ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodsplitsn GIF version

Theorem fprodsplitsn 11534
Description: Separate out a term in a finite product. See also fprodunsn 11505 which is the same but with a distinct variable condition in place of 𝑘𝜑. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplitsn.ph 𝑘𝜑
fprodsplitsn.kd 𝑘𝐷
fprodsplitsn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodsplitsn.b (𝜑𝐵𝑉)
fprodsplitsn.ba (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
fprodsplitsn.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodsplitsn.d (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
fprodsplitsn.dcn (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodsplitsn (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitsn
StepHypRef Expression
1 fprodsplitsn.ph . . 3 𝑘𝜑
2 fprodsplitsn.ba . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
3 disjsn 3622 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
42, 3sylibr 133 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5 eqidd 2158 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6 fprodsplitsn.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 fprodsplitsn.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
8 snfig 6760 . . . . 5 (𝐵𝑉 → {𝐵} ∈ Fin)
97, 8syl 14 . . . 4 (𝜑 → {𝐵} ∈ Fin)
10 unfidisj 6867 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
116, 9, 4, 10syl3anc 1220 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
12 fprodsplitsn.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1312ex 114 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
14 fprodsplitsn.d . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
1514adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
16 fprodsplitsn.dcn . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1716adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
1815, 17eqeltrd 2234 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
1918ex 114 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 = 𝐵𝐶 ∈ ℂ))
2013, 19jaod 707 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
21 elun 3248 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝐵}))
22 elsni 3578 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
2322orim2i 751 . . . . 5 ((𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝐵}) → (𝑘𝐴𝑘 = 𝐵))
2421, 23sylbi 120 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → (𝑘𝐴𝑘 = 𝐵))
2520, 24impel 278 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
261, 4, 5, 11, 25fprodsplitf 11533 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
27 fprodsplitsn.kd . . . . 5 𝑘𝐷
2827, 14prodsnf 11493 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐷 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
297, 16, 28syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
3029oveq2d 5841 . 2 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
3126, 30eqtrd 2190 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 698   = wceq 1335  wnf 1440  wcel 2128  wnfc 2286  cun 3100  cin 3101  c0 3394  {csn 3560  (class class class)co 5825  Fincfn 6686  cc 7731   · cmul 7738  cprod 11451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-ihash 10654  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-proddc 11452
This theorem is referenced by:  fprodap0f  11537  fprodle  11541
  Copyright terms: Public domain W3C validator