Theorem fprodsplitsn 12426

Description: Separate out a term in a finite product. See also fprodunsn 12397 which is the same but with a distinct variable condition in place of Ⅎ𝑘𝜑. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitsn.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsplitsn.kd	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
fprodsplitsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodsplitsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fprodsplitsn.ba	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
fprodsplitsn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodsplitsn.d	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
fprodsplitsn.dcn	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitsn	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitsn.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		fprodsplitsn.ba	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
3		disjsn 3771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5		eqidd 2239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6		fprodsplitsn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		fprodsplitsn.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
8		snfig 7108	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝐵} ∈ Fin)
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ Fin)
10		unfidisj 7234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
11	6, 9, 4, 10	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
12		fprodsplitsn.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
14		fprodsplitsn.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
16		fprodsplitsn.dcn	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
18	15, 17	eqeltrd 2315	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	18	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
20	13, 19	jaod 729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
21		elun 3370	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝐵}))
22		elsni 3727	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
23	22	orim2i 773	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝐵}) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵))
24	21, 23	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵))
25	20, 24	impel 280	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
26	1, 4, 5, 11, 25	fprodsplitf 12425	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
27		fprodsplitsn.kd	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
28	27, 14	prodsnf 12385	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
29	7, 16, 28	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
30	29	oveq2d 6104	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · 𝐷))
31	26, 30	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402  Ⅎwnf 1513   ∈ wcel 2209  Ⅎwnfc 2379   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219  ∅c0 3520  {csn 3709  (class class class)co 6088  Fincfn 7027  ℂcc 8184   · cmul 8191  ∏cprod 12343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-proddc 12344

This theorem is used by:  fprodap0f  12429  fprodle  12433