Theorem fprodsplitsn 11574

Description: Separate out a term in a finite product. See also fprodunsn 11545 which is the same but with a distinct variable condition in place of Ⅎ𝑘𝜑. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitsn.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsplitsn.kd	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
fprodsplitsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodsplitsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fprodsplitsn.ba	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
fprodsplitsn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodsplitsn.d	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
fprodsplitsn.dcn	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitsn	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitsn.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		fprodsplitsn.ba	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
3		disjsn 3638	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sylibr 133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5		eqidd 2166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6		fprodsplitsn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		fprodsplitsn.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
8		snfig 6780	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝐵} ∈ Fin)
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ Fin)
10		unfidisj 6887	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
11	6, 9, 4, 10	syl3anc 1228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
12		fprodsplitsn.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
14		fprodsplitsn.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
15	14	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
16		fprodsplitsn.dcn	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
17	16	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
18	15, 17	eqeltrd 2243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	18	ex 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
20	13, 19	jaod 707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
21		elun 3263	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝐵}))
22		elsni 3594	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
23	22	orim2i 751	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝐵}) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵))
24	21, 23	sylbi 120	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵))
25	20, 24	impel 278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
26	1, 4, 5, 11, 25	fprodsplitf 11573	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
27		fprodsplitsn.kd	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
28	27, 14	prodsnf 11533	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
29	7, 16, 28	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
30	29	oveq2d 5858	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · 𝐷))
31	26, 30	eqtrd 2198	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1343  Ⅎwnf 1448   ∈ wcel 2136  Ⅎwnfc 2295   ∪ cun 3114   ∩ cin 3115  ∅c0 3409  {csn 3576  (class class class)co 5842  Fincfn 6706  ℂcc 7751   · cmul 7758  ∏cprod 11491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-proddc 11492

This theorem is referenced by:  fprodap0f  11577  fprodle  11581