Theorem fsumsersdc 11403

Description: Special case of series sum over a finite upper integer index set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsers.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumsers.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumsers.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsers.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
fsumsers.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fsumsersdc	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumsersdc

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		fsumsers.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzel2 9533	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fsumsers.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
6		fzssuz 10065	. . . 4 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
7	5, 6	sstrdi 3168	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8		fsumsers.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
9		fsumsers.dc	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
10	9	ralrimiva 2550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
11		eleq1w 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
12	11	dcbid 838	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑗 ∈ 𝐴))
13	12	cbvralv 2704	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑘 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
14	10, 13	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
15		fsumsers.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	1, 4, 7, 8, 14, 15	zsumdc 11392	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
17		fclim 11302	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
18		ffun 5369	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
19	17, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
20	8, 2, 15, 9, 5	fsum3cvg2 11402	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
21		funbrfv 5555	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
22	19, 20, 21	mpsyl 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
23	16, 22	eqtrd 2210	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   ⊆ wss 3130  ifcif 3535   class class class wbr 4004  dom cdm 4627  Fun wfun 5211  ⟶wf 5213  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  0cc0 7811   + caddc 7814  ℤcz 9253  ℤ_≥cuz 9528  ...cfz 10008  seqcseq 10445   ⇝ cli 11286  Σcsu 11361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362

This theorem is referenced by:  fsum3ser  11405