Theorem hovergt0 15888

Description: The hover function evaluated at a point greater than zero. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hovergt0	|- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( F ` C ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem hovergt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8334	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 e. RR )
2		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> C e. RR )
3		peano2rem 8601	. . . . 5 |- ( C e. RR -> ( C - 1 ) e. RR )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> ( C - 1 ) e. RR )
5		maxle1 12001	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ ( C - 1 ) e. RR ) -> 0 <_ sup ( { 0 , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ sup ( { 0 , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
7		mincom 12020	. . . . . 6 |- inf ( { C , 0 } , RR , < ) = inf ( { 0 , C } , RR , < )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 < C )
9	1, 2, 8	ltled 8453	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ C )
10		0re 8333	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
11		mingeb 12034	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> ( 0 <_ C <-> inf ( { 0 , C } , RR , < ) = 0 ) )
12	10, 2, 11	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> ( 0 <_ C <-> inf ( { 0 , C } , RR , < ) = 0 ) )
13	9, 12	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> inf ( { 0 , C } , RR , < ) = 0 )
14	7, 13	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> inf ( { C , 0 } , RR , < ) = 0 )
15	14	preq1d 3794	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } = { 0 , ( C - 1 ) } )
16	15	supeq1d 7334	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) = sup ( { 0 , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
17	6, 16	breqtrrd 4159	. 2 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
18		hover.f	. . 3 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
19		preq1 3788	. . . . . 6 |- ( x = C -> { x , 0 } = { C , 0 } )
20	19	infeq1d 7359	. . . . 5 |- ( x = C -> inf ( { x , 0 } , RR , < ) = inf ( { C , 0 } , RR , < ) )
21		oveq1 6095	. . . . 5 |- ( x = C -> ( x - 1 ) = ( C - 1 ) )
22	20, 21	preq12d 3796	. . . 4 |- ( x = C -> {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } = {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } )
23	22	supeq1d 7334	. . 3 |- ( x = C -> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) = sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
24		mincl 12022	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> inf ( { C , 0 } , RR , < ) e. RR )
25	2, 1, 24	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> inf ( { C , 0 } , RR , < ) e. RR )
26		maxcl 12000	. . . 4 |- ( (inf ( { C , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( C - 1 ) e. RR ) -> sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
27	25, 4, 26	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
28	18, 23, 2, 27	fvmptd3 5802	. 2 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> ( F ` C ) = sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
29	17, 28	breqtrrd 4159	1 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( F ` C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cpr 3710   class class class wbr 4131   |-> cmpt 4193   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   supcsup 7329  infcinf 7330   RRcr 8185   0cc0 8186   1c1 8187   < clt 8367   <_ cle 8368   - cmin 8505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-rp 10073  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788

This theorem is used by:  ivthdichlem  15889