Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geoisum1 GIF version

Theorem geoisum1 11393
 Description: The infinite sum of 𝐴↑1 + 𝐴↑2... is (𝐴 / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 1-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisum1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴𝑘) = (𝐴 / (1 − 𝐴)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem geoisum1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9453 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 9173 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℤ)
3 simpr 109 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
4 simpll 519 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
53nnnn0d 9122 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
64, 5expcld 10528 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
7 oveq2 5822 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
8 eqid 2154 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))
97, 8fvmptg 5537 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
103, 6, 9syl2anc 409 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
11 simpl 108 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
12 simpr 109 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
13 1nn0 9085 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1413a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
15 elnnuz 9454 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
1615, 10sylan2br 286 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
1711, 12, 14, 16geolim2 11386 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ ((𝐴↑1) / (1 − 𝐴)))
181, 2, 10, 6, 17isumclim 11295 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴𝑘) = ((𝐴↑1) / (1 − 𝐴)))
19 exp1 10403 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
2019adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝐴↑1) = 𝐴)
2120oveq1d 5829 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((𝐴↑1) / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / (1 − 𝐴)))
2218, 21eqtrd 2187 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴𝑘) = (𝐴 / (1 − 𝐴)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   class class class wbr 3961   ↦ cmpt 4021  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  1c1 7712   < clt 7891   − cmin 8025   / cdiv 8524  ℕcn 8812  ℕ0cn0 9069  ℤ≥cuz 9418  ↑cexp 10396  abscabs 10874  Σcsu 11227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-ihash 10627  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228 This theorem is referenced by:  geoisum1c  11394  geoihalfsum  11396
 Copyright terms: Public domain W3C validator