Theorem hovergt0 15377

Description: The hover function evaluated at a point greater than zero. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hovergt0	|- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( F ` C ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem hovergt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8180	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 e. RR )
2		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> C e. RR )
3		peano2rem 8446	. . . . 5 |- ( C e. RR -> ( C - 1 ) e. RR )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> ( C - 1 ) e. RR )
5		maxle1 11773	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ ( C - 1 ) e. RR ) -> 0 <_ sup ( { 0 , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ sup ( { 0 , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
7		mincom 11791	. . . . . 6 |- inf ( { C , 0 } , RR , < ) = inf ( { 0 , C } , RR , < )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 < C )
9	1, 2, 8	ltled 8298	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ C )
10		0re 8179	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
11		mingeb 11804	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> ( 0 <_ C <-> inf ( { 0 , C } , RR , < ) = 0 ) )
12	10, 2, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> ( 0 <_ C <-> inf ( { 0 , C } , RR , < ) = 0 ) )
13	9, 12	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> inf ( { 0 , C } , RR , < ) = 0 )
14	7, 13	eqtrid 2276	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> inf ( { C , 0 } , RR , < ) = 0 )
15	14	preq1d 3754	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } = { 0 , ( C - 1 ) } )
16	15	supeq1d 7186	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) = sup ( { 0 , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
17	6, 16	breqtrrd 4116	. 2 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
18		hover.f	. . 3 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
19		preq1 3748	. . . . . 6 |- ( x = C -> { x , 0 } = { C , 0 } )
20	19	infeq1d 7211	. . . . 5 |- ( x = C -> inf ( { x , 0 } , RR , < ) = inf ( { C , 0 } , RR , < ) )
21		oveq1 6025	. . . . 5 |- ( x = C -> ( x - 1 ) = ( C - 1 ) )
22	20, 21	preq12d 3756	. . . 4 |- ( x = C -> {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } = {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } )
23	22	supeq1d 7186	. . 3 |- ( x = C -> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) = sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
24		mincl 11793	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> inf ( { C , 0 } , RR , < ) e. RR )
25	2, 1, 24	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> inf ( { C , 0 } , RR , < ) e. RR )
26		maxcl 11772	. . . 4 |- ( (inf ( { C , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( C - 1 ) e. RR ) -> sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
27	25, 4, 26	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
28	18, 23, 2, 27	fvmptd3 5740	. 2 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> ( F ` C ) = sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
29	17, 28	breqtrrd 4116	1 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( F ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   {cpr 3670   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   supcsup 7181  infcinf 7182   RRcr 8031   0cc0 8032   1c1 8033   < clt 8214   <_ cle 8215   - cmin 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15378