ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  efper Unicode version

Theorem efper 14159
Description: The exponential function is periodic. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
efper  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( A  +  ( (
_i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  K ) ) )  =  ( exp `  A ) )

Proof of Theorem efper
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7905 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
2 2cn 8988 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
3 picn 14139 . . . . . 6  |-  pi  e.  CC
42, 3mulcli 7961 . . . . 5  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
51, 4mulcli 7961 . . . 4  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC
6 zcn 9256 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
7 mulcl 7937 . . . 4  |-  ( ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  K
)  e.  CC )
85, 6, 7sylancr 414 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  K )  e.  CC )
9 efadd 11678 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  K
)  e.  CC )  ->  ( exp `  ( A  +  ( (
_i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  K ) ) )  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  (
( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  K ) ) ) )
108, 9sylan2 286 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( A  +  ( (
_i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  K ) ) )  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  (
( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  K ) ) ) )
11 ef2kpi 14158 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  K ) )  =  1 )
1211oveq2d 5890 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( exp `  A
)  x.  ( exp `  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  K
) ) )  =  ( ( exp `  A
)  x.  1 ) )
13 efcl 11667 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  e.  CC )
1413mulridd 7973 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  A
)  x.  1 )  =  ( exp `  A
) )
1512, 14sylan9eqr 2232 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( exp `  A
)  x.  ( exp `  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  K
) ) )  =  ( exp `  A
) )
1610, 15eqtrd 2210 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( A  +  ( (
_i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  K ) ) )  =  ( exp `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   CCcc 7808   1c1 7811   _ici 7812    + caddc 7813    x. cmul 7815   2c2 8968   ZZcz 9251   expce 11645   picpi 11650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-pre-suploc 7931  ax-addf 7932  ax-mulf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3981  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-of 6082  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-map 6649  df-pm 6650  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-5 8979  df-6 8980  df-7 8981  df-8 8982  df-9 8983  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-xadd 9771  df-ioo 9890  df-ioc 9891  df-ico 9892  df-icc 9893  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-fac 10701  df-bc 10723  df-ihash 10751  df-shft 10819  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-sumdc 11357  df-ef 11651  df-sin 11653  df-cos 11654  df-pi 11656  df-rest 12684  df-topgen 12703  df-psmet 13378  df-xmet 13379  df-met 13380  df-bl 13381  df-mopn 13382  df-top 13429  df-topon 13442  df-bases 13474  df-ntr 13527  df-cn 13619  df-cnp 13620  df-tx 13684  df-cncf 13989  df-limced 14056  df-dvap 14057
This theorem is referenced by:  sinperlem  14160
  Copyright terms: Public domain W3C validator