Theorem efper 14159

Description: The exponential function is periodic. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efper	|- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( exp ` ( A + ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) = ( exp ` A ) )

Proof of Theorem efper

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7905	. . . . 5 |- _i e. CC
2		2cn 8988	. . . . . 6 |- 2 e. CC
3		picn 14139	. . . . . 6 |- pi e. CC
4	2, 3	mulcli 7961	. . . . 5 |- ( 2 x. pi ) e. CC
5	1, 4	mulcli 7961	. . . 4 |- ( _i x. ( 2 x. pi ) ) e. CC
6		zcn 9256	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
7		mulcl 7937	. . . 4 |- ( ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) e. CC )
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) e. CC )
9		efadd 11678	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) e. CC ) -> ( exp ` ( A + ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) )
10	8, 9	sylan2 286	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( exp ` ( A + ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) = ( ( exp ` A ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) )
11		ef2kpi 14158	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) = 1 )
12	11	oveq2d 5890	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( ( exp ` A ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) = ( ( exp ` A ) x. 1 ) )
13		efcl 11667	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( exp ` A ) e. CC )
14	13	mulridd 7973	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` A ) x. 1 ) = ( exp ` A ) )
15	12, 14	sylan9eqr 2232	. 2 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( ( exp ` A ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) = ( exp ` A ) )
16	10, 15	eqtrd 2210	1 |- ( ( A e. CC /\ K e. ZZ ) -> ( exp ` ( A + ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. K ) ) ) = ( exp ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   1c1 7811   _ici 7812   + caddc 7813   x. cmul 7815   2c2 8968   ZZcz 9251   expce 11645   picpi 11650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-pre-suploc 7931  ax-addf 7932  ax-mulf 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3981  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-of 6082  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-map 6649  df-pm 6650  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-5 8979  df-6 8980  df-7 8981  df-8 8982  df-9 8983  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-xadd 9771  df-ioo 9890  df-ioc 9891  df-ico 9892  df-icc 9893  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-fac 10701  df-bc 10723  df-ihash 10751  df-shft 10819  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-sumdc 11357  df-ef 11651  df-sin 11653  df-cos 11654  df-pi 11656  df-rest 12684  df-topgen 12703  df-psmet 13378  df-xmet 13379  df-met 13380  df-bl 13381  df-mopn 13382  df-top 13429  df-topon 13442  df-bases 13474  df-ntr 13527  df-cn 13619  df-cnp 13620  df-tx 13684  df-cncf 13989  df-limced 14056  df-dvap 14057

This theorem is referenced by:  sinperlem  14160