Theorem geoisum1 12213

Description: The infinite sum of 𝐴↑1 + 𝐴↑2... is (𝐴 / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 1-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geoisum1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴↑𝑘) = (𝐴 / (1 − 𝐴)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem geoisum1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9896	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9609	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℤ)
3		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
4		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3	nnnn0d 9558	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6	4, 5	expcld 11043	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
7		oveq2 6060	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
8		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴↑𝑛))
9	7, 8	fvmptg 5755	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
10	3, 6, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
11		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
13		1nn0 9517	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
15		elnnuz 9897	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
16	15, 10	sylan2br 288	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
17	11, 12, 14, 16	geolim2 12206	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ ((𝐴↑1) / (1 − 𝐴)))
18	1, 2, 10, 6, 17	isumclim 12115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴↑𝑘) = ((𝐴↑1) / (1 − 𝐴)))
19		exp1 10914	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
20	19	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝐴↑1) = 𝐴)
21	20	oveq1d 6067	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((𝐴↑1) / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / (1 − 𝐴)))
22	18, 21	eqtrd 2267	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴↑𝑘) = (𝐴 / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111   ↦ cmpt 4173  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8130  1c1 8133   < clt 8313   − cmin 8449   / cdiv 8951  ℕcn 9242  ℕ₀cn0 9501  ℤ_≥cuz 9859  ↑cexp 10907  abscabs 11690  Σcsu 12046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-ihash 11147  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-clim 11972  df-sumdc 12047

This theorem is referenced by:  geoisum1c  12214  geoihalfsum  12216