Theorem efper 12888

Description: The exponential function is periodic. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efper	|- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( exp ` ( A + ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) = ( exp ` A ) )

Proof of Theorem efper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7715	. . . . 5 |- _i e. CC
2		2cn 8791	. . . . . 6 |- 2 e. CC
3		picn 12868	. . . . . 6 |- pi e. CC
4	2, 3	mulcli 7771	. . . . 5 |- ( 2 x. pi ) e. CC
5	1, 4	mulcli 7771	. . . 4 |- ( _i x. ( 2 x. pi ) ) e. CC
6		zcn 9059	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
7		mulcl 7747	. . . 4 |- ( ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) e. CC )
8	5, 6, 7	sylancr 410	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) e. CC )
9		efadd 11381	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) e. CC ) -> ( exp ` ( A + ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) )
10	8, 9	sylan2 284	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( exp ` ( A + ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) )
11		ef2kpi 12887	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) = 1 )
12	11	oveq2d 5790	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( exp ` A ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) = ( ( exp ` A ) x. 1 ) )
13		efcl 11370	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` A ) e. CC )
14	13	mulid1d 7783	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` A ) x. 1 ) = ( exp ` A ) )
15	12, 14	sylan9eqr 2194	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( ( exp ` A ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) = ( exp ` A ) )
16	10, 15	eqtrd 2172	1 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( exp ` ( A + ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) = ( exp ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   1c1 7621   _ici 7622   + caddc 7623   x. cmul 7625   2c2 8771   ZZcz 9054   expce 11348   picpi 11353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740  ax-pre-suploc 7741  ax-addf 7742  ax-mulf 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-ioo 9675  df-ioc 9676  df-ico 9677  df-icc 9678  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-bc 10494  df-ihash 10522  df-shft 10587  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-sin 11356  df-cos 11357  df-pi 11359  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-ntr 12265  df-cn 12357  df-cnp 12358  df-tx 12422  df-cncf 12727  df-limced 12794  df-dvap 12795

This theorem is referenced by:  sinperlem  12889