Theorem gsumcom2fi 14275

Description: Two-dimensional commutation of a group sum. Note that while A and D are constants w.r.t. j , k, C ( j ) and E ( k ) are not. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	|- B = ( Base ` G )
gsum2d2.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsum2d2.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsum2d2fi.a	|- ( ph -> A e. Fin )
gsum2d2fi.r	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. Fin )
gsum2d2.f	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
gsum2d2.u	|- ( ph -> U e. Fin )
gsum2d2.n	|- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )
gsumcom2.d	|- ( ph -> D e. Y )
gsumcom2.c	|- ( ph -> ( ( j e. A /\ k e. C ) <-> ( k e. D /\ j e. E ) ) )

Assertion

Ref	Expression
gsumcom2fi	|- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. D , j e. E |-> X ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, j, k   C, k   D, j, k   j, E   ph, j, k   .0. , j, k   j, G, k   U, j, k

Allowed substitution hints:   C( j)   E( k)   X( j, k)   Y( j, k)

Proof of Theorem gsumcom2fi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d2.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2		gsum2d2.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsum2d2.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		gsum2d2fi.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
5		gsum2d2fi.r	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. Fin )
6	4, 5	idjufi 14269	. . 3 |- ( ph -> U_ j e. A ( { j } X. C ) e. Fin )
7		gsum2d2.f	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
8	7	ralrimivva 2632	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. C X e. B )
9		eqid 2238	. . . . 5 |- ( j e. A , k e. C |-> X ) = ( j e. A , k e. C |-> X )
10	9	fmpox 6440	. . . 4 |- ( A. j e. A A. k e. C X e. B <-> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
11	8, 10	sylib 122	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
12		relxp 4886	. . . . . . 7 |- Rel ( { k } X. E )
13	12	rgenw 2605	. . . . . 6 |- A. k e. D Rel ( { k } X. E )
14		reliun 4900	. . . . . 6 |- ( Rel U_ k e. D ( { k } X. E ) <-> A. k e. D Rel ( { k } X. E ) )
15	13, 14	mpbir 146	. . . . 5 |- Rel U_ k e. D ( { k } X. E )
16		cnvf1o 6465	. . . . 5 |- ( Rel U_ k e. D ( { k } X. E ) -> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) -1-1-onto-> `' U_ k e. D ( { k } X. E ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) -1-1-onto-> `' U_ k e. D ( { k } X. E )
18		relxp 4886	. . . . . . . 8 |- Rel ( { j } X. C )
19	18	rgenw 2605	. . . . . . 7 |- A. j e. A Rel ( { j } X. C )
20		reliun 4900	. . . . . . 7 |- ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> A. j e. A Rel ( { j } X. C ) )
21	19, 20	mpbir 146	. . . . . 6 |- Rel U_ j e. A ( { j } X. C )
22		relcnv 5168	. . . . . 6 |- Rel `' U_ k e. D ( { k } X. E )
23		nfv 1581	. . . . . . . 8 |- F/ k ph
24		nfv 1581	. . . . . . . . 9 |- F/ k <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C )
25		nfiu1 4042	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k U_ k e. D ( { k } X. E )
26	25	nfcnv 4961	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k `' U_ k e. D ( { k } X. E )
27	26	nfel2 2405	. . . . . . . . 9 |- F/ k <. x , y >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E )
28	24, 27	nfbi 1642	. . . . . . . 8 |- F/ k ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , y >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) )
29	23, 28	nfim 1625	. . . . . . 7 |- F/ k ( ph -> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , y >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
30		opeq2 3905	. . . . . . . . . 10 |- ( k = y -> <. x , k >. = <. x , y >. )
31	30	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 |- ( k = y -> ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) ) )
32	30	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 |- ( k = y -> ( <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) <-> <. x , y >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
33	31, 32	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( k = y -> ( ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) <-> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , y >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) ) )
34	33	imbi2d 230	. . . . . . 7 |- ( k = y -> ( ( ph -> ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) ) <-> ( ph -> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , y >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) ) ) )
35		nfv 1581	. . . . . . . . 9 |- F/ j ph
36		nfiu1 4042	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. C )
37	36	nfel2 2405	. . . . . . . . . 10 |- F/ j <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C )
38		nfv 1581	. . . . . . . . . 10 |- F/ j <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E )
39	37, 38	nfbi 1642	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) )
40	35, 39	nfim 1625	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ph -> ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
41		opeq1 3904	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = x -> <. j , k >. = <. x , k >. )
42	41	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( j = x -> ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) ) )
43	41	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( j = x -> ( <. j , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
44	42, 43	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 |- ( j = x -> ( ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. j , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) <-> ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) ) )
45	44	imbi2d 230	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> ( ( ph -> ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. j , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) ) <-> ( ph -> ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) ) ) )
46		gsumcom2.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ k e. C ) <-> ( k e. D /\ j e. E ) ) )
47		opeliunxp 4832	. . . . . . . . . 10 |- ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
48		opeliunxp 4832	. . . . . . . . . 10 |- ( <. k , j >. e. U_ k e. D ( { k } X. E ) <-> ( k e. D /\ j e. E ) )
49	46, 47, 48	3bitr4g 223	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. k , j >. e. U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
50		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- j e. _V
51		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- k e. _V
52	50, 51	opelcnv 4964	. . . . . . . . 9 |- ( <. j , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) <-> <. k , j >. e. U_ k e. D ( { k } X. E ) )
53	49, 52	bitr4di 198	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. j , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
54	40, 45, 53	chvar 1810	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( <. x , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , k >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
55	29, 34, 54	chvar 1810	. . . . . 6 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> <. x , y >. e. `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
56	21, 22, 55	eqrelrdv 4873	. . . . 5 |- ( ph -> U_ j e. A ( { j } X. C ) = `' U_ k e. D ( { k } X. E ) )
57	56	f1oeq3d 5639	. . . 4 |- ( ph -> ( ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) -1-1-onto-> U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) -1-1-onto-> `' U_ k e. D ( { k } X. E ) ) )
58	17, 57	mpbiri 168	. . 3 |- ( ph -> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) -1-1-onto-> U_ j e. A ( { j } X. C ) )
59	1, 2, 3, 6, 11, 58	gsumf1ofi 14250	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( ( j e. A , k e. C |-> X ) o. ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) ) ) )
60		sneq 3720	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> { z } = { <. x , y >. } )
61	60	cnveqd 4958	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. x , y >. -> `' { z } = `' { <. x , y >. } )
62	61	unieqd 3946	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. x , y >. -> U. `' { z } = U. `' { <. x , y >. } )
63		opswapg 5277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> U. `' { <. x , y >. } = <. y , x >. )
64	63	el2v 2827	. . . . . . . . 9 |- U. `' { <. x , y >. } = <. y , x >.
65	62, 64	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> U. `' { z } = <. y , x >. )
66	65	fveq2d 5702	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) = ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. y , x >. ) )
67		df-ov 6091	. . . . . . 7 |- ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) = ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. y , x >. )
68	66, 67	eqtr4di 2289	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) = ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) )
69	68	mpomptx 6182	. . . . 5 |- ( z e. U_ x e. D ( { x } X. [_ x / k ]_ E ) |-> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) ) = ( x e. D , y e. [_ x / k ]_ E |-> ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) )
70		nfcv 2392	. . . . . . 7 |- F/_ x ( { k } X. E )
71		nfcv 2392	. . . . . . . 8 |- F/_ k { x }
72		nfcsb1v 3180	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ x / k ]_ E
73	71, 72	nfxp 4803	. . . . . . 7 |- F/_ k ( { x } X. [_ x / k ]_ E )
74		sneq 3720	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> { k } = { x } )
75		csbeq1a 3156	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> E = [_ x / k ]_ E )
76	74, 75	xpeq12d 4801	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( { k } X. E ) = ( { x } X. [_ x / k ]_ E ) )
77	70, 73, 76	cbviun 4049	. . . . . 6 |- U_ k e. D ( { k } X. E ) = U_ x e. D ( { x } X. [_ x / k ]_ E )
78	77	mpteq1i 4218	. . . . 5 |- ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) ) = ( z e. U_ x e. D ( { x } X. [_ x / k ]_ E ) |-> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) )
79		nfcv 2392	. . . . . 6 |- F/_ x E
80		nfcv 2392	. . . . . 6 |- F/_ x ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k )
81		nfcv 2392	. . . . . 6 |- F/_ y ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k )
82		nfcv 2392	. . . . . . 7 |- F/_ k y
83		nfmpo2 6159	. . . . . . 7 |- F/_ k ( j e. A , k e. C |-> X )
84		nfcv 2392	. . . . . . 7 |- F/_ k x
85	82, 83, 84	nfov 6118	. . . . . 6 |- F/_ k ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x )
86		nfcv 2392	. . . . . . 7 |- F/_ j y
87		nfmpo1 6158	. . . . . . 7 |- F/_ j ( j e. A , k e. C |-> X )
88		nfcv 2392	. . . . . . 7 |- F/_ j x
89	86, 87, 88	nfov 6118	. . . . . 6 |- F/_ j ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x )
90		oveq2 6096	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) )
91		oveq1 6095	. . . . . . 7 |- ( j = y -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) = ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) )
92	90, 91	sylan9eq 2291	. . . . . 6 |- ( ( k = x /\ j = y ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) )
93	79, 72, 80, 81, 85, 89, 75, 92	cbvmpox 6169	. . . . 5 |- ( k e. D , j e. E |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) = ( x e. D , y e. [_ x / k ]_ E |-> ( y ( j e. A , k e. C |-> X ) x ) )
94	69, 78, 93	3eqtr4i 2269	. . . 4 |- ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) ) = ( k e. D , j e. E |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) )
95		f1of 5642	. . . . . . 7 |- ( ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) -1-1-onto-> U_ j e. A ( { j } X. C ) -> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) --> U_ j e. A ( { j } X. C ) )
96	58, 95	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) --> U_ j e. A ( { j } X. C ) )
97		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) = ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } )
98	97	fmpt 5861	. . . . . 6 |- ( A. z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) U. `' { z } e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) : U_ k e. D ( { k } X. E ) --> U_ j e. A ( { j } X. C ) )
99	96, 98	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ph -> A. z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) U. `' { z } e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
100		eqidd 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) = ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) )
101	11	feqmptd 5759	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) = ( x e. U_ j e. A ( { j } X. C ) |-> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` x ) ) )
102		fveq2 5698	. . . . 5 |- ( x = U. `' { z } -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` x ) = ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) )
103	99, 100, 101, 102	fmptcof 5878	. . . 4 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) o. ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) ) = ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` U. `' { z } ) ) )
104	7	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ k e. C ) -> X e. B ) )
105	9	ovmpt4g 6214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. A /\ k e. C /\ X e. B ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
106	105	3expia 1236	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. A /\ k e. C ) -> ( X e. B -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X ) )
107	104, 106	sylcom 28	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ k e. C ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X ) )
108	46, 107	sylbird 170	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( k e. D /\ j e. E ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X ) )
109	108	3impib 1232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D /\ j e. E ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
110	109	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D /\ j e. E ) -> X = ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) )
111	110	mpoeq3dva 6155	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. D , j e. E |-> X ) = ( k e. D , j e. E |-> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) ) )
112	94, 103, 111	3eqtr4a 2297	. . 3 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) o. ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) ) = ( k e. D , j e. E |-> X ) )
113	112	oveq2d 6104	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg ( ( j e. A , k e. C |-> X ) o. ( z e. U_ k e. D ( { k } X. E ) |-> U. `' { z } ) ) ) = ( G gsumg ( k e. D , j e. E |-> X ) ) )
114	59, 113	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( j e. A , k e. C |-> X ) ) = ( G gsumg ( k e. D , j e. E |-> X ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   [_csb 3147   {csn 3709   <.cop 3712   U.cuni 3935   U_ciun 4012   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   o. ccom 4780   Rel wrel 4781   -->wf 5376   -1-1-onto->wf1o 5379   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   e. cmpo 6090   Fincfn 7026   Basecbs 13410   0gc0g 13669  CMndccmn 14177   gsum_g cgsu 14240

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-cmn 14179  df-gsumfi 14241

This theorem is used by:  gsumbagdiagfi  15176