ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodsplitsn GIF version

Theorem fprodsplitsn 11596
Description: Separate out a term in a finite product. See also fprodunsn 11567 which is the same but with a distinct variable condition in place of 𝑘𝜑. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplitsn.ph 𝑘𝜑
fprodsplitsn.kd 𝑘𝐷
fprodsplitsn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodsplitsn.b (𝜑𝐵𝑉)
fprodsplitsn.ba (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
fprodsplitsn.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodsplitsn.d (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
fprodsplitsn.dcn (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodsplitsn (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitsn
StepHypRef Expression
1 fprodsplitsn.ph . . 3 𝑘𝜑
2 fprodsplitsn.ba . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
3 disjsn 3645 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
42, 3sylibr 133 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5 eqidd 2171 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6 fprodsplitsn.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 fprodsplitsn.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
8 snfig 6792 . . . . 5 (𝐵𝑉 → {𝐵} ∈ Fin)
97, 8syl 14 . . . 4 (𝜑 → {𝐵} ∈ Fin)
10 unfidisj 6899 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
116, 9, 4, 10syl3anc 1233 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
12 fprodsplitsn.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1312ex 114 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
14 fprodsplitsn.d . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
1514adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
16 fprodsplitsn.dcn . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1716adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
1815, 17eqeltrd 2247 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
1918ex 114 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 = 𝐵𝐶 ∈ ℂ))
2013, 19jaod 712 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ))
21 elun 3268 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝐵}))
22 elsni 3601 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
2322orim2i 756 . . . . 5 ((𝑘𝐴𝑘 ∈ {𝐵}) → (𝑘𝐴𝑘 = 𝐵))
2421, 23sylbi 120 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → (𝑘𝐴𝑘 = 𝐵))
2520, 24impel 278 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
261, 4, 5, 11, 25fprodsplitf 11595 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
27 fprodsplitsn.kd . . . . 5 𝑘𝐷
2827, 14prodsnf 11555 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐷 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
297, 16, 28syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
3029oveq2d 5869 . 2 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
3126, 30eqtrd 2203 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 703   = wceq 1348  wnf 1453  wcel 2141  wnfc 2299  cun 3119  cin 3120  c0 3414  {csn 3583  (class class class)co 5853  Fincfn 6718  cc 7772   · cmul 7779  cprod 11513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514
This theorem is referenced by:  fprodap0f  11599  fprodle  11603
  Copyright terms: Public domain W3C validator