Theorem dvidre 15414

Description: Real derivative of the identity function. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dvidre	⊢ (ℝ D ( I ↾ ℝ)) = (ℝ × {1})

Proof of Theorem dvidre

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5619	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ
2		f1of 5580	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ → ( I ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
3	1, 2	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
4		ax-resscn 8117	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
6	3, 5	fssd 5492	. . 3 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ)
7		simp2 1022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 ∈ ℝ)
8	7	recnd 8201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 ∈ ℂ)
9		simp1 1021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	recnd 8201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
11	8, 10	subcld 8483	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ)
12		simp3 1023	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 # 𝑥)
13	8, 10, 12	subap0d 8817	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) # 0)
14		fvresi 5842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (( I ↾ ℝ)‘𝑧) = 𝑧)
15		fvresi 5842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (( I ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑥)
16	14, 15	oveqan12rd 6033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
17	16	3adant3 1041	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → ((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
18	11, 13, 17	diveqap1bd 9009	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
19	18	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
20		ax-1cn 8118	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
21	6, 19, 20	dvidrelem 15409	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝ D ( I ↾ ℝ)) = (ℝ × {1}))
22	21	mptru 1404	1 ⊢ (ℝ D ( I ↾ ℝ)) = (ℝ × {1})

Syntax hints:   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198  {csn 3667   class class class wbr 4086   I cid 4383   × cxp 4721   ↾ cres 4725  ⟶wf 5320  –1-1-onto→wf1o 5323  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  ℝcr 8024  1c1 8026   − cmin 8343   # cap 8754   / cdiv 8845   D cdv 15372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-pm 6815  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-xneg 10000  df-xadd 10001  df-ioo 10120  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-rest 13317  df-topgen 13336  df-psmet 14550  df-xmet 14551  df-met 14552  df-bl 14553  df-mopn 14554  df-top 14715  df-topon 14728  df-bases 14760  df-ntr 14813  df-cn 14905  df-cnp 14906  df-cncf 15288  df-limced 15373  df-dvap 15374

This theorem is referenced by:  dvmptid  15433