Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsersdc GIF version

Theorem fsumsersdc 11171
 Description: Special case of series sum over a finite upper integer index set. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsers.1 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
fsumsers.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsumsers.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsers.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
fsumsers.4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fsumsersdc (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumsersdc
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2139 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 fsumsers.2 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzel2 9338 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
42, 3syl 14 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 fsumsers.4 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
6 fzssuz 9852 . . . 4 (𝑀...𝑁) ⊆ (ℤ𝑀)
75, 6sstrdi 3109 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
8 fsumsers.1 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
9 fsumsers.dc . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
109ralrimiva 2505 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝐴)
11 eleq1w 2200 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
1211dcbid 823 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (DECID 𝑘𝐴DECID 𝑗𝐴))
1312cbvralv 2654 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝐴 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
1410, 13sylib 121 . . 3 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑗𝐴)
15 fsumsers.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
161, 4, 7, 8, 14, 15zsumdc 11160 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)))
17 fclim 11070 . . . 4 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
18 ffun 5275 . . . 4 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
1917, 18ax-mp 5 . . 3 Fun ⇝
208, 2, 15, 9, 5fsum3cvg2 11170 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
21 funbrfv 5460 . . 3 (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
2219, 20, 21mpsyl 65 . 2 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , 𝐹)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
2316, 22eqtrd 2172 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416   ⊆ wss 3071  ifcif 3474   class class class wbr 3929  dom cdm 4539  Fun wfun 5117  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  0cc0 7627   + caddc 7630  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333  ...cfz 9797  seqcseq 10225   ⇝ cli 11054  Σcsu 11129 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130 This theorem is referenced by:  fsum3ser  11173
 Copyright terms: Public domain W3C validator