Theorem fprodsplitsn 12130

Description: Separate out a term in a finite product. See also fprodunsn 12101 which is the same but with a distinct variable condition in place of Ⅎ𝑘𝜑. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitsn.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsplitsn.kd	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
fprodsplitsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodsplitsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fprodsplitsn.ba	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
fprodsplitsn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodsplitsn.d	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
fprodsplitsn.dcn	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitsn	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitsn.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		fprodsplitsn.ba	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
3		disjsn 3728	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5		eqidd 2230	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6		fprodsplitsn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		fprodsplitsn.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
8		snfig 6957	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝐵} ∈ Fin)
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ∈ Fin)
10		unfidisj 7072	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
11	6, 9, 4, 10	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
12		fprodsplitsn.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
14		fprodsplitsn.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
16		fprodsplitsn.dcn	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
18	15, 17	eqeltrd 2306	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	18	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 ∈ ℂ))
20	13, 19	jaod 722	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
21		elun 3345	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝐵}))
22		elsni 3684	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
23	22	orim2i 766	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ {𝐵}) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵))
24	21, 23	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵))
25	20, 24	impel 280	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
26	1, 4, 5, 11, 25	fprodsplitf 12129	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
27		fprodsplitsn.kd	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
28	27, 14	prodsnf 12089	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
29	7, 16, 28	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
30	29	oveq2d 6010	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · 𝐷))
31	26, 30	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   = wceq 1395  Ⅎwnf 1506   ∈ wcel 2200  Ⅎwnfc 2359   ∪ cun 3195   ∩ cin 3196  ∅c0 3491  {csn 3666  (class class class)co 5994  Fincfn 6877  ℂcc 7985   · cmul 7992  ∏cprod 12047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-oadd 6556  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-ihash 10985  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-proddc 12048

This theorem is referenced by:  fprodap0f  12133  fprodle  12137