Theorem hovergt0 15734

Description: The hover function evaluated at a point greater than zero. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
hover.f	|- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
hovergt0	|- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( F ` C ) )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem hovergt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8321	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 e. RR )
2		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> C e. RR )
3		peano2rem 8587	. . . . 5 |- ( C e. RR -> ( C - 1 ) e. RR )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> ( C - 1 ) e. RR )
5		maxle1 11960	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ ( C - 1 ) e. RR ) -> 0 <_ sup ( { 0 , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ sup ( { 0 , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
7		mincom 11978	. . . . . 6 |- inf ( { C , 0 } , RR , < ) = inf ( { 0 , C } , RR , < )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 < C )
9	1, 2, 8	ltled 8439	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ C )
10		0re 8320	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
11		mingeb 11991	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> ( 0 <_ C <-> inf ( { 0 , C } , RR , < ) = 0 ) )
12	10, 2, 11	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> ( 0 <_ C <-> inf ( { 0 , C } , RR , < ) = 0 ) )
13	9, 12	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> inf ( { 0 , C } , RR , < ) = 0 )
14	7, 13	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> inf ( { C , 0 } , RR , < ) = 0 )
15	14	preq1d 3793	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } = { 0 , ( C - 1 ) } )
16	15	supeq1d 7321	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) = sup ( { 0 , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
17	6, 16	breqtrrd 4156	. 2 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
18		hover.f	. . 3 |- F = ( x e. RR |-> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) )
19		preq1 3787	. . . . . 6 |- ( x = C -> { x , 0 } = { C , 0 } )
20	19	infeq1d 7346	. . . . 5 |- ( x = C -> inf ( { x , 0 } , RR , < ) = inf ( { C , 0 } , RR , < ) )
21		oveq1 6086	. . . . 5 |- ( x = C -> ( x - 1 ) = ( C - 1 ) )
22	20, 21	preq12d 3795	. . . 4 |- ( x = C -> {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } = {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } )
23	22	supeq1d 7321	. . 3 |- ( x = C -> sup ( {inf ( { x , 0 } , RR , < ) , ( x - 1 ) } , RR , < ) = sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
24		mincl 11980	. . . . 5 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> inf ( { C , 0 } , RR , < ) e. RR )
25	2, 1, 24	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> inf ( { C , 0 } , RR , < ) e. RR )
26		maxcl 11959	. . . 4 |- ( (inf ( { C , 0 } , RR , < ) e. RR /\ ( C - 1 ) e. RR ) -> sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
27	25, 4, 26	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) e. RR )
28	18, 23, 2, 27	fvmptd3 5796	. 2 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> ( F ` C ) = sup ( {inf ( { C , 0 } , RR , < ) , ( C - 1 ) } , RR , < ) )
29	17, 28	breqtrrd 4156	1 |- ( ( C e. RR /\ 0 < C ) -> 0 <_ ( F ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cpr 3709   class class class wbr 4128   |-> cmpt 4190   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   supcsup 7316  infcinf 7317   RRcr 8172   0cc0 8173   1c1 8174   < clt 8354   <_ cle 8355   - cmin 8491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748

This theorem is referenced by:  ivthdichlem  15735