetOpencmopn 14617   _D cdv 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-map 6862  df-pm 6863  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-xneg 10050  df-xadd 10051  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-rest 13385  df-topgen 13404  df-psmet 14619  df-xmet 14620  df-met 14621  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-top 14789  df-topon 14802  df-bases 14834  df-ntr 14887  df-cn 14979  df-cnp 14980  df-cncf 15362  df-limced 15447  df-dvap 15448

This theorem is referenced by:  dvmptfsum  15516