Theorem dvidre 15450

Description: Real derivative of the identity function. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dvidre	⊢ (ℝ D ( I ↾ ℝ)) = (ℝ × {1})

Proof of Theorem dvidre

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5626	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ
2		f1of 5586	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ → ( I ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
3	1, 2	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
4		ax-resscn 8129	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
6	3, 5	fssd 5497	. . 3 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ)
7		simp2 1024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 ∈ ℝ)
8	7	recnd 8213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 ∈ ℂ)
9		simp1 1023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	recnd 8213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
11	8, 10	subcld 8495	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ)
12		simp3 1025	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 # 𝑥)
13	8, 10, 12	subap0d 8829	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) # 0)
14		fvresi 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (( I ↾ ℝ)‘𝑧) = 𝑧)
15		fvresi 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (( I ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑥)
16	14, 15	oveqan12rd 6043	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
17	16	3adant3 1043	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → ((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
18	11, 13, 17	diveqap1bd 9021	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
19	18	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
20		ax-1cn 8130	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
21	6, 19, 20	dvidrelem 15445	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝ D ( I ↾ ℝ)) = (ℝ × {1}))
22	21	mptru 1406	1 ⊢ (ℝ D ( I ↾ ℝ)) = (ℝ × {1})

Syntax hints:   ∧ w3a 1004   = wceq 1397  ⊤wtru 1398   ∈ wcel 2201   ⊆ wss 3199  {csn 3670   class class class wbr 4089   I cid 4387   × cxp 4725   ↾ cres 4729  ⟶wf 5324  –1-1-onto→wf1o 5327  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  ℝcr 8036  1c1 8038   − cmin 8355   # cap 8766   / cdiv 8857   D cdv 15408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-map 6824  df-pm 6825  df-sup 7188  df-inf 7189  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-xneg 10012  df-xadd 10013  df-ioo 10132  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-rest 13347  df-topgen 13366  df-psmet 14581  df-xmet 14582  df-met 14583  df-bl 14584  df-mopn 14585  df-top 14751  df-topon 14764  df-bases 14796  df-ntr 14849  df-cn 14941  df-cnp 14942  df-cncf 15324  df-limced 15409  df-dvap 15410

This theorem is referenced by:  dvmptid  15469