Theorem dvidre 15935

Description: Real derivative of the identity function. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dvidre	⊢ (ℝ D ( I ↾ ℝ)) = (ℝ × {1})

Proof of Theorem dvidre

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5682	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ
2		f1of 5642	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ → ( I ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
3	1, 2	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
4		ax-resscn 8278	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
6	3, 5	fssd 5550	. . 3 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ)
7		simp2 1029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 ∈ ℝ)
8	7	recnd 8361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 ∈ ℂ)
9		simp1 1028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	recnd 8361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
11	8, 10	subcld 8645	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ)
12		simp3 1030	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 # 𝑥)
13	8, 10, 12	subap0d 8981	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) # 0)
14		fvresi 5911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (( I ↾ ℝ)‘𝑧) = 𝑧)
15		fvresi 5911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (( I ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑥)
16	14, 15	oveqan12rd 6108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
17	16	3adant3 1048	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → ((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
18	11, 13, 17	diveqap1bd 9175	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
19	18	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
20		ax-1cn 8279	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
21	6, 19, 20	dvidrelem 15930	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝ D ( I ↾ ℝ)) = (ℝ × {1}))
22	21	mptru 1411	1 ⊢ (ℝ D ( I ↾ ℝ)) = (ℝ × {1})

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  {csn 3709   class class class wbr 4131   I cid 4435   × cxp 4774   ↾ cres 4778  ⟶wf 5376  –1-1-onto→wf1o 5379  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  ℝcr 8185  1c1 8187   − cmin 8505   # cap 8918   / cdiv 9011   D cdv 15893

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-pm 6929  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-xneg 10192  df-xadd 10193  df-ioo 10312  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-rest 13655  df-topgen 13674  df-psmet 14990  df-xmet 14991  df-met 14992  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-top 15236  df-topon 15249  df-bases 15281  df-ntr 15334  df-cn 15426  df-cnp 15427  df-cncf 15809  df-limced 15894  df-dvap 15895

This theorem is used by:  dvmptid  15954