Theorem dvidre 14876

Description: Real derivative of the identity function. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dvidre	⊢ (ℝ D ( I ↾ ℝ)) = (ℝ × {1})

Proof of Theorem dvidre

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5539	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ
2		f1of 5501	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ → ( I ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
3	1, 2	mp1i 10	. . . 4 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
4		ax-resscn 7966	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
6	3, 5	fssd 5417	. . 3 ⊢ (⊤ → ( I ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ)
7		simp2 1000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 ∈ ℝ)
8	7	recnd 8050	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 ∈ ℂ)
9		simp1 999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	recnd 8050	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
11	8, 10	subcld 8332	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ)
12		simp3 1001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → 𝑧 # 𝑥)
13	8, 10, 12	subap0d 8665	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (𝑧 − 𝑥) # 0)
14		fvresi 5752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (( I ↾ ℝ)‘𝑧) = 𝑧)
15		fvresi 5752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (( I ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑥)
16	14, 15	oveqan12rd 5939	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
17	16	3adant3 1019	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → ((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) = (𝑧 − 𝑥))
18	11, 13, 17	diveqap1bd 8857	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥) → (((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
19	18	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 # 𝑥)) → (((( I ↾ ℝ)‘𝑧) − (( I ↾ ℝ)‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = 1)
20		ax-1cn 7967	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
21	6, 19, 20	dvidrelem 14871	. 2 ⊢ (⊤ → (ℝ D ( I ↾ ℝ)) = (ℝ × {1}))
22	21	mptru 1373	1 ⊢ (ℝ D ( I ↾ ℝ)) = (ℝ × {1})

Syntax hints:   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3154  {csn 3619   class class class wbr 4030   I cid 4320   × cxp 4658   ↾ cres 4662  ⟶wf 5251  –1-1-onto→wf1o 5254  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  1c1 7875   − cmin 8192   # cap 8602   / cdiv 8693   D cdv 14834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-map 6706  df-pm 6707  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-ioo 9961  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-rest 12855  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-ntr 14275  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-cncf 14750  df-limced 14835  df-dvap 14836

This theorem is referenced by:  dvmptid  14895